表面電磁波與表面等離子波

黃志洵，姜榮

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

1 引言

表面電磁波簡稱表面波(surface waves，SW)，是一種沿兩媒質(zhì)之間界面?zhèn)鞑サ牟ā１砻娴入x子波(surface plasma waves，SPW)則發(fā)生于金屬與電介質(zhì)之間界面，故SPW是SW的一種。在導(dǎo)波理論中，一根表面裸露的金屬圓柱導(dǎo)線，可以工作在分米波、厘米波波段，作為單線表面波波導(dǎo)(Single Wire Surface Waveguide)。1899 年 A.Sommerfeld 指出［1］，如導(dǎo)線的電導(dǎo)率為有限值(σ≠∞，這與實(shí)際相符)，則會(huì)有TM波型沿導(dǎo)線表面?zhèn)鞑ァ１砻娌ǖ南嗨傩∮诠馑?，在靠近?dǎo)體表面處攜帶有其能量的絕大部分。由于Sommerfeld指出的波較弱，也由于20世紀(jì)初的很長一段時(shí)間內(nèi)尚不能生產(chǎn)分米波、厘米波的源，Sommerfeld的論斷直到幾十年后才得到證實(shí)。Sommerfeld波存在的條件是電導(dǎo)率σ≠∞，亦即電阻率ρ≠0。因而，ρ＞0表示導(dǎo)線電阻提供了對(duì)波的相速的遲滯，從而獲得了慢波狀態(tài)。另外，1909年Sommerfeld用Maxwell方程處理兩個(gè)媒質(zhì)分界面上的表面波傳播問題(Ann.Phys.，Vol.28，1909，665)，是非輻射型(non radiative)表面電磁波。

1907 年，F(xiàn).Harms［2］研究了當(dāng)單根導(dǎo)線表面涂敷有電介質(zhì)層時(shí)的波傳播問題。介質(zhì)層的存在同樣滿足了Sommerfeld波所要求的邊界條件，因而表面波的存在可以不依賴于導(dǎo)線的有限導(dǎo)電率。就是說，即使是理想導(dǎo)體(σ=∞)，波也能傳播。1910年，D.Hondros和 P.Debye［3］也論述了這個(gè)問題。不過，完整的工作和實(shí)驗(yàn)是1950年由G.Goubau完成的［4］，故稱為 Goubau Wire。

表面等離子體光子學(xué)(surface plasmonics，SP)是一門新興學(xué)科，它的另一名稱是表面等離子體激元(surface plasmon polariton，SPP)，是指沿金屬/介質(zhì)界面?zhèn)鞑サ目v向電磁波(longitudinal EM wave propagating along a metal/dielectric interface)，其電磁場(chǎng)從界面向兩邊按指數(shù)率下降，即消失態(tài)(evanescent states)。對(duì)SPP或SPW的研究已有百余年歷史，例如在金屬柵格(metallic gratings)上的激勵(lì)，早在1902年R.W.Wood即報(bào)告過對(duì)有關(guān)現(xiàn)象的觀察(見:Philos.Mag.，Vol.6，1902，396)。又如在 1904年出現(xiàn)了“金屬/介質(zhì)復(fù)合材料”的說法，研究了摻有金屬微粒的電介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)。故SPW起因于對(duì)金屬在微波和光頻的介電特性的探討，借鑒了等離子體理論方法，技術(shù)上則創(chuàng)建了金屬/介質(zhì)復(fù)合材料系統(tǒng)。1957年，R.Ritchie研究了金屬膜中電子束的能量損耗，發(fā)現(xiàn)在金屬表面區(qū)域可能存在等離激子現(xiàn)象，從而首次作出明確的理論表述。1968年，A.Otto［5］提出了在金屬薄膜上激發(fā)SPW 的實(shí)驗(yàn)方法，用玻璃三棱鏡作為光的耦合器。1971年 E.Kretschmann［6］作了改進(jìn)。他們的技術(shù)現(xiàn)在仍是廣泛使用的研究和實(shí)驗(yàn)方法。

