小波變換的時(shí)頻分析及其在實(shí)際中的應(yīng)用

徐博堯，楊剛，李欣欣

(中國傳媒大學(xué)，北京 100024)

1 引言

在信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，F(xiàn)ourier分析得到廣泛應(yīng)用。在分析方法上，根據(jù)信號(hào)的時(shí)域抽樣定理和頻域抽樣定理，可以將兩種信號(hào)的Fourier變換的計(jì)算轉(zhuǎn)換為有限長序列的離散Fourier變換的計(jì)算。從而可以從數(shù)值上實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的與系統(tǒng)的頻域分析。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，需要對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)和事變信號(hào)進(jìn)行分析研究，以期獲取信號(hào)在不同瞬間對(duì)應(yīng)的頻譜分布，從而了解信號(hào)的頻率和能量隨時(shí)間變化的規(guī)律。但是在利用傅里葉變換分析這些突變信號(hào)的時(shí)候，無法有效的反映信號(hào)在某些瞬間的突變。因?yàn)樵谛盘?hào)的Fourier變換中，反映的是信號(hào)的總體平均信息，信號(hào)頻譜中的任一頻率分量都是對(duì)信號(hào)整個(gè)時(shí)域定義區(qū)間上的Fourier積分或求和，信號(hào)在時(shí)域上某些瞬間的突變，在信號(hào)的頻譜上雖然有所反映，但是一般并不明顯。此外，即使能夠計(jì)算出信號(hào)的頻譜，但由于信號(hào)的瞬間突變而發(fā)生了改變，也無法從信號(hào)的頻譜中確定信號(hào)在時(shí)域的突變時(shí)刻，即在信號(hào)的Fourier變換中，無法反映信號(hào)的時(shí)間特性。

時(shí)頻分析實(shí)際上是將一維的時(shí)間信號(hào)映射到二維的時(shí)間尺度上，以便看清在細(xì)小時(shí)間內(nèi)信號(hào)頻率的變化，這對(duì)于非平穩(wěn)和時(shí)變信號(hào)來講是非常有用的。

2 小波變換簡介

2.1 綜述

小波分析法是一種非常有效的信號(hào)時(shí)頻分析方法，在信號(hào)處理、語音分析、模式識(shí)別等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它是一種窗口大小固定，但其形狀可以改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局域化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢，而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn)。在大尺度下，可以將信號(hào)的低頻信息全局表現(xiàn)出來，在小尺度下，可以將高頻局部特性表現(xiàn)出來因此小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”［1］?？傮w上說，小波變換比短時(shí)傅里葉變換具有更好的時(shí)頻特性窗口。對(duì)于平穩(wěn)和非時(shí)變信號(hào)而言，可以用傅里葉變換分析它的時(shí)頻域性質(zhì)。但是對(duì)于非平穩(wěn)和時(shí)變信號(hào)來說，傅里葉變換就作用不大了，它無法反映信號(hào)在某些瞬間的突變。因?yàn)槲覀冃枰私庑盘?hào)在不同瞬間所對(duì)應(yīng)的頻譜分布，從而了解信號(hào)的頻率和能量隨時(shí)間變化的規(guī)律特征。因此我們使用小波變換。小波變換對(duì)信號(hào)具有良好的自適應(yīng)性。

2.2 小波變換公式及基本原理

其中a為尺度參數(shù)，τ為平移參數(shù)。φaτ(t)依賴于a，τ的小波基函數(shù)。它們是一組φ(t)經(jīng)過伸縮平移得到的函數(shù)序列。

時(shí)頻分析中常用的是連續(xù)小波變換，在實(shí)際信號(hào)處理中常用離散小波變換及其逆變換。連續(xù)小波變換表達(dá)式為:

離散小波變換表達(dá)式為:

由以上我們可以看出來，小波變換時(shí)一種積分變換。小波基并不唯一，即存在許多不同特性的小波基函數(shù)，這是它與Fourier變換不同的地方。小波基存在尺度和平移τ兩個(gè)參數(shù)，所以函數(shù)經(jīng)過小波變換，就可以將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到時(shí)間——尺度平面上，從而同時(shí)獲得信號(hào)的時(shí)間和頻率分量，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)頻分析［2］。

