Winkler地基上脫空和無脫空簡支矩形薄板振動特性分析

康懷,董 楊

(重慶交通大學土木建筑學院,重慶 400074)

0 引 言

在實際工程中,許多板的振動問題與彈性地基有關(guān),比如土建工程中的的基礎(chǔ)地板、公路橋面板、工業(yè)地坪等建筑基礎(chǔ)工程.彈性地基上板的振動問題實質(zhì)是板件與三維無限彈性介質(zhì)的動力相互作用問題,該問題即便在線彈性范圍內(nèi)也一直被業(yè)界認為是相當困難的研究課題,對此,Saha[1]研究了基于Winkler地基的薄板自由振動問題,G orman[2,3]利用疊加法分析了彈性矩形薄板的固有頻率,并得到了具有混合邊界條件矩形板的自由振動問題的解析解,Matsunaga[4]和Vallabhan[5]等研究了彈性地基板的自由振動問題,Rajalingham[6]利用梁函數(shù)法分析了彈性矩形薄板的振動問題,鐘陽[7]利用幾何法分析了彈性矩形薄板的振動問題,黃炎[8]應(yīng)用一般解析解對具有中間支承的矩形板自由振動進行了分析求解,張英世[9]分析了Winkler地基上矩形薄板的自由振動和強迫振動問題.同時,大量工程實踐證明,彈性地基板的振動問題采用Winkler模型在實際工程中具有廣泛的適用性.在工程中,因施工或其他原因造成地基板脫空難以避免,因而,對脫空板的研究同樣具有重要的工程意義.然而,對Winkler地基上脫空薄板的振動問題的研究遠少于無脫空薄板.基于此,本文對Winkler地基上底面部分脫空四邊簡支矩形薄板(下文簡稱脫空板)和Winkler地基上無脫空四邊簡支矩形薄板(下文簡稱無脫空板)的振動問題進行了研究.在研究中,根據(jù)力的平衡原理,將脫空板的自由振動問題轉(zhuǎn)化為無脫空板的受迫振動問題,并獲得了相應(yīng)的解.

1 Winkler地基上薄板的固有頻率

Winkler地基上矩形薄板自由振動的微分方程可表示為,

式中:▽4為重調(diào)和算子,ω為振動的任一瞬時位置量起的撓度,m—為單位面積板的質(zhì)量;對無脫空板, k為Winkler地基系數(shù)ks,D=Eh3/[12/(1-μ2)]為板的抗彎剛度,h為板厚,μ為泊松系數(shù),E為材料的彈性模量.

針對四邊簡支矩形無脫空板(見圖1),方程(1)

圖1 無脫空板示意圖

的通解可表示為,

式中,Wj(x,y)為板的振型函數(shù).

綜合式(1)、(2)可得,

式中:Tj(0),T·j(0)為函數(shù) Tj(t)的初參數(shù),由振動初始條件和邊界條件確定;Yj(0)=0,Y″j(0)=0; Ψ0～ Ψ3為影響系數(shù),其定義與常數(shù)α,β及2(jπ/a)2,(jπ/a)4+(k-m—ω2j)/D有關(guān).以下僅討論m—ω2j-k＞0的情況[9],此時,α=

將式(3)、(4)代入式(2),并根據(jù)邊界條件, Yj(0)=0,Y″j(0)=0,可得彈性地基四邊簡支板的撓度函數(shù),其頻率方程由文獻[10]給出,

將Ψ1,Ψ3展開為泰勒級數(shù),代入上式,可得板的固有頻率,

由于脫空區(qū)地基系數(shù)ks=0,由式(6)可以分析得出,脫空板固有頻率低于無脫空板固有頻率,脫空板的脫空區(qū)和非脫空區(qū)具有不同的固有頻率.因此,脫空板具有局部振動特性.

2 Winkler地基上脫空矩形薄板振動控制方程求解

脫空板在振動過程中地基反力僅作用于板與地基粘合區(qū),脫空區(qū)無地基反作用力,其自由振動微分方程如式(1)所示,其中,

式(1)經(jīng)適當數(shù)學變換可轉(zhuǎn)化為,

根據(jù)力的平衡原理,在脫空板的脫空面域內(nèi)施加一對大小等于地基反力的反作用均布力,力的方向規(guī)定為,在板的脫空區(qū)底部均布力方向與地基反力相同,表面均布力與之相反(見圖2).于是,脫空板的自由振動問題可轉(zhuǎn)化為無脫空板受局部均布動力荷載的受迫振動問題.

圖2 脫空板地基反力作用示意圖

首先,將動力荷載展為振型函數(shù)的級數(shù),簡支矩形板振型函數(shù)采用Naiver雙三角級數(shù),并將方程的解取為振型函數(shù)與時間函數(shù)乘積的級數(shù)和,式(7)化簡得,

將振型函數(shù)與動力荷載進一步轉(zhuǎn)化為如下形式的級數(shù),

其中,τm(t)是任一特解.

