非線性、分形與期鋅市場價格

文先明,周賢軍,張 蜜

(長沙理工大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,湖南長沙 410114)＊

非線性、分形與期鋅市場價格

文先明,周賢軍,張 蜜

(長沙理工大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,湖南長沙 410114)＊

從非線性角度研究期鋅市場,運用R/S分析法對期鋅市場進行分析,發(fā)現(xiàn)期鋅市場的 Hurst指數(shù)為0.6183,其價格收益率序列是分維時間序列,具有分形結(jié)構(gòu),維數(shù)為1.6174。期鋅市場的平均周期長度為176天,具有強持續(xù)性和相關(guān)性。關(guān)聯(lián)系數(shù)為19.47%,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于國外相關(guān)市場。在風(fēng)險方面,期鋅市場的風(fēng)險比期銅市場的要小,而比股票市場的風(fēng)險要大。

非線性;分形;Hurst指數(shù);關(guān)聯(lián)系數(shù);期鋅市場

一、引 言

資本市場價格的大幅波動,以及某些經(jīng)濟時間序列的高度自相關(guān)性,均表現(xiàn)為非線性效應(yīng)。近年來,非線性科學(xué)所取得的成果,就突破了傳統(tǒng)的線性思維定式,它將資本市場看成是一個適應(yīng)性的、復(fù)雜的和交互作用的非線性系統(tǒng),并對價格行為提供了新的解釋。盡管分形市場理論是一個先進的金融市場解釋理論,由于在數(shù)學(xué)工具方面的限制,它在資本市場的應(yīng)用還不是很廣泛,但是它解釋清楚了當(dāng)今資本市場存在的各種現(xiàn)象,而這些現(xiàn)象卻無法由原來成熟的市場理論來解釋清楚。在這樣的背景下,借鑒這種先進的理論來解釋中國資本市場的現(xiàn)象顯得很有意義。本文將分形理念運用到期鋅時序分析,目的在于通過實證研究來確定期鋅收益序列具有分形特征,并在此基礎(chǔ)上探索分形形成的本質(zhì)原因,從而為金融資產(chǎn)波動的識別和市場風(fēng)險的防范,提供更加有力的支持。

二、文獻(xiàn)綜述

Fama[1]提出有效市場假說之后,這一經(jīng)典的金融理論得到普遍認(rèn)可。但后來資本市場出現(xiàn)的比如非線性、正態(tài)問題、理性投資者的假定問題、市場異?，F(xiàn)象問題、有效市場悖論問題等等,需要新的理論進行解釋,分形理論就應(yīng)運而生。分形理論很快運用到金融領(lǐng)域,為金融市場波動特性與結(jié)構(gòu)的研究提供了新方法與理論框架。Mandelbrot提出了用分形理論描述股票收益率序列,得出股票價格收益率不符合正態(tài)分布的結(jié)論[2-4],Peters運用 R/S分析方法,從資本市場上的資產(chǎn)價格變化的正態(tài)性檢驗開始,指出分?jǐn)?shù)布朗運動可以更加準(zhǔn)確地刻畫金融市場的波動,并且證明了資產(chǎn)價格序列或者收益率序列符合分形布朗運動,即有偏隨機游走規(guī)律[5,6]。Jorge通過R/S分析法研究了巴西股票市場波動性的長期記憶性,發(fā)現(xiàn)巴西股票市場不是一個有效市場,其價格波動呈現(xiàn)出很強的長期相關(guān)性,具有明顯的分形結(jié)構(gòu)[7]。Michael從股票收益率的日數(shù)據(jù)和月交易數(shù)據(jù)入手,運用R/S分析法研究了澳大利亞股票市場的非周期循環(huán),發(fā)現(xiàn)當(dāng)用一階自回歸消除價格波動的短期效應(yīng)以后,澳大利亞股票市場出現(xiàn)了長期記憶性,并且該市場的非線形動態(tài)周期分別是3年、6年和12年[8]。

在波動性研究方面,Mulligan運用 R/S分析法、小波分析法、Roughness-Length:Variogram分析法和Power-Spectral分析法這五種分形分析法研究了美國股票市場上高科技股的波動情況,發(fā)現(xiàn) H指數(shù)在(0

縱觀上述文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)目前分形結(jié)構(gòu)研究大多聚集在股票市場,而期貨市場研究的文獻(xiàn)還為數(shù)很少,特別是上市不久的期鋅市場更加少有,因此進行這方面研究意義重大。

