4×n階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻理論及實(shí)驗(yàn)研究

吳惠 潘桂源 劉應(yīng)開

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650092) (昭通師專物理系 云南 昭通 657000)

研究網(wǎng)絡(luò)等效電阻有一定的實(shí)際意義,許多實(shí)際問題都可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬和計(jì)算研究.文獻(xiàn)[1]研究了3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,文獻(xiàn)[2]研究了2×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.本文利用文獻(xiàn)[1]和[2]的矩陣變換方法研究4×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，并用NI Multisim 10 模擬軟件對4×n階電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)測量，從而驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性．

1 電阻網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

如圖1所示的電阻網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)元中的橫向、縱向電阻均為r.網(wǎng)絡(luò)的a行與e行關(guān)于c行、b行與d行關(guān)于c行具有完美的對稱性.利用文獻(xiàn)[2]的電流分析法,若電流從a輸入至e輸出,則c行中的電阻必?zé)o電流流過,當(dāng)僅求a、e兩點(diǎn)間的等效電阻Rae的規(guī)律時,可以將c行的電阻拆去,這樣4×n階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)便退化為3×n階梯形網(wǎng)絡(luò),如圖2所示.

圖1 4×n階電阻網(wǎng)絡(luò)圖

圖2 4×n階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電路圖

2 電阻網(wǎng)絡(luò)的電流規(guī)律

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的電阻網(wǎng)絡(luò)中的電流規(guī)律可分析如圖3所示電路．設(shè)在電阻網(wǎng)絡(luò)中通入恒定電流I，電流從e輸入至a輸出.設(shè)4排橫向電阻r中通過

圖3 子網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

(1)

求解差分方程組式(1)是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)文獻(xiàn)[1]所采用的矩陣變換新的差分方程組模型，從而間接求解.

將(1)式左乘一個二階待定矩陣得[1]

(2)

設(shè)存在常數(shù)t1、t2,使得

(3)

將(3)式展開且根據(jù)矩陣相等，則有

(4)

(5)

矩陣方程(1)式可以轉(zhuǎn)化為

(6)

矩陣方程(6)式得差分矩陣方程的特征方程為[1]

(7)

設(shè)關(guān)于x的方程的兩根分別為α、β，關(guān)于y的方程的兩根分別為γ、δ,則解式(7)得

(8)

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]、[4]解差分方程的方法解式(6)可得

(10)

由文獻(xiàn)[1]中的邊界電流規(guī)律：當(dāng)電流從e輸入至a輸出時，根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖3、圖4可知

(11)

將(10)式分別對k從1到n+1求和并應(yīng)用式(11)得

(α-β)(1+λ1)I

(12)

(γ-δ)(1+λ2)I

(13)

圖4 網(wǎng)絡(luò)邊界電流參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]、[4]的網(wǎng)絡(luò)分析法,對圖4得3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)電流分析和網(wǎng)孔電壓分析得邊界電流參數(shù)的差分方程組

(14)

(15)

(16)

所以由矩陣方程式(14)化簡整理得[1]

(17)

將(17)式分別代入(12)，(13)式，化簡并注意應(yīng)用(7)式，整理可得如下結(jié)果[1]

(18)

由于x1=I1′+λ1I1，y1=I1′+λ2I1，所以式(18)即為3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的邊界電流規(guī)律[1].

3 等效電阻 Rae(n)的一般規(guī)律

由文獻(xiàn)[1]我們將進(jìn)一步得出等效電阻的一般規(guī)律.因?yàn)?/p>

進(jìn)而有

(19)

(20)

由圖4可知，Uae=2I1r+I1′2r，根據(jù)歐姆定律

(21)

n∈N,α、β由(8)式確定，γ、δ由(9)式確定.(21) 式即為a、e兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻的通項(xiàng)表達(dá)式.

4 無窮網(wǎng)絡(luò)等效電阻

由(18)、(19)式可以看出[1]

(22)

(23)

當(dāng)n→∞時

(24)

所以(21)式取極限有

(25)

5 模擬實(shí)驗(yàn)測量

用NI Multisim 10模擬軟件對4×n階電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬測量，將n取一系列整數(shù),r取1 Ω.由(25)式計(jì)算Rae(n)所得的理論值與模擬實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果如圖5所示.

圖5 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值對比圖

從圖5可看出，模擬實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果吻合得很好，說明利用矩陣方法計(jì)算n×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻是有效的．

6 結(jié)論

利用矩陣變換方法求解了差分方程組,求出有限網(wǎng)絡(luò)等效電阻Rae(n)和無窮網(wǎng)絡(luò)等效電阻Rae(∞)的值．然后用NI Multisim 10模擬軟件對4×n階電阻網(wǎng)絡(luò)在n取一系列的整數(shù)值時進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)測量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相當(dāng)吻合．這一研究說明利用矩陣方法計(jì)算n×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻是切實(shí)可行的．

參考文獻(xiàn)

1 譚志中，方靖淮．3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究．大學(xué)物理，2008(9)：7～9

2 曹秀華，譚志中，李頌．構(gòu)建等效模型研究2×N階網(wǎng)絡(luò)的等效電阻．大學(xué)物理，2008，27(5)：25～26

3 譚志中，陸建隆，吳國祥．三端梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻．河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004，28(3)：258～262

4 譚志中，曹秀華，李 頌．2×n階梯形網(wǎng)絡(luò)側(cè)端等效電阻的普適規(guī)律．南通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006，5(2)：10～14