2 早期電磁理論中表面波的一般分析

早期研究的表面波是一種沿兩媒質(zhì)之間的界面?zhèn)鞑サ碾姶挪ǎ劫|(zhì)之一通常是空氣。界面可以是光滑表面(平面或曲面)，也可以是周期性或不規(guī)則結(jié)構(gòu)。表面波比光速慢，在界面處近距離上攜帶了大部分能量。表面波一般作為被導(dǎo)波而加以研究，但當(dāng)它在傳播過程中遭遇不連續(xù)性障礙時(shí)，或在專門的表面波天線設(shè)計(jì)中，它是輻射性的。由于波矢量的一般表示式為假定z為表面波傳播方向，x為與界面垂直的法向(指向上方)，如圖1;y方向沒有波動(dòng)，可取ky=0，故有

圖1 兩媒質(zhì)的界面與坐標(biāo)選取

取k為空氣中的波數(shù)，則有

這是表面波遵守的簡單方程，kz是沿表面?zhèn)鞑サ牟〝?shù)，kx是與表面垂直方向上的波數(shù)。所有波數(shù)均為復(fù)數(shù)，例如可取

式中 γ是傳播常數(shù)(γ=α+jβ)。

這組成一種非均勻的波(inhomogeneous wave)，相陣面與表面垂直，幅陣面與表面平行(距表面越遠(yuǎn)強(qiáng)度越小，是指數(shù)衰減)，見圖2(a)。

展開后得到兩個(gè)關(guān)系式:

對(duì)于向z方向傳播的波而言，βz＞0;至于βx，對(duì)于從表面浮現(xiàn)的波βx＞0，對(duì)于向表面入射的波βx＜0。另外，根據(jù)波的z向傳播時(shí)逐漸減弱，αz＞0;這樣，根據(jù)(5b)式有αx＜0，表示在x方向振幅指數(shù)式增大。在快波(vs＞c)情況下，應(yīng)把相位常數(shù)寫成矢量，而βz、βx均是它的分量;故有

圖2顯示表面波這種非均勻波的慢波與快波的關(guān)系，圖2(c)是輻射的快波，也叫漏波(leaky wave)，看起來好像由慢波傾斜及倒轉(zhuǎn)而成。實(shí)際上，離開表面的傾斜角度是可計(jì)算的:

另外，αz與 αx也組合為凈衰減常數(shù)

以上是早期電磁理論中對(duì)表面波的一般分析，討論中沒有具體說明媒質(zhì)1、2可能是電介質(zhì)或者金屬，給人以空泛之感。但這種分析卻討論了開放式結(jié)構(gòu)中表面波由非輻射性向輻射性過渡的情況，使人認(rèn)識(shí)到表面波導(dǎo)波結(jié)構(gòu)和表面波天線系統(tǒng)的不同?？傊?，為了獲得非輻射型表面波，必須保證波的相速比光速慢。

現(xiàn)以金屬管子做成的柱波導(dǎo)(waveguides)進(jìn)行討論，傳輸電磁波的相速為

式中G是波導(dǎo)因子:

式中ωc、λc分別為波導(dǎo)截止頻率和截止波長。如果我們只討論ω≥ωc的頻域，那么從ω=ωc到ω→∞都有G＜1，故vp＞c(快波)。但是，如果ωc是虛數(shù):

則

這時(shí)總有G＞1，vp＜c(慢波);然而在波導(dǎo)理論中有［7］

h是本征值，也叫截止系數(shù)，其定義式為

然而要求ωc為虛數(shù)意味著要求h2＜0(獲得慢波的必要條件)，亦即要求

從另一角度看，可取

獲得慢波的條件又可寫作

故要求hx或hy為虛數(shù)(或兩者均是虛數(shù))，才有可能獲得慢波。函數(shù)coshxx(或函數(shù)coshyy)將是雙曲函數(shù)。但cosh函數(shù)沒有零點(diǎn)，sinh函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。然而，一般波導(dǎo)的場(chǎng)分布，場(chǎng)的切向分量有兩個(gè)零點(diǎn)(理想導(dǎo)體表面電場(chǎng)切向分量為零)。結(jié)論是，理想導(dǎo)體的波導(dǎo)系統(tǒng)是不能傳輸慢波的。但如導(dǎo)體非理想導(dǎo)電(電導(dǎo)率σ≠∞)，并不要求場(chǎng)分布有兩個(gè)零點(diǎn)，就有可能產(chǎn)生慢波。這個(gè)道理可由表面波傳輸線的早期發(fā)展而獲得深刻的理解，即前述Sommerfeld線的原理。

