淺談歐拉公式的成因

鄭 玉 敏

(黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院，哈爾濱 150025)

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，因其具有規(guī)范的形式和特殊的性質(zhì)，不只在近似計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用，而且還可以利用它得到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一些重要的公式。這里借助函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，推導(dǎo)一個(gè)重要的公式——?dú)W拉公式。

1 理論依據(jù)

(1)

成立的充分必要條件是：在該區(qū)間內(nèi)，

(2)

(1)式右邊的級(jí)數(shù)稱為f(x)在點(diǎn)x=x0處的泰勒級(jí)數(shù)。

定理2：如果函數(shù)f(x)能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)(1)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的。

注：上述定理中的x可以推廣到復(fù)數(shù)域中。

2 預(yù)備公式

2.1 將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級(jí)數(shù)

對(duì)于任何有限數(shù)x，ξ(ξ介于0與x之間)，有

(3)

2.2 將函數(shù)f(x)=sinx展開成x的冪級(jí)數(shù)

對(duì)于任何有限數(shù)x，ξ(ξ介于0與x之間)，有

(4)

2.3 將函數(shù)f(x)=cosx展開成x的冪級(jí)數(shù)

解：利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)展開式(4)逐項(xiàng)求導(dǎo)，得

(5)

3 歐拉公式的形成

(3)式中的x推廣到復(fù)數(shù)域，考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

可以證明，此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的，它的和為ez，即

特別地，當(dāng)z=ix(x為實(shí)數(shù))時(shí)，可得

=cosx+isinx

即eix=cosx+isinx(-∞

(6)

(6)式中以-x代替x得

e-ix=cosx-isinx(-∞

(7)

(8)

上式(6)、(7)、(8)均叫做歐拉公式，它揭示了三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。

特別的上式(6)中令x=π即得到著名的歐拉公式

eiπ+1=0

這個(gè)公式被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最優(yōu)美的結(jié)果之一，很多人認(rèn)為它具有不亞于神的力量，因?yàn)樗谝粋€(gè)簡單的方程中，把算術(shù)基本常數(shù)(0和1)、幾何基本常數(shù)(π)、分析常數(shù)(e)和復(fù)數(shù)(i)聯(lián)系在了一起。

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2006.

[2]楊曉東.應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：兵器工業(yè)出版社，2008.