三、鋅期貨市場的分形結(jié)構(gòu)研究

(一)分形的概念與特征

組成部分以某種方式與整體相似的形體叫做分形[18],是對“極不規(guī)則”與“極為破裂”的幾何對象的統(tǒng)稱。也就是說指形狀不規(guī)則、內(nèi)部存在無窮層次和自相似特征,無法用經(jīng)典的歐式幾何來描述的客體。它打破了整體與部分、簡單與復(fù)雜、無序與有序、間斷與連續(xù)之間的隔膜,找到了事物之間相互過渡的橋梁和媒介。為人們從部分中認(rèn)知整體、從無序中認(rèn)知有序、從有限認(rèn)知無限提供了可能和依據(jù)?；诜中卫碚撨€不成熟,體系比較復(fù)雜,對分形進行精確定義還難以實現(xiàn),所以,我們往往從它具有的主要特征著手進行細(xì)致地刻畫。它具有以下主要特征:其一為自相似性。部分以某種方式與整體相聯(lián)系,如果某種過程或結(jié)構(gòu)的特征從不同的時間和空間視角來看都有相似特征,我們就認(rèn)為具有自相似性。一般而言,自相似性的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜,并不是所謂的放大一定倍數(shù)的部分之后與整體簡單的無縫重合。其二是伸縮對稱性或者標(biāo)度不變性。標(biāo)度不變性所指的是在分形圖上,任意選擇一個局部區(qū)域,放大后的圖形與原來圖形形態(tài)有著同樣的面貌。所以,對于這種圖形,不論放大還是縮小,它的形態(tài),不規(guī)則性、復(fù)雜程度之類的特性都不會發(fā)生改變。通俗來講,如果我們借助放大鏡來觀察分形結(jié)構(gòu)圖形,不管放大鏡離圖形距離有多近,我們所觀察到的圖形情形沒有什么區(qū)別。從看到的圖形,我們無法判斷放大鏡的倍數(shù)。這種標(biāo)度不變性也許只適用在某個范圍當(dāng)中,我們通常把這個范圍稱之為無標(biāo)度空間。其三是分形維,在分形理論中這是一個很重要的概念。刻畫的是分形的非光滑、不規(guī)則和復(fù)雜的程度。它既可以是整數(shù)也可以為分?jǐn)?shù),描述的是客體規(guī)模的變化。比如立方體的維數(shù)是三維,平面的維數(shù)就是二維。當(dāng)客體的維數(shù)為分?jǐn)?shù)時,我們稱之為分形維。Koch曲線就有這樣的特征,既不是一維也不是二維的,而是處于二者之間的。其四是局部隨機性與整體確定性共存。

(二)重標(biāo)極差(R/S)研究方法

分形結(jié)構(gòu)的研究方法有多種,與其他的方法比較,R/S分析法的結(jié)果十分穩(wěn)定,其所需的假設(shè)條件最少,又非常貼近時間序列的實際特性。更重要的是它能夠從分形時間序列中區(qū)分出隨機游走時間序列,并且還能夠計算出具有分形時間序列內(nèi)在的非周期循環(huán)長度。通過揭出時間序列序列非線性特征更加能夠深刻地刻畫出其內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律。優(yōu)勢非常明顯。英國水文專家赫斯特(Hurst)在研究尼羅河流量時發(fā)現(xiàn),流量數(shù)據(jù)不符合布朗運動和高斯分布的特征,而是遵循一種“有偏隨機游走”——趨勢加噪聲,也就是Mandelbrot所稱的分?jǐn)?shù)布朗運動。這里的趨勢加噪聲意味著變量之間關(guān)系是長程相關(guān)的,通俗的講就是具有記憶性,某個時期之前發(fā)生的事件會影響著后來事件的走向。在1951年,為分析這種有偏的隨機游走過程,Hurst提出了R/S分析法(Rescaled Range Analysis)。并給出了下面的關(guān)系式:

其中:R/S是重標(biāo)極差值;c為常數(shù);n為觀測次數(shù)。在對數(shù)坐標(biāo)下求斜率 H,即Hurst指數(shù)。然后利用下面的相關(guān)性表示現(xiàn)在對未來的影響:

其中:C為相關(guān)性的度量,0

(三)Hurst指數(shù)

根據(jù)統(tǒng)計學(xué),如果一個序列是隨機游走的,H值應(yīng)當(dāng)?shù)扔?.5,當(dāng)不等于0.5,觀測就不是獨立的,而是具有“記憶”的。因此可以從 Hurst不同的取值來判斷時間序列的不同類型。

(1)0≤H<5,系統(tǒng)是反持續(xù)序列,即如果上一時期是增加,那么下一時期多半是減少的。這種反持續(xù)性行為的強度取決于 H與零的距離。這種時間序列具有比隨機序列更加的突變性。