3 金屬壁圓波導(dǎo)內(nèi)襯電介質(zhì)層時(shí)的模式分析

為深入了解表面波(SW)與表面等離子波(SPW)這兩個(gè)理論體系之間的聯(lián)系，現(xiàn)對(duì)一種封閉式電磁結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。圖3是內(nèi)襯電介質(zhì)層時(shí)金屬壁圓波導(dǎo)的橫截面，介質(zhì)層厚度d=a-b;區(qū)域Ⅰ是空氣區(qū)，區(qū)域Ⅱ是電介質(zhì)區(qū)，區(qū)域Ⅲ是金屬導(dǎo)體區(qū)。這種波導(dǎo)內(nèi)可能有三類模式發(fā)生，即表面模(surface modes)、界面模 (interface modes)、內(nèi)模 (inner modes);其發(fā)生條件和特點(diǎn)列于表1［8］。就本文論題而言，我們對(duì)發(fā)生在金屬壁與電介質(zhì)層之間的傳播模式(表面模)最感興趣。

圖3 金屬壁圓波導(dǎo)內(nèi)襯電介質(zhì)層

表1 三類模式的發(fā)生條件和特性

在內(nèi)襯均勻介質(zhì)層的圓過模波導(dǎo)內(nèi)，可能有好幾類簡正模。某種模式是否存在，取決于特征方程的解是否接近其存在的條件。不言而喻，當(dāng)d很小時(shí)將主要是。當(dāng)d較大時(shí)，如果介質(zhì)層的損耗較小，則波導(dǎo)中多數(shù)低階模將變?yōu)?，衰減不再隨d變化;而損耗較大時(shí)，則多數(shù)低階模仍為內(nèi)模。

我們知道，普通的金屬壁空波導(dǎo)，在壁電導(dǎo)率為無限大時(shí)是TEmn模式群和TMmn模式群，壁電導(dǎo)率為有限值時(shí)是HEmn模式群、EHmn模式群。當(dāng)內(nèi)壁有介質(zhì)層，即使壁電導(dǎo)率為無限大，一般也不再有純TE、TM模，特殊情況下還可以有，那就是:①圓對(duì)稱(m=0)情況，可有TE0n和TM0n;②介質(zhì)層無耗，低階模仍為TE和TM;③靠近截頻(fc)的頻區(qū)，簡正模是“準(zhǔn)TE”和“準(zhǔn)TM”。

上世紀(jì)90年代初黃志洵和曾誠［9］針對(duì)內(nèi)襯電介質(zhì)層圓波導(dǎo)推導(dǎo)出一個(gè)新的特征方程，由于假設(shè)波導(dǎo)壁電導(dǎo)率為有限、內(nèi)壁又有內(nèi)襯介質(zhì)層，因而具有普遍性。但這個(gè)方程式很復(fù)雜，這里只寫出較簡單的式子——如果壁電導(dǎo)率足夠大，則普遍特征方程可近似為

式中εri、μri是i區(qū)的相對(duì)介電常數(shù)、相對(duì)導(dǎo)磁率;hi滿足

如果介質(zhì)材料損耗小，h1有很大的正虛部，表明場(chǎng)主要集中在內(nèi)襯介質(zhì)層中，簡正模成為。這時(shí)有:

當(dāng)b/λ足夠大時(shí)，Imh1變得很大，這時(shí)可得進(jìn)一步簡化的特征方程為:

當(dāng)h1/h2較大時(shí)，有

式中 n 為正整數(shù)(1、2、3、...);代入后得到 q=h2d的值(取μr2=1):

如 εr2較大，則有

衰減可由下式?jīng)Q定:

