包含多重Zeta函數(shù)的若干個恒等式

沈忠燕

(浙江外國語學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

1 引 言

多重Zeta函數(shù)

又稱Euler-Zagier和,近年來引起不同方向許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.各種多重Zeta函數(shù)不僅對一般的Zeta函數(shù)理論研究是很重要的,而且對代數(shù)幾何、上同調(diào)理論、扭結(jié)理論和量子力學(xué)等的研究是非常有意義的.

1997年,Borwein,Bradley和Broadhurst[1]考慮了帶符號的多重Zeta函數(shù)

其中,σj∈{-1,1},j=1,2,…,k.為了書寫的方便,如果σj=1,相應(yīng)的變量記為sj,如果σj=-1,相應(yīng)的變量記為-sj.

與多重Zeta函數(shù)有關(guān)的許多恒等式是非常漂亮而且又有意義的.對某一數(shù)列的n次重復(fù),在文獻[1]中,Borwein,Bradley和Broadhurst證明了的,如

Granville等[2]在2004年證明了若N和r均為正整數(shù),N≥r,則

此公式r=3的情形由Hoffman和Moen證明,r=2的情形由Euler證明,即當n≥3時,

2 定 理

在本文中我們得到了以下定理.

2.1 定理1 當正整數(shù)r,s滿足rs≥2時,有

對任意的正整數(shù)r,s,有

當正整數(shù)r,s滿足r≥2,s≥1時,有

推論1 當n≥2時,有

2.2 定理2

H.Gangle,M.Kaneko和D.Zagier[3]證明了當n≥2時,

2009年,T.Nakamura[4]給出了(4)的一個新的證明.最近,蔡天新和作者證明了當n≥3時,

當n≥4時,

當n≥5時,

利用(4)-(7),我們得到了以下定理.

2.3 定理3 對任意的實數(shù)m＞1,有

若在定理3中取m=2,下列等式成立:

最近蔡天新和作者證明了當n≥2時,

當n≥3時,

當n≥4時,

利用(8)-(10),我們得到了以下定理.

2.4 定理4 對任意的實數(shù)m＞1,有

若在定理4中取m=2,有下列等式成立:

多重Hu rwitz Zeta函數(shù)

也受到廣泛的關(guān)注.蔡天新和作者證明了當n≥2時,

當n≥3時,

當n≥4時,

當n≥5時,

利用(11)-(14),我們得到了以下定理.

2.5 定理5 對任意的實數(shù)m＞2,有

若在定理5中取m=4,有下列等式成立:

3 引 理

為了證明定理,我們需要下面兩個引理.

3.1 引理1[5] 若r-1和s-1為正整數(shù),則

若r和s為正整數(shù),則

若r-1和s為正整數(shù),則

3.2 引理2 對任意的實數(shù)m＞1,

證明 因為

這里B是第k個Bernoulli數(shù),滿足

k

因此引理2得證.

4 定理的證明

4.1 定理1的證明

由調(diào)和乘積公式,當正整數(shù)r,s滿足r≥2,s≥2時,我們得到

聯(lián)合引理1我們得到

第一個和式作變量代換r-a→j,第二個和式作變量代換s-a→j,我們有

當r,s中有一個為1時,由(3)式知,上式也成立.

由調(diào)和乘積公式,對任意的正整數(shù)r,s,我們有

聯(lián)合引理1以及作相同的變量代換我們得到

由調(diào)和乘積公式,當正整數(shù)r,s滿足r≥2,s≥1時,我們得到

聯(lián)合引理1以及作相同的變量代換我們有

因此定理1得證.

在定理1中令r=s=n,我們得到推論1.

4.2 定理2的證明

我們知道ex的冪級數(shù)展開式為

因此定理2得證.

4.3 定理3的證明

因此定理3得證.

4.4 定理4的證明

因此定理4得證.

4.5 定理5的證明

因此定理5得證.

[1]Bor wein J M,BradleyD M,Broadhurst D J.Evaluations of k-fold Euler/Zagier sums:A compendium of results for arbitraryk[J/OL].[2010-12-10].The Electronic Journal of Combinatorics,1997,2(4).http://www.combinatorics.org/Volume_4/PDF/v4i2r05.pdf.

[2]Granville A.A decomposition of Riemann’s zeta function[J].Analytic Number Theory,1996,247:95-101.

[3]Gangl H,KanekoM,ZagierD.Double zeta values and modular for ms[C]//B?cherer S.Proceedings of the conference in memory of Tsuneo Arakawa:Automorphic Forms and Zeta Functions.Singapore:World Scientific,2006:71-106.

[4]Nakamura T.Restricted and weighted sum formulas for double zeta values of even weight[J].?iauliai Math Semin,2009,4(12):151-155.

[5]Zhou X,Cai T,Bradley DM.Signed q-analogs of Tornheim’s double series[J].Proc Amer Math Soc,2008,136:2689-2698.