基于ANSYS的漸開線齒輪模態(tài)分析與研究

葛正浩, 翟志恒,, 姚衛(wèi)民, 孟憲坤

(1.陜西科技大學機電工程學院， 陜西 西安 710021;2.咸陽西北醫(yī)療器械(集團)有限公司， 陜西 咸陽 712000)

0 引 言

在實際工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計中，動力學設(shè)計和分析是必不可少的一項工作.在機械行業(yè)很多領(lǐng)域都會接觸到大量的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)一般來說在整個機械中占有極其重要的地位，它們的損壞大部分都是由于共振引起較大振動應力而導致的.同時由于處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，它們所受外界激振力比較復雜，更要求對這些關(guān)鍵部件進行完整的動力學設(shè)計和分析.

模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)振動特性的一種技術(shù)，通過它可以確定自然頻率、振型和振型參與系數(shù).模態(tài)分析可以使結(jié)構(gòu)設(shè)計避免共振或以特定頻率進行振動,明確結(jié)構(gòu)對于不同類型的動力載荷是如何響應的，有助于在其他動力學分析中估算求解控制參數(shù).

1 齒輪的固有振動分析

2 齒輪的模態(tài)分析

由彈塑性力學可知，齒輪系統(tǒng)的運動方程為：

本文所研究的是直齒圓柱齒輪自由振動類型，因此可設(shè){F(t)}=0，得到自由振動方程，又由于阻尼對模態(tài)分析的影響不大，可令[C]=0，從而得到無阻尼的自由振動方程：

其對應的特征值方程為：

式中，ωi為第i階模態(tài)的固有頻率，{xi}為第i階模態(tài)的主振型.i=1,2,…,n.特征值ωi及其對應的特征向量{xi}稱為該振動系統(tǒng)的特征對，{xi}代表齒輪按ωi振動時各坐標點之間的相對振幅，稱為齒輪的第i階主振型或模態(tài)，齒輪的模態(tài)矩陣為

[X]=[{x1}{x2}…L{xn}]

這時的振動系統(tǒng)一般存在n個固有頻率和n個主振型，每一對頻率和振型代表一個單自由度系統(tǒng)的自由振動，這種在自由振動時結(jié)構(gòu)所具有的基本振動特性稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài).多自由度系統(tǒng)的自由振動可以分解為n個單自由度的簡諧振動的疊加，或者說系統(tǒng)的自由振動是n個固有模態(tài)振動的線性組合.這就意味著多自由度系統(tǒng)一般說來不是作某一固有頻率的自由振動，而是多個固有頻率的簡諧振動的合成.

由振動理論可知，在結(jié)構(gòu)的振動過程中起主要作用的是較低階的固有頻率和對應的振型，并且由于結(jié)構(gòu)阻尼的存在，高頻所對應的振型將迅速衰減，因此求解高階頻率沒有實際意義，為此本研究在對齒輪進行模態(tài)分析時選取前15階固有頻率進行分析,這樣既能得出對齒輪影響較大的固有頻率和振型值，又能加快求解速度.

3 齒輪有限元模態(tài)分析

根據(jù)傳動機構(gòu)的設(shè)計要求及結(jié)構(gòu)特點，計算得出直齒圓柱齒輪初始參數(shù)：

齒頂直徑24 mm；齒底直徑20 mm；齒數(shù)10；厚度8 mm，中間厚3 mm；彈性模量2.06×105MPa；體積質(zhì)量7.8×103kg/m3.

3.1 建立齒輪模型

在齒輪造型中，齒廓曲線的生成是最困難、最重要的環(huán)節(jié)，特別是在有限元分析時，輪齒曲線的精確度影響著有限元分析結(jié)果的準確性.利用Pro/E軟件構(gòu)造直齒輪三維模型，借助Pro/E建模過程中所使用的漸開線及螺旋線的方程，可得到更為精確的直齒輪三維模型.將建立好的齒輪導入到ANSYS中，就可以在兩個軟件間實現(xiàn)無縫連接.導入后的齒輪有限元模型如圖1所示.