式中

由于(32)式來源于簡化的特征方程，所以是近似式。當(dāng)δ增大到一定程度，可得進(jìn)一步的近似式:

這時(shí)衰減與d無關(guān)。當(dāng)然我們?nèi)匀豢梢灾挥?32)式進(jìn)行計(jì)算，并與電子計(jì)算機(jī)的結(jié)果作比較。表2是模的情況，表3是模的情況;計(jì)算時(shí)的物理參數(shù)均為:金屬壁電導(dǎo)率σ=1.6×107s/m，b/λ=3.5，εr2=10∠-5°，μr2=1。

表2 模的衰減常數(shù)計(jì)算

表2 模的衰減常數(shù)計(jì)算

δ 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 α(dB/b)App. 33.72 30.39 28.96 28.18 27.71 Exa. 31.01 29.48 28.56 28.04 27.67

表3 模的衰減常數(shù)計(jì)算

表3 模的衰減常數(shù)計(jì)算

δ 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 α(dB/b)App. 31.26 30.61 30.12 29.72 29.40 Exa. 29.43 28.93 28.53 28.22 27.97

結(jié)論是，當(dāng)b/λ大、介質(zhì)層損耗大時(shí)，可能存在的主要模式是和。也就是說，當(dāng)內(nèi)襯材料損耗及厚度都?jí)虼?，?nèi)徑與波長之比也夠大，多數(shù)簡正模將為，場(chǎng)分布主要在空氣區(qū)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)在波導(dǎo)壁附近都小，即能量比較小。

4 金屬的介電特性

以上所述均為導(dǎo)波理論中的表面波概念，它有一系列實(shí)際應(yīng)用，例如微波傳輸中的模抑制器、雷達(dá)技術(shù)中的RCS抑制等。然而幾十年來存在著另一套理論體系和不同的研究路線，即采取表面等離子波(SPW)觀點(diǎn)而展開分析、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)。實(shí)際上，SPW分析既可應(yīng)用經(jīng)典電磁理論中的表面波［10］及消失態(tài)［11］概念，又由于下述兩方面的原因而可以使用量子理論。首先是波動(dòng)經(jīng)由量子化途徑成為粒子;其次是玻璃三棱鏡技術(shù)背后的量子隧穿(quantum tunneling)解釋［12］。SPW(SPP)的應(yīng)用是多方面的，例如特殊的長程SPP波導(dǎo)等器件［13］，集成光學(xué)與近場(chǎng)光學(xué)，納米技術(shù)等。它是高度綜合性的交叉學(xué)科，既激起理論家的興趣又造成技術(shù)專家的密切關(guān)注。

我們的論述將從金屬的介電特性開始。介電常數(shù)本來是針對(duì)電介質(zhì)(它們當(dāng)中不產(chǎn)生傳導(dǎo)電流)而提出的概念，用到導(dǎo)體上并不合適。然而金屬由以原子核為基礎(chǔ)的晶格和自由電子群組成，自由電子群可與等離子體中的自由電子氣相類比，因而可把等離子體分析中的參數(shù)(如自然諧振頻率ωp)引入到分析中。在單色波時(shí)，Maxwell第一定律為

σ是電導(dǎo)率;上式右端第一項(xiàng)是傳導(dǎo)電流，第二項(xiàng)是位移電流;此式可寫作

如果取

下標(biāo)c代表conductor;故方程改寫為

這時(shí)εc就成了電導(dǎo)率σ≠0時(shí)的取

對(duì)真空而言(空氣也類似)εr=1，這時(shí)有

式中e為電子電荷，me為電子質(zhì)量，ne為電子濃度，fc為動(dòng)量轉(zhuǎn)移的平均碰撞頻率(下標(biāo)c代表collision);上式所決定的復(fù)數(shù)電導(dǎo)率稱為Lorentz電導(dǎo)。

