真度約簡(jiǎn)與計(jì)量邏輯學(xué)推理模式的關(guān)系

于 鵬

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710021)

0 前 言

眾所周知，數(shù)理邏輯是以符號(hào)化為特點(diǎn)的形式化理論，它重推理不重?cái)?shù)值計(jì)算，而數(shù)值計(jì)算恰好相反，其目的是借助于插值、差分、迭代等方法研究計(jì)算問(wèn)題.兩者之間相距甚遠(yuǎn)，似乎存在著一面無(wú)形的隔離墻.計(jì)量邏輯學(xué)的提出，不僅打破了這種隔離，還開(kāi)辟了數(shù)理邏輯研究的新方向.利用計(jì)量邏輯學(xué)的基本原理，可以討論諸如命題集的相容性、發(fā)散性等問(wèn)題，還可以利用計(jì)量邏輯學(xué)進(jìn)行命題集F(S)上的近似推理和命題集的近似約簡(jiǎn).本文的目的就是探討命題集F(S)上的近似推理框架與命題集近似約簡(jiǎn)之間的關(guān)系.本文中，首先給出了n值 Lukasiewicz 命題集的真度約簡(jiǎn)及α-真度約簡(jiǎn)的概念，將命題集的精確約簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為近似約簡(jiǎn)，然后指出了這種近似約簡(jiǎn)與計(jì)量邏輯學(xué)中近似推理模式的內(nèi)在聯(lián)系，為在F(S)上展開(kāi)近似推理提供了新的途徑.

1 n值Lukasiewicz 命題系統(tǒng)中的真度約簡(jiǎn)

定義1s={p1,p2,…}是一個(gè)可數(shù)集,F(S)是由S生成的(,∨,→)型自由代數(shù),是一個(gè)一元運(yùn)算,∨和→是一個(gè)二元運(yùn)算.F(S)中的成員S稱(chēng)為原子公式.

τn(A)稱(chēng)為n值Lukasiewicz 邏輯系統(tǒng)Ln中公式A的真度.這里 |E| 表示集合E的個(gè)數(shù).

性質(zhì)1 在Ln中,設(shè)A,B∈F(S)

(1)A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τn(A)=1,A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τn(A)=0;

(2) 如果A≈B, 則τn(A)=τn(B);

(3)τn(A∨B)=τn(A)+τn(B)-τn(A∧B);

(4)τn(A)=1-τn(A) ;

(5) 如果├A→B,則τn(A)≤τn(B);

(6) 如果├A→B,τn(A)=τn(B),則,A～B;

(7)如果τn(A→B)≥α,τn(B→C)≥β,則τn(A→C)≥α+β-1.

定義4 設(shè)A,B∈F(S),令

ξ(A,B)=τn((A→B)∧B→A))

則稱(chēng)ξ(A,B)為公式A與B的相似度，再令

ρ(A,B)=1-ξ(A,B))

則稱(chēng)ρ(A,B)為公式A與B的距離，(F(S),ρ) 稱(chēng)為邏輯度量空間.

定義5 設(shè)Г={A1,…，Am}?F(S),A∈Г,若?B∈D(Г),τn(?{Г-{B}}n→A)=1,則稱(chēng)公式A為公式集Г的一個(gè)真度可約元,否則稱(chēng)A為Г的真度不可約元.

定義6 設(shè)Г={A1,…,Am}?F(S),Г0?Г,若?A∈D(Г),τn(?{Г0}n→A)=1,并且,?Г*?Г0,?B∈D(Г), 使得τn(?{Г*}n→B)<1,則稱(chēng)Г0是公式集Г的一個(gè)真度約簡(jiǎn).

定理1 設(shè)Г={A1,…，Am}?F(S) ,則公式集Г的真度約簡(jiǎn)總存在.

定義7 設(shè)Г={A1,…,Am}?F(S) ，Г1,…,Гm,是Г的所有真度約簡(jiǎn),令

CГ=∩Гi,BГ=∪Гi-CГ,IГ=Г-∪Гi

則CГ稱(chēng)為Г真度約簡(jiǎn)的核,Ai∈CГ,稱(chēng)為Г真度約簡(jiǎn)的核心元素,Bi∈BГ稱(chēng)為Г真度約簡(jiǎn)的必要相對(duì)元素,Ci∈IГ稱(chēng)為Г真度約簡(jiǎn)的不必要元素.

定義8 設(shè)Г={A1,…,Am}?F(S),如果A∈Гi,τn(?{Г-{A}}n→?{Г}n)≥α,稱(chēng)A為Г的一個(gè)α-真度可約元,若存在一個(gè)B∈D(Г),使得τn(?{Г-{A}}n→B)<α,則稱(chēng)B是Г的一個(gè)α-真度不可約元.

定義9 設(shè)Г={A1,…,Am}?F(S),Г0?Г,如果min{τn(?{Г0}n→A)|A∈D(Г)}≥α,并且?Г*?Г0都存在B∈D(Г)使得τn(?{Г*}n→B)<α,則稱(chēng)Г0是Г的一個(gè)α-真度約簡(jiǎn).

2 真度約簡(jiǎn)與計(jì)量邏輯學(xué)中3種近似推理之間的關(guān)系

定義10 設(shè)Г?F(S),B∈F(S),?ε>0，如果

這里H(D(Г),D(∑))=H*(D(Г),D(∑))∨H*(D(∑),D(Г)),H*(D(Г),D(∑))=sup{ρ(A,D(∑))|A∈D(Г)}.

引理1 在Ln中, 設(shè)Г={A1,…,Am}?F(S),?B∈F(S),則

(1) sup{τn(C→B)|C∈D(Г)}=τn(?{Г}n→B)；

(2) inf{τn(B→C)|C∈D(Г)}=τ(B→?{Г}n).

證明：(1)在Ln中，|-(?{Г}n→C)→((C→B)→(?{Г}n→B))顯然成立，則由C∈D(Г)，|-?{Г}n→C及MP規(guī)則與性質(zhì)1(1)可知，|-(C→B)→(?{Г}n→B)成立，τn(C→B)≤τn(?{Г}n→B)，所以sup{τn(C→B)|C∈D(Г)}=τn(?{Г}n→B).

(2)在Ln中，|-(?{Г}n→C)→((B→?{Г}n)→(B→C)顯然成立，則由C∈D(Г)，|-?{Г}n→C及MP規(guī)則與性質(zhì)1(1)可知，|-(B→?{Г}n)→(B→C)成立，τn(B→?{Г}n)≤τn(B→C)，所以inf{τn(B→C)|C∈D(Г)}=τ(B→?{Г}n).

定理2 設(shè)Г={A1,A2,…,An}?F(S),Г0是Г的一個(gè)α-真度約簡(jiǎn),則

(3)Г0是Г的一個(gè)α-真度約簡(jiǎn)，則min{τ(?{Г0}n→A)|A∈D(Г}=τ(?{Г0}n→?{Г}n)≥α.因?yàn)镈(Г0)?D(Г),所以?A∈D(Г0),ρ(A,D(Г))=0,H*(D(Г0),D(Г))=0,與此同時(shí)

H*(D(Г),D(Г0)) =sup{ρ(A,D(Г0))|A∈D(Г)}=sup{1-τ((?{Г0}n}→A)|A∈D(Г)}

=1-inf{τ(?{Г0}n)→A)|A∈D(Г)}

=1-τ(?{Г0}n→?{Г}n)≤1-α

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