具Holling II功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最優(yōu)收獲策略問題

丁建華，雒志學(xué)，朱清泉

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

具Holling II功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最優(yōu)收獲策略問題

丁建華，雒志學(xué)，朱清泉

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

運(yùn)用微分方程理論對具有Holling II功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)進(jìn)行研究.在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，采用Routh-Hurwitz判別法證明了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，同時應(yīng)用Pantryagin’s最大值原理給出了資源種群可持續(xù)生存的最優(yōu)收獲策略.

捕食系統(tǒng)；Holling II功能反應(yīng)；正平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；最優(yōu)收獲策略

早在1965年，Holling[1]在試驗的基礎(chǔ)上，對不同類型的物種，提出了3種不同的功能反應(yīng)函數(shù)（Holling I、Holling II和Holling III）.此后，許多學(xué)者對具有Holling功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)模型和多種群模型進(jìn)行了廣泛研究，得到許多深刻而系統(tǒng)的結(jié)論[2-8].2007年，Shiguan Ruan[9]等人構(gòu)造了如下模型：

通過穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)內(nèi)部平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的結(jié)論.本文對該模型進(jìn)行了改進(jìn)，對食餌種群x和捕食者種群z進(jìn)行捕獲，從而得到更加符合實際的模型.本文研究的數(shù)學(xué)模型如下：

1 系統(tǒng)的有界性

定理1 系統(tǒng)（2）的所有解在R上是有界的.

2 正平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

2.1 正平衡點(diǎn)的存在性

對于系統(tǒng)（2），經(jīng)過計算可知，若滿足條件

2.2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定義函數(shù)

定理2 設(shè)正平衡點(diǎn)M存在.若x*h(x*) +Gz*> 0且h(x*)>h+*，其中

則它是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明：系統(tǒng)（2）在正平衡點(diǎn)M(x*,y*,z*)處的雅可比矩陣為：

3 最優(yōu)捕獲策略

在這一部分，本文應(yīng)用動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制理論討論如何控制捕獲努力度E，才能使在長期開發(fā)中所獲得的持續(xù)收益最大.假定種群x和z的單位市場銷售價格和單位努力量的捕獲成本恒定，分別為p1,p2,c，那么捕獲主體開發(fā)種群資源的經(jīng)營目標(biāo)就是應(yīng)用Pantryagin最大值原理[10]尋找一個最優(yōu)的捕獲努力量，使在長期資源開發(fā)中得到的貼現(xiàn)值

達(dá)到最大值，其中δ為貼現(xiàn)率，e?δt為貼現(xiàn)因子.

首先構(gòu)建哈密頓函數(shù)：

其中，λ(t),λ(t),λ(t)為伴隨變量，u(t)=e?δt(pqx+pqz?c)?λqx?λqz為開關(guān)函

12311221132數(shù).u(t) ≠0時的情況稱為正常，此時的控制對應(yīng)于Bang-Bang控制；u(t) = 0的情況稱為奇異，此時的控制稱為奇異控制.所以上述線性問題的最優(yōu)控制必是奇異控制和線性控制的結(jié)合，即最優(yōu)捕獲有如下形式：

將（7）式、（11）式和（12）式分別代入方程（8）、（9）、（10）中，經(jīng)過計算可得：

這是一個關(guān)于m的二次方程.由根與系數(shù)的關(guān)系可知：

因此，方程（17）的兩根m1,m2為正實根或具有正實部的虛根.方程（16）的解的形式為：

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[2]劉宣亮. 具有常數(shù)收獲率和第 II類功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)可以至少存在兩個極限環(huán)[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報, 1994, 9(5): 192-199.

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[9]Ruan S, Ardito A, Ricciard P, et al. Coexistence in competition models with density-dependent mortality [J]. Biological modeling, 2007, 330: 845-854.

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Stability and Optimal Harvesting Policy of Predator-prey System with Holling II Function Response

DING Jianhua, LUO Zhixue, ZHU Qingquan
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The Predator-prey System with Holling II function response was studied by using the theory of differential equation. Under appropriate assumption, the locally asymptotical stabilty of system’s positive equilibrium was proved by applying Routh-Hurwitz criterion, the globally asymptoticical stability of the positive equilibrium was proved by constructing a Liapunov function and the optimal harvesting policy for permanence of resource stock was obtained by applying Pantryagin’s Maximum Principle.

Predator-prey System; Holling II Function Response; Positive Equilibrium; Stability; Optimal Harvesting Policy

(編輯：王一芳)

O175.14

A

1674-3563(2011)01-0001-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-05-09

國家自然科學(xué)基金(10771048)

丁建華(1986- )，女，甘肅天水人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)，最優(yōu)控制理論