向金屬導(dǎo)體理論中引入等離子體概念是理論發(fā)展的重要一步。所謂等離子體振蕩頻率為

故(40)式成為

代入到(39)式中，得

式中

圖4 ε'rc與頻率的理論關(guān)系

在等離子體的傳統(tǒng)理論中，得出的方程與(45)式完全相同［14］。這個(gè)公式告訴人們:①當(dāng)ω→∞，ε'rc→1;②當(dāng) ω = ωp，ε'rc=0;③當(dāng) ω ＜ωp，ε'rc＜0;故可畫出圖4。由于這是一種高通濾波器特性，ωp很像截止波導(dǎo)理論中的截止頻率(ωc)。不過，在等離子體理論描述中，圖4縱坐標(biāo)代表折射率的平方(n2)，這是因?yàn)橛幸韵玛P(guān)系式成立:

而科學(xué)界對(duì)等離子體的描述更多地使用折射率，而非介電常數(shù)。

為了便于對(duì)不同學(xué)科的物理規(guī)律作比較，圖5畫出了一種實(shí)在的等離子體(氫等離子體，電子濃度ne=1013cm-3)的情況，實(shí)線曲線是電磁波通過時(shí)的衰減常數(shù)α，虛線曲線是相位常數(shù)β，橫坐標(biāo)是頻率(104～1013Hz)。在截止區(qū)域內(nèi)電磁場(chǎng)按指數(shù)率下降，即消失態(tài);當(dāng)f＞fp，等離子體呈電介質(zhì)性狀，不是消失態(tài)。

圖5 氫等離子體的計(jì)算例

以上所述只是把金屬中的自由電子群模擬為等離子體，實(shí)際上二者有很大的不同。首先，金屬的ne比氣態(tài)等離子體的ne大很多，因而前者的ωp值也大得多。其次，平均碰撞頻率fc的值與ne的大小也是有關(guān)的，即ne越大fc越大。表4是氣態(tài)等離子體與固態(tài)金屬的比較。

表4 氣態(tài)等離子體與固態(tài)金屬的參數(shù)比較

圖4 顯示，當(dāng) ω ＜ ωp，頻率減小時(shí)|ε'rc|增大;這意味著波長λ加大時(shí)|ε'rc|增大。從文獻(xiàn)檢索得知，實(shí)驗(yàn)是符合這個(gè)判斷的。圖6是一個(gè)由對(duì)銀的測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)曲線［16］。

圖6 ε'rc與波長關(guān)系的實(shí)測(cè)例子

另外，2008 年 M.Sarrazin 和 J.P.Vigneron［17］證明，為了對(duì)一些現(xiàn)象作合理解釋，不能僅用SPW概念，還要考慮其他的電磁本征模式，特別是出現(xiàn)于金屬薄膜的Brewster-Zennek模式［18］，它通過微弱的正介電常數(shù)而顯示其存在。BZ模明顯不同于SPW，它本應(yīng)出現(xiàn)在介質(zhì)/介質(zhì)界面，而非介質(zhì)/金屬界面。圖7表示鉻膜的情況，雖然在較寬波段上ε'rc＜0，但在一個(gè)狹窄波段(λ =1112～1292nm)變?yōu)棣?rc＞0。此外，圖7顯示 ε'rc與波長的關(guān)系也不是簡單的(波長增加ε'rc減小)的關(guān)系，只在波長大于某值(例如1400 nm)時(shí)這關(guān)系才對(duì)。

5 表面等離子波概述

在固體理論中，使用等離子體概念是一種有效的分析方法，即把金屬中的自由電子當(dāng)作高密度電子氣體，其體密度可達(dá)ne=1023cm-3。這時(shí)可把縱向的密度起伏稱為等離子振蕩(plasma oscilations)，它將在金屬內(nèi)傳播開來。單個(gè)“體等離激子”(volume plasmon)的能量為［16］

它的值大約為10ev;相應(yīng)的研究被稱為“等離激子物理學(xué)”(plasmon physics，PP)。圖8是 SPW 的示意，這是一種TM單極化的場(chǎng)，表面場(chǎng)損耗很大，只能傳輸短距離。

圖8 SPW的示意圖

SPW分析仍是依靠Maxwell方程組的運(yùn)用。設(shè)按圖1選取直角坐標(biāo)系，即取zy平面是兩介質(zhì)的界面，而z向是表面波傳播的方向;相應(yīng)的場(chǎng)表示式為式中為單位矢量;一個(gè)沿z向傳播而場(chǎng)在x、-x方向上指數(shù)衰減的波，可以寫作

