計(jì)算階次分析中的采樣率設(shè)置準(zhǔn)則

楊通強(qiáng),鄭海起,龔烈航,唐力偉

(1.解放軍理工大學(xué) 工程兵工程學(xué)院,江蘇 南京 210007;2.軍械工程學(xué)院一系,河北石 家莊 050003)

當(dāng)前,階次分析技術(shù)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷領(lǐng)域的1種基礎(chǔ)性分析方法,應(yīng)用非常廣泛.由于可以避免轉(zhuǎn)速不穩(wěn)所帶來的“頻率模糊”現(xiàn)象[1],所以即使最終采用其他信號處理算法,也往往要基于其核心技術(shù)——角域采樣獲得數(shù)據(jù),而后進(jìn)行分析.常用的階次分析方法有2種:硬件階次分析法和計(jì)算階次分析法.前者需通過硬件實(shí)現(xiàn)同步采樣,而后者則通過數(shù)值計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)信號的角域重采樣,具有采樣率設(shè)置靈活、成本低、傳感器安裝方便等優(yōu)點(diǎn),應(yīng)用更為普遍,被近期絕大多數(shù)文獻(xiàn)[2～4]所采用.

與時(shí)域采樣類似,角域采樣中也不可避免地會遇到采樣率不足、采樣率過高及抗混濾波器設(shè)置等問題,本文依據(jù)采樣定理,分析了角域采樣率的設(shè)置原則,給出了計(jì)算公式;計(jì)算階次分析實(shí)驗(yàn)中既涉及到時(shí)域采樣又有角域采樣.轉(zhuǎn)速變化的影響使得1種采樣相對另1種采樣必然為變采樣率的采樣,而跟蹤轉(zhuǎn)速變化的變采樣率抗混濾波又難以實(shí)現(xiàn),為此本文分析總結(jié)了只用1次定帶寬抗混濾波——時(shí)域抗混濾波,避開角域?yàn)V波的采樣率設(shè)置方法,并通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證說明.

1 計(jì)算階次分析

計(jì)算階次分析法是近年來發(fā)展起來的1種先進(jìn)技術(shù),其主旨在于通過信號處理算法將等時(shí)間間隔采樣信號轉(zhuǎn)化為等角度采樣信號,即同步采樣信號.與硬件階次分析法相比,此方法既可降低成本、放寬傳感器安裝限制又能提高角域采樣率,優(yōu)點(diǎn)顯著.具體實(shí)現(xiàn)過程如下:

首先要設(shè)定參考軸的角加速模式來確定重采樣的時(shí)間點(diǎn).一般認(rèn)為在1個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)參考軸作勻角加速運(yùn)動(特殊情況下加速模式已知的除外),前人[5]的研究證明了該假設(shè)的可行性.

在此前提下,參考軸的轉(zhuǎn)角θ可以表達(dá)為如下形式:

式中:b0,b1,b2為待定系數(shù);t為時(shí)間點(diǎn).

對等時(shí)間間隔采樣信號,將3個(gè)依次到達(dá)的脈沖時(shí)間點(diǎn)t1,t2,t3和轉(zhuǎn)角增量Δφ帶入式(1),得

由式(2)求出bi(i=0,1,2)后,將其代入(1)式可得

根據(jù)式(3)便可求出等角度采樣時(shí)恒定角增量Δθ所對應(yīng)的需要插值的時(shí)間點(diǎn).再根據(jù)所求出的時(shí)間點(diǎn),利用插值算法對振動信號進(jìn)行插值,可以求出振動信號角域里對應(yīng)于采樣時(shí)間點(diǎn)的幅值,再對其進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT),結(jié)果就是重采樣后的階次譜圖.

2 角域采樣率準(zhǔn)則

由上節(jié)可見,角域重采樣技術(shù)是計(jì)算階次分析的關(guān)鍵步驟,若該環(huán)節(jié)出現(xiàn)誤差必將對后續(xù)分析產(chǎn)生較大影響,因此為了避免階次域混迭現(xiàn)象,本節(jié)重點(diǎn)研究階次采樣率問題.

由于階次分析與傳統(tǒng)頻率分析相比,基本數(shù)學(xué)變換理論依據(jù)均為傅里葉變換,只是分析對象由時(shí)域換為角域,所以下面類比時(shí)域采樣定理推導(dǎo)過程分析角域采樣準(zhǔn)則:

設(shè)1個(gè)上限階次為Om的有限帶寬的連續(xù)角域信號 x(θ),其階次域表達(dá)式為X(O),且當(dāng)｜O｜＞Om時(shí),X(O)=0,如圖1a,b所示.若用1個(gè)脈沖序列δT(θ)去乘 x(θ)時(shí),則其乘積 x(θ)δT(θ)是1個(gè)間距為 Tθ的脈沖序列,其在相應(yīng)的瞬時(shí)具有與x(θ)值相等的強(qiáng)度,如圖1c,e所示,即取樣后的信號為

均勻脈沖序列δT(θ)的傅里葉變換δT(O)為

式中:δOs(O)為頻域內(nèi)以O(shè)s為周期的均勻脈沖序列.δT(O)也是一個(gè)均勻脈沖序列,如圖1d所示,每個(gè)脈沖的間隔為

根據(jù)卷積定理,采樣后信號 xs(θ)的傅立葉變換為 Xs(O),如圖1f所示,即

它是由X(O)與脈沖序列OsδOs(O)卷積而得,即原信號 x(θ)的頻譜每隔Os=2π/Tθ周期性地重復(fù)1次.顯然,只有滿足

時(shí)Xs(O)才能包含x(θ)的全部信息,周期出現(xiàn)的X(O)才不會產(chǎn)生首尾重疊現(xiàn)象,即不混迭.

