一類Zakharov-Kuznetsov型方程的周期行波解

周學(xué)勤，劉保倉

（1.濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，河南 濮陽 457000；2.黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

一類Zakharov-Kuznetsov型方程的周期行波解

周學(xué)勤1，劉保倉2

（1.濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，河南 濮陽 457000；2.黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

參考KP型方程的研究成果，對一類廣泛的非齊次ZK型方程周期行波解的存在性進(jìn)行了研究，證明了該方程周期行波解在一定條件下的存在性．

ZK方程；KP方程；周期行波解

方程

KP方程是Kadomtsev和Petiashvili于1970年首次提出的，也稱為二維KdV方程[1]，它常用來描述二維小振幅弱色散波，如二維淺水波、未磁化等離子體聲波等．ZK方程是由Zakharov和Kuznetsov在研究磁化等離子體的演變過程時(shí)于1974年提出的[2]，之后Shivamggi等分別用不同方法得到了該方程[3―4]．由于這兩類方程有大量的物理背景，所以長期以來與此相關(guān)的課題始終吸引著眾多的學(xué)者，他們從不同角度，用各種方法對這兩類方程進(jìn)行了研究，已獲得大量成果，尤其是關(guān)于KP方程的成果更為豐富[1―7]．然而，從數(shù)學(xué)角度來看，這些結(jié)果對于我們深入理解、掌握這兩類方程所描述的非線性現(xiàn)象還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠．

本研究中，我們利用文獻(xiàn)[6]關(guān)于KP型方程的研究成果，研究一類廣泛的非齊次ZK型方程

我們主要研究方程(1)的下面形式的周期行波解的存在性：

則方程(1)的周期行波解的存在性問題等價(jià)于下列問題：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的定理1，問題(5)有唯一解再由赫爾德不等式及文獻(xiàn)[7]中的龐加萊不等式，可以得到

顯然Uω= U 就是問題(?)的解．定理證畢．

[1] Kadomstsev B B，Petviashvili V I．On the stability of solitiary wave in weakly dispersing media[J]．Sovit Phys. Dokl，1970，15：539―541．

[2] Zakharov Z，Kuznetsov V E．Three dimensional solitons[J]．Soviet Phys.JETP，1974，39：285―286．

[3] Shivamoggi B K．Nonlinear ion-acoustic waves in weak magnetied plasma and Zakharov-Kuznetsov equation[J]．J. Plasma Phys，1989，41：83―88．

[4] Shivamoggi B K．The painleve analysis of the Zakharov-Kuznetsov equation[J]．Physica Scripa，1990，42：641―642．

[5] Korteweg K J，Devries G．On the change of form of long waves advancing in a rectngular channel and on a new type of long stationary waves[J]．Philos. Mag.，1895，39(5)：422―443．

[6] Aizicovici S，Shihliang Wen．Anti-perodic traveling wave solutions to a forced two-dimensional generalized KdV equation[J]．J.Math. Anal.Appl，1993，174：556―565．

[7] Hu Yue，Tian changan．A Class Periodic Traveling Wave Solutions of Z-K Equation[J]．Journal of Henan Normal University，2007(4)：35―37．

Periodic Traveling Wave Solution to a Class of Zakharov-Kuznetsov Equation

ZHOU Xue-qin1，LIU Bao-cang2

(1.Puyang Vocational and Technical College, Pu-yang Henan 457000, China; 2.Huanghuai University, Zhumadian Henan 463000, China)

The existence of the periodic traveling wave solutions to ZK equation is studied and proved by using monotonic method.

ZK equation; KP equation; periodic traveling wave solution

O175.29

A

1006-5261(2011)02-0003-02

2011-01-07

周學(xué)勤（1968―），女，河南內(nèi)黃人，講師．〔責(zé)任編輯 張繼金〕