例談初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

443131 湖北省宜昌市夷陵區(qū)九四中學(xué) 張光成

例談初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

443131 湖北省宜昌市夷陵區(qū)九四中學(xué) 張光成

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的方法，它貫穿于初中數(shù)學(xué)的始終，滲透于每個(gè)章節(jié).在初中數(shù)學(xué)中存在著大量的數(shù)式問題可以通過(guò)隱含的圖形的信息直觀揭示出來(lái)，即“形幫數(shù)”;圖形的特征隱含著數(shù)的因素，又能巧妙轉(zhuǎn)化成數(shù)的規(guī)律與數(shù)值計(jì)算，尋找處理形的方法，即“數(shù)促形”.數(shù)形結(jié)合，互助互用，圖形受阻，以數(shù)為補(bǔ)，數(shù)式受阻，以形相助.根據(jù)筆者多年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出數(shù)形結(jié)合思想在以下四個(gè)方面的應(yīng)用，望得到同仁們的斧正與指教.

1 利用數(shù)軸解代數(shù)問題

數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)與每一個(gè)實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，借助于數(shù)軸可進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，可表示絕對(duì)值、相反數(shù)以及各類不等式(組)的解集.

例1 對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，且滿足等式y(tǒng)=|x-1|+|x+2|+|x-3|，求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值?

圖1

分析 給出的等式是三個(gè)絕對(duì)值之和，要求y的最小值，則要找出零點(diǎn)，即x=1或-2或

3，如果表示在數(shù)軸上(如圖)，就是A，B，C三點(diǎn)，只有當(dāng)x的取值落在B，C之間，到原點(diǎn)距離才會(huì)最小，則-2＜x＜3，故當(dāng)x=1時(shí)，y=5，此題利用數(shù)軸，很直觀、形象地找出了x的取值，即“形幫數(shù)”.

2 利用線段圖數(shù)軸解幾何問題

分析各類應(yīng)用題，尋找題中隱含的數(shù)量關(guān)系，常常借助于線段圖來(lái)加強(qiáng)直觀.

例2 兄弟二人在談?wù)撃挲g時(shí)哥哥說(shuō):“兩年前，我的年齡是你的年齡的4倍.”弟弟說(shuō):“六年后，你的年齡只是我的年齡的2倍.”請(qǐng)問兄弟二人現(xiàn)在的年齡各是多少?

圖2

分析 如果按照列方程(組)解應(yīng)用題的步驟來(lái)進(jìn)行，較為繁瑣.若能根據(jù)題意畫出線段圖來(lái)分析，較為直觀、簡(jiǎn)潔，很容易找出數(shù)量關(guān)系，圖中的AB，CD代表兄弟二人現(xiàn)在的年齡，AE，CF代表兩年前的年齡，AG，CH代表六年后的年齡.根據(jù)題意則有AE+EG=2(CF+FH)，AE=4CF，BE=DF=2，BG=DH= 6，從而求得CF=4，則AB=18，CD=6.

3 利用幾何圖形解代數(shù)問題

某些幾何圖形問題，如果巧用代數(shù)方法來(lái)解決，既可以避開添作輔助線的難點(diǎn)，又能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果;某些代數(shù)問題，若能根據(jù)數(shù)的特征構(gòu)造出幾何圖形，就能簡(jiǎn)化繁瑣復(fù)雜的計(jì)算.

解 要證明這個(gè)不等式成立，借用幾何方法比較便捷，現(xiàn)證明如下:

如圖3所示，作正方形ABCD，使其邊長(zhǎng)為1，P點(diǎn)在AB上，

且AP=a，BP=b，

作CB的延長(zhǎng)線到E，

使CB=BE，連接EP，ED，ED交AB于點(diǎn)F.

圖3

圖4

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，求證:AP2+BP2= 2PC2.

此題若用幾何方法較復(fù)雜，采用代數(shù)計(jì)算，問題很快得解.

證明 過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，

設(shè)CD的長(zhǎng)為h，PD長(zhǎng)為x，

根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半，

4 利用直角坐標(biāo)系解代數(shù)問題

利用直角坐標(biāo)系可表示有序?qū)崝?shù)對(duì)，可描繪各類函數(shù)圖象，解決有關(guān)函數(shù)問題.

圖5

通過(guò)以上五例的簡(jiǎn)單說(shuō)明，可以看出:幾何圖形中的面積、周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)、角度等幾何內(nèi)容滲透到代數(shù)計(jì)算、證明之中;方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等代數(shù)手段也不斷應(yīng)用于幾何之中，高、中線、角度、黃金分割等幾何計(jì)算都要代數(shù)來(lái)幫忙.采用數(shù)形結(jié)合思想能使數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)借助于分析推理，從而準(zhǔn)確地把握問題特征、抓住問題實(shí)質(zhì)，較為嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)捷地解決問題.

20111202)