圖1 齒輪模型 圖2 齒輪網(wǎng)格劃分結(jié)果

3.2 定義單元屬性

在進行齒輪面建模前，需定義齒輪的單元類型，包括單元類型、單元實常數(shù)、材料屬性等.根據(jù)分析類型，對此直齒圓柱齒輪選用實體單元類型Solid，并選擇Brick 20node 186選項，選擇20節(jié)點三維單元SOLID 186并進行單元添加.對材料屬性的定義時，定義材料的彈性模量為2.06×105MPa，并設(shè)定泊松比為0.3，體積質(zhì)量為7.8×103kg/m3.

3.3 齒面網(wǎng)格劃分

在進行齒面網(wǎng)格劃分時，采用Brick 20node 186選項，選擇20節(jié)點三維單元SOLID 186的形式，齒輪網(wǎng)格劃分后的結(jié)果如圖2所示.

3.4 模態(tài)分析設(shè)置

在模態(tài)分析過程中，建立有限元模型后，就需要進行模態(tài)分析設(shè)置.定義分析類型為MODAL，并采用Block Lanczos法(分塊蘭索斯法)來提取模態(tài)，設(shè)定No.of nodes to extract域輸入提取的模態(tài)數(shù)目為15，Expand mode to shaps設(shè)置為Yes，在No.of nodes to expand域輸入要擴展的模態(tài)數(shù)目為15，設(shè)定完成后需在Block Lanczos法中設(shè)定StartFreq(initial shift)為0，End Frequency為100 000.

3.5 施加邊界條件并求解

對齒輪進行模態(tài)分析的目的是求出齒輪各階固有頻率及其對應主振型，因此不需對模型加載，只需對齒輪內(nèi)孔圓柱面進行自由度約束.選擇欲施加位移約束的內(nèi)孔圓柱面上的一個關(guān)鍵點，并設(shè)定其約束方向為ALL DOF.

完成邊界條件的施加后，利用求解器將固有頻率輸出，固有頻率被寫到輸出文件*.OUT及振型文件*.MODE中.由于振型還未被寫到數(shù)據(jù)庫或結(jié)果文件中，因此還不能對結(jié)果進行后處理，需對模態(tài)進行擴展后方可進行后處理.

3.6 模態(tài)擴展設(shè)置及擴展求解

擴展模態(tài)適用于多種模態(tài)提取方法，如果想在后處理器中觀察振型，必須先進行模態(tài)擴展，將振型寫入結(jié)果文件.模態(tài)擴展要求振型文件*.MODE、文件*.EMAT、*.ESAV及*.TRI必須存在,數(shù)據(jù)庫中必須包含和解算模態(tài)時所用模型相同的分析模型.在進行模態(tài)擴展設(shè)置時，需再次進入求解器，在擴展分析中設(shè)定No.of nodes to expand域輸入要擴展的模態(tài)數(shù)目為15，頻率范圍為0～10 000，輸出控制部分設(shè)定被控制項為All Item，并采用每一子步頻率輸出.設(shè)定完成后進行擴展求解，得到求解數(shù)據(jù)文件.

圖3 分析結(jié)果的列表顯示

4 模態(tài)分析結(jié)果及分析

模態(tài)分析的結(jié)果(即模態(tài)擴展處理的結(jié)果)被寫入到結(jié)構(gòu)分析結(jié)果文件*.RST中.分析結(jié)果包括固有頻率、已擴展的振型、相對應力和力的分布.求解完成后得出齒輪的15階固有頻率,生成結(jié)果文件可進行后處理操作.通過讀取各階模態(tài)，求出齒輪在每一階固有頻率下的主振型.圖3為1階至15階下的固有頻率數(shù)值.

由于之前對齒輪進行了模態(tài)擴展，所以對于圖3列表的每一階固有頻率，程序均可求解出每一階固有頻率下的主振型.利用ANSYS通用后處理器可對其進行觀察和分析，并可對各階模態(tài)振型進行動畫顯示.現(xiàn)對固有頻率分別為0 Hz、0.105 32×10-4Hz、0.169 87×10-4Hz、2.886 6 Hz、4.544 8 Hz、5.124 9 Hz、9.863 6 Hz、9.891 9 Hz、17.219 Hz、17.421 Hz、21.66 Hz、24.808 Hz、24.846 Hz、27.904 Hz、32.019 Hz時的傳動齒輪求解其主振型，并對各階主振型進行歸納分析，并得出結(jié)論.