(2)H=0.5,序列是隨機的和不相關(guān)的,服從正態(tài)分布的特征。

(3)0.5≤H<1,時間序列具有持久性,又謂之分形時間序列。如果上一時期序列是增加的,那么下一時期序列很可能繼續(xù)增加。H越靠近1,狀態(tài)的持續(xù)性就越強,呈現(xiàn)出“長記憶”的形式。即今天的價格可能影響明天、后天。這種記憶的長度,用可以用下面公式來確定:

式(3)稱之為平均循環(huán)長度,當(dāng)時間序列為持續(xù)性時(H>0.5)時,Vn單調(diào)上升,當(dāng)序列呈現(xiàn)隨機游走(H=0.5)時,Vn近似常數(shù),當(dāng)Vn為反持續(xù)序列(H<0.5)時,Vn單調(diào)下降,Vn由下降變以常數(shù)或者上升,這就是“長記憶”的消失點。

四、期鋅市場分形特征的實證研究

(一)數(shù)據(jù)來源與統(tǒng)計描述

期貨價格序列構(gòu)造方式多種多樣,本文取每日所有鋅期貨合約收盤價格按成交量加權(quán)平均數(shù),作為當(dāng)日期貨價格的代表。這種方法可以實現(xiàn)統(tǒng)計口徑的一致性和連續(xù)性,減輕主觀因素對數(shù)據(jù)代表性的影響。方法如下:

其中,Pt為當(dāng)日的期貨價格;Pi為某月份合約的結(jié)算價格;ni為同月份合約的成交量;Pi和ni可以在相應(yīng)的期貨交易所公布的行情信息中獲得,記為 FP。期貨價格數(shù)據(jù)取自上海期貨交易所網(wǎng)站,樣本區(qū)間為2007年3月26日～2011年2月28日,共957個數(shù)據(jù)。為了刻畫期鋅價格波動的數(shù)量特征,對期鋅價格的對數(shù)進行一階差分。

從圖1統(tǒng)計結(jié)果可以看出其峰度 K值大于3,偏度S小于0,呈現(xiàn)左偏,J-B統(tǒng)計量拒絕服從高斯分布。同時,期鋅價格波動呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征。尖峰說明價格波動幅度大,厚尾說明投資者對信息的反應(yīng)是密集的,尾越厚說明狀態(tài)的持續(xù)性就越強。再來看期鋅對數(shù)收益率序列圖2。

圖中時間序列出現(xiàn)多個異常的峰值,并且波動呈現(xiàn)明顯的聚類現(xiàn)象,說明期鋅收益率序列日波動具有突發(fā)性和顯著性,波動性具有條件異方差現(xiàn)象。

(二)R/S分析方法的實證數(shù)據(jù)結(jié)果

通過對期鋅價格收益率序列進行分析并根據(jù)面介紹的方法進行R/S分析,結(jié)果表1。

圖1 期鋅對數(shù)收益序列統(tǒng)計圖

圖2 期鋅對數(shù)收益序列圖

表1 R/S分析結(jié)果

表中數(shù)據(jù)是方程log(R/S)n=log(c)+Hlog (n)中的各系數(shù)的數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)差和統(tǒng)計量?？梢缘贸銎阡\價格的R/S線性回歸方程:

Hurst指數(shù):0.618282

從上表和用最小二乘法估計模型結(jié)果可以看出,t統(tǒng)計量和擬合尺度R2都比較理想,擬合效果相當(dāng)好。Hurst指數(shù)為0.618282,大于0.5的隨機游走值。說明期鋅市場具有分形結(jié)構(gòu),具有較強的持續(xù)性和記憶性。從關(guān)聯(lián)系數(shù) C=2(2H-1)-1= 0.1947來看,說明期鋅市場不是有效的市場,C值大于零,表明期鋅市場是一個變量間存在正相關(guān)的非有效市場。

接著來看期鋅的價格平均循環(huán)周期,期鋅市場存在非周期循環(huán),從圖3可以發(fā)現(xiàn),期鋅的log(R/ S)值在3.03處(n=176)出現(xiàn)峰值后發(fā)生了突變。之后斜率明顯變大。由此可知期鋅具有一個176天的非周期循環(huán)。在此期間市場歷史信息將對未來的價格走勢產(chǎn)生影響。在此之后,市場歷史信息的記憶將會消失。為了更加準(zhǔn)確地考慮非周期循環(huán)點,考察V統(tǒng)計量的分布圖,轉(zhuǎn)折點對應(yīng)的周期是e5.17=176天,也就是說系統(tǒng)經(jīng)過176天后將會失去對市場的歷史信息的記憶。