式中α1、α2是衰減常數(shù);對(duì)于TM模，在列出場(chǎng)方程并運(yùn)用邊界條件后可以證明有以下方程成立:

由于α1、α2均為正實(shí)數(shù)，為了滿足上式εr1與εr2的符號(hào)應(yīng)相反——例如若 εr1＞0，要求 εr2＜0;使用金屬作為媒質(zhì)2可滿足這一條件。

另一方面，在TE模條件下所作分析得出:

這是不可能滿足的，故SPW不能以TE模形式存在。

6 激勵(lì)SPW的Otto方法

1968年 A.Otto［5］發(fā)表論文“用受阻全反射(FTR)法在銀中激勵(lì)非輻射型表面等離子波”，文章描述了在光滑表面上激勵(lì)SPW的一種新方法，它起因于全反射中的現(xiàn)象。由于在金屬/真空界面上相速小于c，用光撞擊表面不能激勵(lì)這種波。然而，如果用一個(gè)棱鏡使其接近金屬/真空界面，可以激勵(lì)SPW，這是在全反射中存在消失波時(shí)用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)的?？梢赃@樣看這種激勵(lì):對(duì)TM光波反射大大減弱，而入射角是特定的值。此法可以對(duì)這些波的色散作準(zhǔn)確評(píng)價(jià)。對(duì)銀/真空界面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與金屬光學(xué)(metal optics)理論作了對(duì)比，二者是符合的。

11的相速卻小于c/n1。由于相速的差異，圖9(a)的方法不能激發(fā)SPW。

在圖9(b)中有一個(gè)間隔層(即區(qū)域2)存在。在1區(qū)和2區(qū)之間的界面上，固定相位點(diǎn)的速度為

現(xiàn)在假如

那么就有

在界面一側(cè)僅為消失波，x方向的場(chǎng)因子為

問題是區(qū)域2與區(qū)域3的界面上會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象?可以認(rèn)為這里的SPW會(huì)與上述消失波諧振，假如二者的相速相同的話。

現(xiàn)在我們討論SPW分析中的經(jīng)典電磁理論的界面方程。我們知道，1947年 F.Goos和 H.H?nchen［20］用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了當(dāng)光束向界面入射時(shí)必將發(fā)生的反射波束位移(GHS)。實(shí)際上，無論GHS研究，或是1968年A.Otto［5］對(duì)電介質(zhì)與金屬界面上發(fā)生的表面等離子波(SPW)研究，都與受阻全反射(Frustrated Total Reflection，F(xiàn)TR)密切相關(guān)，而且都有消失態(tài)(evanescent states)的存在。

2009年黃志洵［21］在論文“消失態(tài)與 Goos-H?nchen位移研究”中，給出了對(duì)電磁波在不同媒質(zhì)界面的折射和反射的分析，進(jìn)而討論了界面發(fā)生全反射時(shí)的消失態(tài)表面波。我們現(xiàn)在從此文中已有的推導(dǎo)出發(fā)，建立起反映界面情況基本方程，并與Otto文章中的表述相對(duì)照。該文在分析由P點(diǎn)發(fā)出的波束向媒質(zhì)1、2的交界面入射(圖10)時(shí)指出，入射角θ1不斷增大到超過臨界角(θ1c)時(shí)就發(fā)生全反射，過程①→②→③;給出媒質(zhì)2中的電場(chǎng)為

圖10 兩媒質(zhì)界面上的全反射

這個(gè)行波的振幅在x方向是指數(shù)衰減的，即消失態(tài)。也就是說，e-α2x代表其振幅，衰減常數(shù)為

進(jìn)一步的推導(dǎo)證明:

由于θ1是入射波束與界面法向的夾角，取θ1=π/2時(shí)有

對(duì)無磁性媒質(zhì)而言折射率n與介電常數(shù)εr關(guān)系為n，故從形式上將有以下方程:

