薄膜加載變形的有限元數(shù)值優(yōu)化反演求解

石廣豐，劉麗萍，袁帥

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué)，長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春職業(yè)技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130033；3.中國(guó)專利信息中心，北京 100088）

薄膜反射鏡技術(shù)是解決空間望遠(yuǎn)鏡主鏡大口徑、輕量化問(wèn)題的主要手段，而利用靜電成形法是薄膜反射鏡成形的革命性控制方法［1］。但是，反射鏡聚合物薄膜的超柔、低剛度特點(diǎn)使得薄膜反射鏡的面形控制受到極大的挑戰(zhàn)。目前由已知薄膜加載條件，求薄膜變形（正演求解）的問(wèn)題廣泛研究，已有很多成果［2］。多電極靜電薄膜反射鏡面形控制的核心問(wèn)題就是由已知目標(biāo)面形（一定面形精度的拋物面）反求初始平面狀態(tài)下的薄膜受載性質(zhì)［3］，這屬于薄膜加載變形的反演求解問(wèn)題。

1978年國(guó)外的D.J.Mihora給出了薄膜反射鏡的反演數(shù)值解法［4］，但具體內(nèi)容未見(jiàn)報(bào)道。1986年E.S.CLAFLIN和N.BAREKET給出了基于泊松方程小變形理論的最小二乘法解析求解方法［5］。2004年JéromeJuillard和MihaiCristescu在已知目標(biāo)面形的前提下，求VonKarman方程的解析解［6］。在國(guó)內(nèi)，浙江大學(xué)的徐彥通過(guò)求解變形前后的薄膜力學(xué)平衡微積分方程方法在均布載荷作用下以拋物面為目標(biāo)面反演求解了初始面形和載荷大?。?］。從國(guó)內(nèi)、外的現(xiàn)狀分析可知，目前關(guān)于薄膜加載變形的反演求解問(wèn)題研究的并不多。

本文建立了薄膜加載變形的有限元數(shù)值優(yōu)化反演求解模型，并通過(guò) ANSYS有限元仿真軟件的APDL參數(shù)化語(yǔ)言編制了優(yōu)化求解程序，對(duì)一定預(yù)張力條件下的薄膜受載性質(zhì)和面形之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，對(duì)于薄膜反射鏡的非均布載荷成形控制具有重要意義。

1 反演求解

1.1 優(yōu)化算法

由薄膜受載變形的正演求解問(wèn)題，我們可以求出薄膜在一定預(yù)張力［8］條件下受均布載荷所得的變形值。若將這個(gè)變形值條件下的拋物面面形作為目標(biāo)，反演求解所需的離散均布載荷的大小，可大大減少數(shù)值迭代計(jì)算的次數(shù)和時(shí)間。即薄膜加載變形的正演問(wèn)題為反演求解問(wèn)題提供了計(jì)算的基礎(chǔ)（如圖1）。算法如圖2所示。

圖1 薄膜受載變形的求解方法Fig.1 Solution methods of membrane pressed to deform

圖2 薄膜加載變形反演求解算法Fig.2 Algorithm of inverse solution about membrane forced to deform

下面介紹一下在有限元分析軟件ANSYS環(huán)境中利用其APDL程序語(yǔ)言建立薄膜加載變形反演求解的參數(shù)化求解模型。

1.2 有限元求解模型

（1）薄膜區(qū)域加載

以6 mm 的單元大小對(duì)［9］300mm口徑、25m厚的聚酰亞胺薄膜進(jìn)行劃分，結(jié)點(diǎn)數(shù)2276，有限元模型如圖3和4所示。薄膜材料屬性如文獻(xiàn)［3］。從表1可以看出均壓條件下薄膜中心變形量數(shù)值和Hencky-Campbell薄膜大變形級(jí)數(shù)解析解［10］在小數(shù)點(diǎn)后三位是相同的，可見(jiàn)程序的正確性。

圖3 薄膜有限元模型Fig.3 Finite element model of the membrane

圖4 分區(qū)均布加載形式Fig.4 Style of discrete equal pressures exerted on the membrane

外界的溫、濕度變化會(huì)對(duì)薄膜的面內(nèi)張力產(chǎn)生影響，根據(jù)薄膜熱膨脹系數(shù)與熱張力的關(guān)系，薄膜預(yù)張力為［9］

根據(jù)式（1），可以在模擬環(huán)境中通過(guò)采用降溫的方法來(lái)模擬薄膜邊界預(yù)張力的變化。

表1 一定邊界條件下的薄膜受載變形對(duì)比Tab.1 Contrast of membrane deformation under certain boundary condition and pressure