3 小波變換的時(shí)頻分析

3.1 對(duì)頻率時(shí)變信號(hào)做連續(xù)小波變換

原信號(hào)為一個(gè)頻率隨時(shí)間增大的函數(shù)，其連續(xù)小波變換系數(shù)如圖1所示。所使用的小波基函數(shù)為Daubechies系列的小波基db10。

源程序如下:

wname= ‘db10’;

clear all;

M=2^11;a(1:1:M)=0;

b(1:1:M)=0;

y(1:1:M)=0;

K=400;

Kc=10;

N=10;

L=24;

a(1)=0.5*K;

for i=2:1:M

a(i)=a(i－1)+K;

end

b(1)=Kc+a(1);

for i=2:1:M

b(i)=b(i－1)+(Kc+a(i));

end

for i=1:1:M

y(i)=floor(2^N*cos(2*pi/(2^L)*b(i)));

end

figure(1);subplot(211);plot(y);axis(［0 M，－2^N －100 2^N+100］);

subplot(212);cwt(y，1:1:512，wname，‘plot’);colorbar;

figure(2);subplot(211);plot(y);axis(［0 M，－2^N －100 2^N+100］);

totalscal=512;

wcf=centfrq(wname);

cparam=2*wcf*totalscal;

a=100:－1:1;

scal=cparam./a;

coefs=cwt(y，scal，wname);

f=scal2frq(scal，wname，1/fs);

xlabel(‘時(shí)間 t/s’);

ylabel(‘頻率 f/Hz’);

subplot(212);imagesc(t，f，abs(coefs));

title(‘小波時(shí)頻圖’);

colorbar;

原信號(hào)如圖1中的(a)所示。

圖1 對(duì)頻率漸增信號(hào)使用db10小波基函數(shù)進(jìn)行小波變換

從圖1中可以看出來，使用小波變換可以清楚的將信號(hào)所包含的頻率成分都識(shí)別出來。圖中，亮度高的地方，小波變換系數(shù)大;反之則系數(shù)小。因此，我們可以看出小波系數(shù)大致在時(shí)間——尺度上的分布情況［4］。信號(hào)在時(shí)域的能量等于信號(hào)在小波變換域里格展開分量的能量之和，滿足能量守恒。我們還可以看到，隨著原始信號(hào)在較低尺度信號(hào)空間上的投影，其對(duì)應(yīng)信號(hào)的信號(hào)分量，相應(yīng)的平移步長較寬，因而時(shí)間分辨率，頻率分辨率逐漸變高，所以如圖所示，信號(hào)的高頻分量有了較高的時(shí)間分辨率，而信號(hào)中低頻分量有了較高的頻率分辨率。這說明，信號(hào)的小波變換能夠根據(jù)信號(hào)的變化特性自動(dòng)調(diào)整時(shí)窗和頻窗，因而可以有效的實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)頻分析。

為了更清楚的看清楚不同頻率成分的時(shí)間——尺度投影，再給一個(gè)只含兩種頻率成分的2FSK信號(hào)做小波變換，所選的小波基仍為db10。源程序省略。效果如圖2所示。

從上面可以看出，兩種頻率成分被區(qū)分的非常清楚，頻率大小和時(shí)間分辨率的關(guān)系也在圖中體現(xiàn)出來。

3.2 使用不同小波基對(duì)原信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析

小波基的選擇并不是唯一的，這為信號(hào)的小波分析提供了更多的靈活性，同時(shí)也給實(shí)際應(yīng)用的選擇帶來了一定的難處。下面討論不同小波基分析的時(shí)頻效果。

3.2.1 使用 coifl小波基

對(duì)原頻率漸增信號(hào)使用coifl小波基變換后效果如圖3所示。

3.2.2 使用sym8小波基

對(duì)原頻率漸增信號(hào)使用sym8小波基變換后效果如圖4所示。

3.2.3 使用dmey小波基

對(duì)原頻率漸增信號(hào)使用dmey小波基變換后效果如圖5所示。

仔細(xì)比較圖1，圖3，圖4，圖5，同一個(gè)信號(hào)，使用不同的小波基對(duì)其進(jìn)行小波變換，則變換后小波系數(shù)不一樣，對(duì)高低頻的分辨率也不一樣，出來的時(shí)域分辨度也不一樣。小波函數(shù)的尺度越高，其對(duì)應(yīng)信號(hào)中越精細(xì)的細(xì)節(jié)。因此要根據(jù)具體情況適當(dāng)選擇小波基函數(shù)。就原頻率漸增信號(hào)而言，選擇db10小波基在所選擇的小波基中是效果最好的。