現(xiàn)在來看 Otto的分析;他用時(shí)諧因子 e-jωt，但在本質(zhì)上不會(huì)有所不同。取媒質(zhì)1(圖8上半部分)的電介質(zhì)，相對(duì)電介常數(shù) εr1＞0;媒質(zhì)2為金屬(圖8 下半部分)，相對(duì)電介常數(shù) εr2= ε'r2+jε″r2，而ε'r2＜0;對(duì)于 x＞0，有

也就是

對(duì)于 x＜0，有

現(xiàn)在，z方向是簡諧波(頻率ω，波數(shù) k);在界面兩側(cè)，場(chǎng)是消失態(tài)(evanescent)。這意味著

而相速v=ω/k比介質(zhì)中的平面波波速要小。另外又有

而 ε'r2＜0。

上式?jīng)Q定了整個(gè)體系的色散關(guān)系k(ω)。

下面給出在TM模條件下討論時(shí)Zenneck類型SPW傳播時(shí)的色散關(guān)系。在過去的討論中，場(chǎng)的時(shí)間相位因子可取 exp［jωt- γz］或 exp［-jωt+ γz］;當(dāng)取后者時(shí)，若忽略衰減(γ=α+jβ?jβ)就有 exp［-jωt+jβz］?，F(xiàn)在 β 也是復(fù)數(shù)，可寫 β = β'+jβ″，并可證明［15］

圖11 Otto的SPW激勵(lì)方法(原理)

Otto實(shí)驗(yàn)的原理建筑在“被衰減的全反射”(attenuated total reflection，ATR)的基礎(chǔ)上，意思是說利用單三棱鏡、通過調(diào)整入射角使之發(fā)生全反射時(shí)，底面有消失波滲透到下面的介質(zhì)中，如圖11所示。如棱鏡P的折射率足夠大，對(duì)于TM入射波可以調(diào)整入射角(θ1)使入射波沿界面方向的波矢分量等于SPW要求的波矢，調(diào)整空氣隙厚度d也有影響(d應(yīng)當(dāng)足夠小)，而這時(shí)消失波沿x方向的強(qiáng)度為

式np中是棱鏡折射率，n0?1是空氣折射率;這個(gè)消失波將與金屬表面SPW諧振(如二者相速相等)，亦即SPW被激發(fā)。這時(shí)由于SPW的能量被吸收，對(duì)特定入射角全反射“受阻”。測(cè)量會(huì)發(fā)現(xiàn)由棱鏡底部的全反射波強(qiáng)(光強(qiáng))明顯下降，形成一個(gè)吸收峰，就證明使用ATR技術(shù)激勵(lì)SPW成功。圖12是Otto實(shí)驗(yàn)的示意，P是石英玻璃制成的;Ⅰ、Ⅱ是石英玻璃板，面積為 9.5×5cm2，板Ⅱ中間 0.7×1.5cm2面積是鍍銀膜，厚度大于100nm;圖13是實(shí)驗(yàn)結(jié)果舉例，縱坐標(biāo)表示反射的大小;實(shí)驗(yàn)條件是:金屬膜厚150nm，入射光波長λ=406nm。實(shí)驗(yàn)顯示，當(dāng)調(diào)整入射角使θ1為一合適角度(有文獻(xiàn)稱之為θATR)，SPW被入射波激發(fā)，這時(shí)入射能量的很大部分轉(zhuǎn)移到金屬膜與空氣的界面上，成為SPW的能量;故反射率R這時(shí)成為最小值(負(fù)峰值)，表示“全反射”已有名無實(shí)，也可稱之為諧振吸收峰。故能否獲得圖13那樣的曲線是實(shí)驗(yàn)激勵(lì)SPW是否成功的標(biāo)志!