由式(8)、(9)、(10)可解得,

聯(lián)立式(8)、(10)、(11)可得微分方程(10)的特解為,

將(12)式代入(9)式并由板在脈沖激勵下振動的初始條件可求系數(shù)Amn和Bmn,即得撓度的解,

因此,板上測點(x,y)在模態(tài)(m,n)下的頻響函數(shù)為,

3 仿真分析

3.1 模型描述

在仿真實驗中,我們首先預(yù)制兩塊相同薄板,尺寸為 a=60 cm,b=60 cm,h=1 cm;材料參數(shù)為,彈性模量 E=50 G pa,泊松比μ=0.2,單位面積質(zhì)量 m—=21 Kg/m2,Winkler地基系數(shù) ks=2.3×107N/m3;支承設(shè)置為,無脫空板底面全部與地基密實粘結(jié),脫空板底面中部預(yù)設(shè)40 cm×40 cm的脫空區(qū),底面其余部分與地基密實粘結(jié),板為四邊簡支約束.

3.2 脫空板、無脫空板仿真分析

在ANSYS分析軟件中分別建立脫空板(見圖3)和無脫空板(見圖4)的有限元模型,地基單元采用彈簧單元 COMBIN40.圖5、圖6分別為脫空板的第1、4階模態(tài)振型.在分析中,對脫空板的分析所得到的固有頻率為脫空板全局固有頻率.

表1為采用ANSYS軟件分析得到無脫空板和脫空板的前6階頻率值.將板的參數(shù)代入式(6),可計算得到板的各階固有頻率.無脫空板的第1階固有頻率ω1w=1 783.2 Hz;脫空板的振動含有板脫空區(qū)在四邊固支的支承條件下的局部振動和整板在簡支邊界條件下的全局振動,是全局與局部的耦合振動,采用式(6)近似計算其脫空區(qū)第一階固有頻率ω1t=267.6 Hz,低于整板全局第1階固有頻率.從計算結(jié)果來看,仿真分析與理論計算在低階模態(tài)下吻合的得較好,而高階模態(tài)下,偏差較大.從表1也可以看出,脫空板各階固有頻率遠小于無脫空板,這是由于脫空板因中部脫空設(shè)置而導致板剛度低于無脫空板,使得振動固有頻率降低.

圖3 脫空板有限元模型

圖4 無脫空板有限元模型

圖5 脫空板第1階振型

圖6 脫空板第4階振型

表1 無脫空板和脫空板非脫空區(qū)的前6階頻率值(Hz)

4 實驗分析

在實驗中,我們在無脫空板和脫空板板面分別均勻布置9×9=81個測點,采用本點激勵本點采集方法,用力錘對板施加脈沖激勵,由加速度傳感器采集各測點加速度響應(yīng)信號.同時,采用DH2538動態(tài)信號采集與分析系統(tǒng)對響應(yīng)信號進行分析,得到板振動幅頻特性曲線,再從中提取相應(yīng)的幅值與頻率.

4.1 無脫空板振動頻譜特性

圖7、圖8是無脫空板板面上測點的幅頻圖,從各測點采集得到的幅頻圖可以看出,無脫空板的第1階共振峰對應(yīng)的頻率范圍為1 560～1 700 Hz,實驗結(jié)果接近于與理論計算和有限元分析結(jié)果.

圖7 無脫空板6號測點幅頻圖

圖8 無脫空板9號測點幅頻圖

4.2 脫空板振動頻譜特性

圖9、圖10分別是脫空板上脫空區(qū)和非脫空區(qū)測點的幅頻圖.

圖9 脫空板脫空區(qū)測點(41號)幅頻圖

圖10 脫空板非脫空區(qū)測點幅頻圖

從圖9、圖10可以看出,在板的脫空區(qū)第1階共振峰發(fā)生在240～250 Hz頻帶區(qū)間內(nèi),而非脫空區(qū)在0～550 Hz的分析頻帶內(nèi)沒有板基頻共振峰出現(xiàn).脫空區(qū)和非脫空區(qū)振動為非諧頻振動,表明脫空板的振動含有局部振動成分.此外,由41號測點的幅頻圖可以分析出該測點第1階無量綱共振峰值為0.4,該測點位置為板的中心,其頻響函數(shù)根據(jù)相應(yīng)模態(tài)由(14)式計算,結(jié)果顯示,低階模態(tài)下分析計算與實驗檢測幅頻特性相符.

5 結(jié) 論

由上述公式推導、仿真分析和實驗測試可以得到以下結(jié)論:

(1)針對Winkler地基上的脫空板,根據(jù)力的平衡原理,可將脫空板的自由振動問題轉(zhuǎn)化為無脫空板受局部均布動力荷載的受迫振動問題,實驗驗證了該問題解的正確性.

(2)Winkler地基上脫空板的振動,在脫空區(qū)和非脫空區(qū)模態(tài)參數(shù)存在著明顯的差異性.因此,脫空地基板的振動具有局部振動特性,板的全局與局部振動機理有待進一步研究.

(3)Winkler地基上無脫空板和脫空板的模態(tài)分析顯示,無脫空板各階固有頻率遠高于脫空板同階固有頻率.

(4)本文提出的方法可應(yīng)用在對剛性路面板、土建工程中的地基板等基于振動法的脫空檢測中.

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