小波基函數(shù)具有非唯一性，它使得小波分析具有更加廣泛的適應(yīng)性，可實(shí)現(xiàn)對(duì)于不同特性的信號(hào)采用不同的小波基信號(hào)，從而使得變換后的小波系數(shù)更稀散，更加易于信號(hào)的分析和處理。因此，小波分析具有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，特別是對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，有著明顯的優(yōu)越性。

4 小波變換和其他變換的比較

圖6為原頻率漸增信號(hào)經(jīng)漢明窗的STFT變換后的結(jié)果。

圖6 頻率漸增信號(hào)經(jīng)漢明窗的STFT變換的頻譜、三維、等高圖

小波變換和其他變換一樣，都是將信號(hào)展開為一組正交信號(hào)的線性疊加。但是Fourier技術(shù)是將一維連續(xù)變量映射成一維的離散序列;而小波展開則是將一維連續(xù)變量映射為而為的離散序列。正式這種二維表示使得小波展開同時(shí)具有時(shí)間和頻率的分辨率。

如圖6，STFT的時(shí)域分辨率和頻域分辨率是相互制約的。STFT變換可以同時(shí)具有時(shí)頻分辨率，但是其時(shí)頻窗口的形狀對(duì)于不同的信號(hào)分量保持不變。其時(shí)間分辨率由信號(hào)的STFT中的時(shí)窗寬度決定，時(shí)窗寬度越窄，時(shí)間分辨率越高;頻率分辨率則由窗函數(shù)頻譜寬度決定。由窗函數(shù)特性可知，窗函數(shù)的時(shí)域?qū)挾仍秸?，窗函?shù)頻譜就越窄，因此STFT無法同時(shí)獲得較高的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。而小波變換則能夠?qū)Σ煌盘?hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)頻窗口的自動(dòng)調(diào)整。

因此只有小波變換的時(shí)頻窗能夠較好的滿足非平穩(wěn)及時(shí)變信號(hào)時(shí)頻分析的需求。

5 小波變換在實(shí)際中的應(yīng)用

小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括:數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科;信號(hào)分析、圖象處理;量子力學(xué)、理論物理;軍事電子對(duì)抗與武器的智能化;計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別;音樂與語言的人工合成;醫(yī)學(xué)成像與診斷;地震勘探數(shù)據(jù)處理;大型機(jī)械的故障診斷等方面。

在通信系統(tǒng)中，小波變換最常見的應(yīng)用有去噪、壓縮和檢測。

下面舉一個(gè)小波變換實(shí)際應(yīng)用的例子——小波去噪。仍是給這個(gè)時(shí)變頻率的原信號(hào)加上加性高斯白噪聲，源程序省略。

圖7 利用不同閾值規(guī)則給信號(hào)進(jìn)行小波去噪

圖7中分別利用了soft SURE閾值規(guī)則、sqtwolog閾值規(guī)則、minimax閾值規(guī)則進(jìn)行去噪。

從圖中可見，不同的閾值規(guī)則產(chǎn)生了不同的去噪效果。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)具體情況采用相應(yīng)的閾值規(guī)則，以獲得最佳去噪效果。

6 結(jié)束語

小波變換和其他形式的Fourier變換相比，在處理非平穩(wěn)和時(shí)變信號(hào)上具有明顯的優(yōu)勢，它能夠根據(jù)信號(hào)的特性自動(dòng)調(diào)整時(shí)窗和頻窗大小，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)頻分析。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換時(shí)，選擇小波基函數(shù)是難點(diǎn)和重點(diǎn)，需要根據(jù)實(shí)際情況反復(fù)實(shí)驗(yàn)比對(duì)方能做出選擇。

［1］ 徐明遠(yuǎn)，劉增力.MATLAB仿真在信號(hào)處理中的應(yīng)用［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2004.

［2］ STéphane Mallat.陳后金，主編.數(shù)字信號(hào)處理(第2版)［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［3］ 楊力華，戴道清，譯.信號(hào)處理的小波引導(dǎo)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

［4］ 孫濤，郭亞玲.小波變換在時(shí)頻分析中的應(yīng)用［C］.中國科技論文在線，2006.