根據(jù)1至6階固有頻率下的主振型可知，固有頻率分別為0 Hz、0.105 32×10-4Hz、0.169 87×10-4Hz、2.886 6 Hz、4.544 8 Hz、5.124 9 Hz時，相應主振型基本無變化，變形基本可不計，不會發(fā)生共振現(xiàn)象，可確定傳動件在受到0～5.124 9 Hz激振力作用下齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定可靠.

在固有頻率分別為9.863 6 Hz、9.891 9 Hz的第7階及第8階固有頻率下對應的主振型見圖5及圖6，從圖中可以看到，第7階固有頻率所對應的振型是沿XZ平面內(nèi)的對折振，并繞Y軸扭轉(zhuǎn)，第8階固有頻率所對應的振型是沿YZ及XZ平面內(nèi)的對折振，且第7階及第8階的最大應力均發(fā)生在齒輪的4個牙頂處，大小分別為299 Pa和293 Pa.

圖4 齒輪在1至6階固有頻率下的主振型

圖5 齒輪在第7階固有頻率下的主振型 圖6 齒輪在第8階固有頻率下的主振型

在固有頻率分別為17.219 Hz、17.421 Hz時，第9階及第10階固有頻率下對應的主振型分別如圖7及圖8所示.從圖中可以看到，第9階及第10階固有頻率所對應的振型均沿X軸方向伸縮振動，且齒輪安裝孔圓周度也發(fā)生變化，趨于橢圓化，其最大應力的分布方向趨于90°，且分別達到199 Pa及194 Pa.

圖7 齒輪在第9階固有頻率下的主振型 圖8 齒輪在第10階固有頻率下的主振型

在固有頻率分別為21.66 Hz、27.904 Hz、32.019 Hz時，主振型如圖9所示，第11階固有頻率下對應的主振型所表現(xiàn)的特征是齒輪各齒的同向彎曲振動；第14階固有頻率下對應的主振型所表現(xiàn)的特征是齒輪各齒的同向彎曲振動且最大振幅在齒輪內(nèi)臺階面處，臺階面沿Y軸扭轉(zhuǎn)，齒牙基本無變形，且受力均勻無最大應力存在.第15階固有頻率下對應的主振型與第14階固有頻率下對應的振型相似.

在固有頻率分別為24.808 Hz、24.846 Hz時，第12階固有頻率下對應的主振型如圖10所示表現(xiàn)的特征是沿XZ平面內(nèi)的正向?qū)φ壅?，且沿YZ平面內(nèi)的反向?qū)φ壅瘢瑫r振幅發(fā)生在齒頂處；第13階固有頻率下對應的主振型與第12階固有頻率下對應的振型類似.

圖9 齒輪在第11、14、15階固有頻率下的主振型

圖10 齒輪在12、13階固有頻率下的主振型

求得各階頻率下的主振型后，根據(jù)之前第15階固有頻率下的求解結(jié)果，進一步得出齒輪徑向位移及von Mises等效應力分布圖，分別如圖11及圖12所示.從圖中可以看出，其邊緣處的最大徑向位移是0.199 mm， von Mises等效應力的最大值為42.4 MPa.

圖11 徑向變形圖 圖12 von Mises等效應力分布圖

5 結(jié)束語

本文基于Pro/E軟件建立了直齒圓柱齒輪的三維實體模型，并利用ANSYS軟件中的導入功能建立了直齒圓柱齒輪的三維有限元模型.通過對齒輪有限元模型的動力學模態(tài)分析，求出了齒輪的各階固有頻率和對應的主振型，可作為在機構(gòu)設(shè)計過程中使外界激勵響應的頻率避開齒輪的固有頻率的理論參考，避免齒輪所在的傳動系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象.同時通過求解結(jié)果測定了其徑向變形的最大變形程度，并得到von Mises應力的最大值及其應力分布圖，為齒輪機構(gòu)的設(shè)計提供了理論依據(jù).

參考文獻

[1] 高耀東，郭喜平．Ansys機械工程應用25例[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[2] 李景涌.有限元法[M]. 北京：北京郵電大學出版社，1998.

[3] 孫 恒，陳作模，葛文杰．機械原理[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[4] 周立峰. 基于ANSYS的行星齒輪系統(tǒng)參數(shù)化建模與模態(tài)分析[D]. 南京：南京航空航天大學碩士學位論文，2009.3.

[5] 楊 偉. 基于ANSYS的齒輪裝配體模態(tài)分析[J].沈陽理工大學學報，2008,28(4):46-50.