氫原子電子云的三維空間可視化

喻力華 劉書龍 陳昌勝 項林川

(華中科技大學物理學院 湖北 武漢 430074)

氫原子電子云的幾率密度分布是“大學物理”教學中的一個重要環(huán)節(jié).由于涉及量子力學對微觀粒子運動狀態(tài)的幾率詮釋，學生在理解上通常存在一定困難．為了清晰和直觀地演示氫原子電子云的幾率密度，本文通過計算機三維重構(gòu)給出了電子等幾率密度面的三維圖形．由于原子間成鍵的討論通常參考電子的角向幾率密度分布，而電子在三維空間的幾率密度分布顯然更適合這方面的分析．另外，我們同時繪制了角向幾率密度分布的球極坐標表示作為對比．

1 氫原子電子云的幾率密度

氫原子中電子的定態(tài)波函數(shù)在球極坐標系中的表示可以寫為兩項相乘[1]

ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ，φ)

(1)

其中Rnl(r)為徑向波函數(shù)，Ylm(θ，φ)為角向的球諧函數(shù)，n為主量子數(shù)，l為角量子數(shù)，m為磁量子數(shù)．徑向波函數(shù)和球諧函數(shù)的具體形式可參看文獻[1]．

電子在體積元dV=r2sinθdrdθdφ內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

│ψnlm(r,θ,φ)│2r2sinθdrdθdφ=

│Rnl(r)│2r2dr│Ylm(θ，φ)│2dΩ

(2)

由于徑向波函數(shù)和球諧函數(shù)已被分別歸一化，因此徑向幾率密度為│Rnl(r)│2r2，表示電子出現(xiàn)在r～r+dr球殼內(nèi)的幾率密度;角向幾率密度為│Ylm(θ，φ)│2，表示電子出現(xiàn)在dΩ=sinθdθdφ立體角元內(nèi)的幾率密度.│ψnlm(r,θ,φ)│2則為電子在三維空間的幾率密度分布．

2 電子三維等幾率密度面和角向幾率密度的球極坐標表示

本文利用Mathematica軟件繪制了氫原子電子云的三維等幾率密度面和在球極坐標系中的角向幾率密度分布．圖1為角向幾率密度的球極坐標表示，圖2為三維等幾率密度面圖，繪制圖1、2所用的Mathematica函數(shù)分別為：SphericalPlot3D，Con-tourPlot3D．

(a)│Y00│2 (b)│Y10│2

(c)│Y1±1│2 (d)│Y20│2

(e)│Y2±1│2 (f)│Y2±2│2

圖1 角向幾率密度

需要說明，兩種圖所表示的含義不同.在球極坐標系中的角向幾率密度圖中，曲面上的某一個點到坐標原點的距離表示其對應方向的角向幾率密度大小，而圖2的三維等幾率密度面則是在三維實空間中，幾率密度相等的點所圍成的曲面．

(a)│R10Y00│2=0.01/a03

ΔL=±2a0(b)│R21Y10│2=5×10-4/a03

ΔL=±7a0

(c)│R21Y1±1│2=5×10-4/a03

ΔL=±7a0(d)│R31Y10│2=8×10-5/a03

ΔL=±16a0

(e)│R31Y1±1│2=8×10-5/a03

ΔL=±16a0(f)│R32Y20│2=8×10-5/a03

ΔL=±16a0

(g)│R32Y2±1│2=8×10-5/a03

ΔL=±16a0(h)│R32Y2±2│2=8×10-5/a03

ΔL=±16a0

圖2 三維等幾率密度面

在兩種圖中，z軸均豎直向上，由于氫原子電子的波函數(shù)中，φ角只影響相位，幾率密度與φ角無關(guān)，因此x、y軸可以放置在水平面上的任意兩個垂直方向，這也導致無論是角向幾率密度分布還是三維等幾率密度面，電子的幾率密度分布圖均關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對稱．由于氫原子中電子的不同量子態(tài)在實空間的分布范圍不同，因此為了得到幾率密度的全貌，對于不同的量子態(tài)，圖2選取的繪圖范圍可能不同；但每一個圖的x、y、z三個方向繪制范圍相同，以ΔL標出，其中a0為第一玻爾半徑，同時，三維重構(gòu)所針對的幾率密度值也在每一個圖中給出．

我們得到的角向幾率密度分布圖(圖1)與文獻[1]給出的完全相同，顯然球極坐標表示可以很好地說明電子角向的幾率密度分布.同時，圖2給出的三維空間電子等幾率密度面與文獻[2]用二維平面陰影表示的幾率密度分布也一致．由于氫原子電子的三維空間幾率密度分布由徑向和角向波函數(shù)共同決定，因此，圖2一方面能反映圖1的角向幾率密度分布的特點，另一方面又和徑向幾率密度相關(guān)．例如l= 0的s電子角向幾率密度為一個常量，即圖1(a)為一球面，則無論徑向波函數(shù)如何，在三維實空間等幾率密度面均為球面，徑向波函數(shù)只是影響在不同半徑處的幾率密度值，因此本文只給出了1 s電子的等幾率密度面[圖2(a)]．在圖1(b)、(c)中，l=1的p電子角向幾率密度分布特點，在圖2(b)、(c)中的2p電子等幾率密度面非常好地反映了出來，而在圖2(d)、(e)中的3p電子等幾率密度面又明顯地表現(xiàn)出了徑向波函數(shù)的一些特點，如徑向幾率密度在某些半徑位置將出現(xiàn)極小節(jié)點．另外，在圖2(f)、(g)、(h)中，l=2的3d電子等幾率密度面也明顯地反映了圖1(d)、(e)、(f)中的角向幾率密度分布，但圖2給出的是在三維實空間幾率密度分布的直觀結(jié)果．

通過上述討論可見，利用數(shù)學軟件三維重構(gòu)得到的三維等幾率密度面，可以清晰直觀地反映電子云的幾率密度分布情況，因此可以使學生更容易地理解量子力學波函數(shù)的幾率詮釋，這種方法非常適合于“大學物理”的教學演示．

參考文獻

1 曾謹言.量子力學(第四版).北京：科學出版社，2007

2 趙云芳，周戰(zhàn)榮，李育新. 氫原子電子云的計算和可視化分析.大學物理，2009，28(9)：51