綜上可見:1個(gè)在階次Om以上無階次分量的有限帶信號,可以由它在小于或等于π/Om均勻角度間隔Δθ上的取值唯一地加以確定.即

以上說明,如果在某一階次Om以上x(θ)傅里葉變換等于零時(shí),則關(guān)于 x(θ)的全部信息均包含在它的采樣間隔小于π/Om的均勻采樣信號里.信號 x(θ)每隔Δθ角度被采樣1次,或者說以大于或等2Om采樣率進(jìn)行采樣,這些采樣值 x(n)包含了 x(θ)在每一個(gè)θ角度值的信息.

3 角域重采樣實(shí)驗(yàn)采樣率設(shè)置方法分析

圖1 角域采樣原理Fig.1 Effect in the order domain of sampling in the angular domain

設(shè)某轉(zhuǎn)速為ω的轉(zhuǎn)速機(jī)械的時(shí)域信號為X(ω,t),對于變轉(zhuǎn)速機(jī)械,ω也是時(shí)間t的函數(shù).對其進(jìn)行時(shí)域采樣,采樣頻率為fs,則采樣脈沖間隔為

時(shí)域采樣信號為

式中:δT(t)為以T為周期的單位沖擊信號序列.根據(jù)采樣定理,抗混濾波器的上限頻率為

那么,在角域內(nèi)可將此信號看作變采樣率采樣信號,且角域采樣率隨ω的變化而變化:

相應(yīng)地,角域內(nèi)原來的時(shí)域抗混濾波器的上限階次也成為ω的函數(shù),為

因此,欲對時(shí)域采樣信號進(jìn)行采樣階次為定值O—s的重采樣時(shí),首先要對該時(shí)域信號進(jìn)行時(shí)域內(nèi)的跟蹤濾波.根據(jù)式(8)得O—m=O—s/2,代入式(14)可得上限頻率為

以上分析可見,計(jì)算階次分析實(shí)驗(yàn)中既涉及到時(shí)域采樣又有角域采樣.轉(zhuǎn)速變化的影響使得1種采樣相對另1種采樣必然為變采樣率采樣,而跟蹤轉(zhuǎn)速變化的變采樣率抗混濾波又難以實(shí)現(xiàn),下面分析總結(jié)只用1次定帶寬抗混濾波——時(shí)域抗混濾波,避免跟蹤抗混濾波的采樣率設(shè)置方法.

(1)由式(15)及時(shí)域采樣定理,欲保留所需信息,則 fs需滿足

表明時(shí)域采樣率應(yīng)根據(jù)最大轉(zhuǎn)速和預(yù)期采樣階次來設(shè)置,否則會采樣不足.

(2)由式(13)知,在角域重采樣時(shí),若不進(jìn)行抗混濾波,為了滿足采樣準(zhǔn)則,則需Os≥max(2πfs/ω)即

4 算例分析

設(shè)某變轉(zhuǎn)速信號y為

式中:ω=20t,t=[1,3].

從信號表達(dá)式可見其中僅含有軸頻的15階信息.假設(shè)欲采用先時(shí)域采樣,再作角域重采樣和階次分析來分析該階信息,即Om=15,O—s≥2Om,取其最小值O—s=2Om代入式(17),確定時(shí)域采樣頻率為 fs≈287 Hz.現(xiàn)分別采用2種時(shí)域采樣率對其進(jìn)行采樣,結(jié)果如圖2和圖3.圖2為采樣率滿足該條件時(shí)信號采樣結(jié)果,圖中信號表現(xiàn)為規(guī)則的掃頻信號,準(zhǔn)確地表達(dá)了原信號信息;圖3為根據(jù)平均轉(zhuǎn)速計(jì)算所得采樣率245 Hz時(shí)的采樣結(jié)果,顯然信號由于采樣率不足而產(chǎn)生了嚴(yán)重失真.說明了式(17)的正確性.

圖2 采樣率大于287 Hz時(shí)的采樣信號Fig.2 Sampled signal when the sampling frequency is above 287 Hz

圖3 采樣率為245 Hz時(shí)的采樣信號Fig.3 Sampled signal when the sampling frequency is 245 Hz

下面對式(10)進(jìn)行驗(yàn)證:

設(shè)上算例信號中含有40階高階信號,則信號表達(dá)式變?yōu)?/p>

仍以分析15階信息為目的,由式(18)得:min(O—s)≈90階.

圖4 正常重采樣時(shí)的階次譜Fig.4 Order spectrum of the normal sampled signal

圖5 采樣率過低時(shí)的階次譜Fig.5 Order spectrum of the undersampled signal

5 結(jié)論

計(jì)算階次分析技術(shù)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷領(lǐng)域的1種基礎(chǔ)性分析方法,應(yīng)用日益廣泛.角域重采樣是計(jì)算階次分析的關(guān)鍵步驟,其采樣精度將直接影響分析結(jié)果.角域采樣率的設(shè)置需滿足Os≥2Om;計(jì)算階次分析實(shí)驗(yàn)中,轉(zhuǎn)速變化的影響使得1種采樣相對另1種采樣必然為變采樣率采樣.本文分析總結(jié)了只用1次定帶寬抗混濾波——時(shí)域抗混濾波,避開變帶寬跟蹤濾波的采樣率設(shè)置方法:時(shí)域采樣率應(yīng)根據(jù)最大轉(zhuǎn)速和預(yù)期采樣階次來設(shè)置,fs≥max(ω/2π,否則采樣不足;角域重采樣率則應(yīng)根據(jù)最小轉(zhuǎn)速和時(shí)域采樣率來確定,Os≥2πfs/min(ω),否則會產(chǎn)生階次混迭.

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