（2）面形目標(biāo)提取

薄膜成形面形和理想面形偏差的均方根是評(píng)價(jià)面形質(zhì)量的重要手段。將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值和結(jié)點(diǎn)變形值相加，得到變形后的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。在軸截面內(nèi)可由兩個(gè)固定邊界點(diǎn)和中心變形點(diǎn)確定理想拋物線。由計(jì)算面形和理論面形對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)偏差RMS可反映迭代計(jì)算的優(yōu)化目標(biāo)。

（3）面形優(yōu)化

在確定優(yōu)化目標(biāo)之后，將離散均布載荷分別作為變量進(jìn)行全局優(yōu)化，計(jì)算面形和理論面形中心變形量偏差和薄膜極限拉伸強(qiáng)度作為狀態(tài)變量，可實(shí)現(xiàn)一定邊界預(yù)張力和薄膜材料模型條件下薄膜成形所需的離散優(yōu)化載荷大小。

2 求解分析

為了分析離散環(huán)形均布載荷的多少對(duì)優(yōu)化面形的控制作用，利用上面的求解模型得到了薄膜分別在變形中心變形量為0.5mm、1mm和1.5mm三種情況下的載荷多少與所得薄膜面形精度之間的關(guān)系。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)劃分載荷等徑寬區(qū)域的數(shù)目超過(guò)3以上時(shí)，薄膜的面形精度區(qū)域穩(wěn)定。因此可以利用三環(huán)離散均布載荷來(lái)進(jìn)行面形控制的優(yōu)化分析。

圖3 優(yōu)化面形偏差RMS隨等徑寬分區(qū)載荷環(huán)數(shù)變化的關(guān)系Fig.3 Relation between optimized surface RMS and the annulus number change of equal pressures exerted on membrane in the radial direction

采用三環(huán)等徑寬載荷作用區(qū)域?qū)Ρ∧みM(jìn)行不同預(yù)張力條件下的優(yōu)化載荷加載變形求解。從表2-表4中可以看出：

（1）當(dāng)預(yù)張力相同的條件下，非均布優(yōu)化載荷可使面形精度顯著提高；但隨著均步載荷的增大，非均壓優(yōu)化面形的精度下降，即在已有控制條件下，小變形的面形精度高，薄膜變形越大，面形越差。

（2）預(yù)張力越大，薄膜面形優(yōu)化后的精度也越大，預(yù)張力增大所提高的面形精度和薄膜非均布優(yōu)化所得的面形精度相當(dāng)。

（3）薄膜變形量越小，薄膜面形的均壓和優(yōu)化非均壓的面形精度之間優(yōu)化幅度越小；薄膜變形量越大，薄膜面形的均壓和優(yōu)化非均壓的面形精度優(yōu)化幅度越大，優(yōu)化非均布電壓之間差值也越大，優(yōu)化面形對(duì)比分析明顯。當(dāng)預(yù)張力增大時(shí)，薄膜面形的均壓和優(yōu)化非均壓的面形精度之間的優(yōu)化幅度降低。

（4）雖然優(yōu)化后的面形精度得到提高，薄膜中心變形量卻有一定偏差?？梢钥s小薄膜中心變形量偏差狀態(tài)變量來(lái)達(dá)到精確矢高控制的目的，但會(huì)犧牲部分面形精度。因此應(yīng)當(dāng)合理設(shè)置薄膜中心變形量偏差狀態(tài)變量和面形目標(biāo)優(yōu)化精度，獲得所需面形的控制目的。

表2 對(duì)應(yīng)降溫-6.7538℃時(shí)的優(yōu)化加載和面形關(guān)系Tab.2 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-6.7538℃

表3 對(duì)應(yīng)降溫-15.1751℃時(shí)的優(yōu)化加載和面形關(guān)系Tab.3 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-15.1751℃

表4 對(duì)應(yīng)降溫-26.9262℃時(shí)的優(yōu)化加載和面形關(guān)系Tab.4 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-26.9262℃

通過(guò)此反演求解模型可以初步分析出薄膜預(yù)張力、離散均布優(yōu)化載荷和面形精度和矢高之間的影響關(guān)系，找到了面形離散均布載荷控制的依據(jù)。

3 結(jié)論

給出了以一定面形精度和中心變形量的拋物面為目標(biāo)的柔性平面薄膜加載變形的反演求解算法和有限元模型。通過(guò)對(duì)300mm口徑、25um厚的聚酰亞胺薄膜三環(huán)等徑寬離散均布載荷的反演優(yōu)化求解，分析了薄膜邊界預(yù)張力和優(yōu)化載荷對(duì)薄膜面形精度和矢高的控制規(guī)律和特點(diǎn)。在薄膜邊界預(yù)張力一定的情況下，薄膜面形精度由優(yōu)化載荷和變形矢高決定；對(duì)于大變形的薄膜面形控制，在施加優(yōu)化載荷的同時(shí)，提高薄膜邊界預(yù)張力可有效提高薄膜面形精度。

本文工作為薄膜反射鏡的大變形高精度面形控制研究奠定了理論基礎(chǔ)。

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