7 激勵(lì)SPW的Kretschmann方法

1971 年 E.Kretschmann［6］發(fā)表了題為“用表面等離激子激勵(lì)以確定金屬光學(xué)常數(shù)”的論文，給出了精確決定金屬薄膜的光學(xué)常數(shù)和厚度的方法，它基于光波全反射條件下激起的SPW;在λ=400～600nm波段對(duì)銀箔進(jìn)行了測(cè)量，給出了方法的精度。圖14是Kretschmann的SPW激勵(lì)方法示意，方便之處在于金屬膜可以直接鍍?cè)谌忡R的底面上?？赡苁怯捎贙retschmann的方法簡單易行，在上世紀(jì)80年代就廣泛被用來確定薄金屬膜的光學(xué)常數(shù)和厚度，成為一種技術(shù)［22，23］。

圖14 Kretschmann的SPW激勵(lì)方法(原理)

Kretschmann說，雖然Otto最先提出了用棱鏡激發(fā)SPW的方法，但在棱鏡與金屬之間有薄空氣層的安排，對(duì)測(cè)量介電常數(shù)是不利的，特別是測(cè)量時(shí)空氣層厚度難于掌握。我們用本文的符號(hào)εrc=ε'rc+jε″rc來表達(dá) Kretschmann 的思路——他指出，如果金屬的介電常數(shù)滿足以下不等式:

那么非幅射性的SPW可能出現(xiàn)在金屬與空氣的介面上，SPW的特點(diǎn)是，波矢的水平分量k⊥＞k0;把TM極化光射到棱鏡面(已直接鍍有薄金屬膜)上，且θ1＞θ1c，可以激勵(lì) SPW。具體講，改變 θ1可找到反射最小的位置，測(cè)量諧振角可計(jì)算出εrc。而且，反射率Rp最小時(shí)，吸收率Ap=1-Rp可達(dá)到最大，膜厚可由下式得出:

式中

8 討論

近年來對(duì)表面電磁波的研究重新引發(fā)了科學(xué)工作者們濃厚的興趣，這不是偶然的。首先，開波導(dǎo)中的慢波(或閉波導(dǎo)中加入電介質(zhì)后產(chǎn)生的慢波)造成了許多物理學(xué)方面的思考，涉及波動(dòng)力學(xué)中的一些根本性問題。其次，對(duì)金屬的介電常數(shù)的研究，以及對(duì)SPW激勵(lì)方法的研究，開拓了人們的科學(xué)思維，刺激了一些交叉學(xué)科的生成。

現(xiàn)對(duì)當(dāng)前的研究趨向這里作簡要的討論。首先在微波用三棱鏡技術(shù)激勵(lì)SPW的可能性問題是令人感興趣的。雖然2001年 H.E.Went和 J.R.Sambles［19］曾給出用金屬光柵(metallic gratings)技術(shù)在微波激發(fā)SPP的方法，2004年、2009年又陸續(xù)有人做了這方面的實(shí)驗(yàn)［15，24］;然而至今尚未看到采用棱鏡方法的報(bào)導(dǎo)。我們認(rèn)為在微波按Otto型方法作實(shí)驗(yàn)是有可能成功的，有關(guān)嘗試已在進(jìn)行。

另外，浙江農(nóng)林大學(xué)教師王仲鉞于2010年9月5日發(fā)email給黃志洵說:“讀了您的文章‘表面波波導(dǎo)理論的研究’一文后，覺得表面電磁波色散關(guān)系其實(shí)與快子(超光速粒子tachyon)的能量方程完全對(duì)應(yīng)，差別只在于一個(gè)比例系數(shù)。......表面波的相速小于光速，正好說明真實(shí)速度大于光速——這是量子力學(xué)中的物質(zhì)波理論的決定的，真實(shí)運(yùn)動(dòng)速度與相速乘積為一常數(shù)(c2)?？傊_波導(dǎo)與閉波導(dǎo)不同，色散關(guān)系對(duì)應(yīng)的是快子方程!可以考慮做表面波實(shí)驗(yàn)研究這一問題。”……王仲鉞還用“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)功夫”的詩句描寫他的心情和感受。

de Broglie物質(zhì)波理論中確有下述公式［25］:式中v是微觀物質(zhì)粒子(如電子、原子)的運(yùn)動(dòng)速度，動(dòng)量為mv;vp是該粒子對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波的相速。從這里出發(fā)思考，王仲鉞的意見是有道理的，進(jìn)一步的深入研究則尚待進(jìn)行。

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