最后來看分形維數(shù),在有效市場理論框架下,隨機時間序列的分形維是1.5。當(dāng)值位于1與1.5之間時,表明它比直線要粗糙,然而相對于隨機游走而言要光滑。當(dāng)值在1.5與2之間時,表明其比隨機游走不整齊,反向走勢的概率比較大。分形維1維是直線,2維是平面。Mandelbrot(1992)指出, Hurst指數(shù)的倒數(shù)就是序列的分形維數(shù),因此,期鋅價格序列的分形維數(shù)是1/0.618282=1.6174,位于1.5與2之間,是有偏的隨機游走序列。

圖3 期鋅價格收益率R/S分析與V統(tǒng)計量合并圖

五、結(jié) 論

本文運用R/S分析法,實證研究了期鋅價格收益率序列的分形結(jié)構(gòu)問題,通過以上分析,可以得出以下結(jié)論:

1.期鋅市場價格收益率序列是分維時間序列,具有分形結(jié)構(gòu),Hurst指數(shù)高于0.5,價格走勢服從分?jǐn)?shù)布朗運動,呈現(xiàn)明顯的長程相關(guān)性。這說明期鋅市場是非有效的,是有偏的隨機游走模式。體現(xiàn)的是非成熟市場的特征。這與鋅期貨上市時間不長的現(xiàn)實相符。有效市場假說認(rèn)為人們在決策時會對信息反映迅速,波動呈現(xiàn)隨機游走。而實際情況是,大多數(shù)人并不會對信息立刻作出反應(yīng),而且反應(yīng)的速度、時間長短并不一樣,呈現(xiàn)的是有偏的隨機游走形式。有效市場假說認(rèn)為人們在決策時會對信息反映迅速,波動呈現(xiàn)隨機游走。而實際情況是,大多數(shù)人并不會對信息立刻作出反應(yīng),而且反應(yīng)的速度、時間長短并不一樣,呈現(xiàn)的是有偏的隨機游走形式。

2.期鋅的關(guān)聯(lián)系數(shù)為19.47%,大于0。國外成熟市場的關(guān)聯(lián)系數(shù)較低,一般在5%左右,然而,我國期鋅市場的關(guān)聯(lián)系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5%,在很大程度上初始信息影響著期鋅價格的波動?，F(xiàn)在的和過去的信息對價格的影響是明顯的,因此對于投資者來說,研究歷史信息對投資有利,為技術(shù)分析提供了依據(jù)。對于監(jiān)管者而言,加強對信息的監(jiān)管將有利于市場效率的提高。現(xiàn)在的和過去的信息對價格的影響是明顯的,因此對于投資者來說,研究歷史信息對投資有利,為技術(shù)分析提供了依據(jù)。對于監(jiān)管者而言,加強對信息的監(jiān)管將有利于市場效率的提高。

3.通過研究log(R/S)-log(n)圖,在 n=176時發(fā)現(xiàn)顯著的斜率變動情況,結(jié)合R/S分析法的V統(tǒng)計值,確認(rèn)了期鋅市場的平均周期長度為176天?！伴L期記憶特征”明顯,而從發(fā)達(dá)國家地區(qū)市場的平均周期循環(huán)長度在50天左右的時間長度來看,期鋅市場的時間長度明顯偏長。這說明歷史信息具有強相關(guān)性和持續(xù)特征,可以在較長的時間內(nèi)對價格產(chǎn)生影響。

4.H值衡量的是序列數(shù)據(jù)的參差不齊的程度,序列中噪音越少,H值就越高,表明具有更強的持續(xù)性和趨勢性。運用在金融時間序列中,高H值表明風(fēng)險就小,低H值表明風(fēng)險就大。目前滬深股市Hurst指數(shù)分別是0.61和0.63,滬銅Hurst指數(shù)為0.59,可以看出期鋅市場的風(fēng)險比期銅市場的要小,而比股票市場的風(fēng)險要大。

5.期鋅價格序列在時間上是分形維的,分形維值為1.6174,該值與 Hurst指數(shù)能夠為決策者提供重要的參考價值。分維值不僅反映變量集合的復(fù)雜性和不規(guī)則性,而且還表示了變量隨時間變化的激烈程度及運動軌跡的不平滑程度。一般而言,分維值越大,表明時間序列隨時間變化的不規(guī)則程度越大,因而在實踐中決策者可以利用變量變動曲線的分維值,預(yù)測變量的變化趨勢。

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Nonlinear Concept,Fractal Theory and Futures Zinc Markets Prices

WEN Xian-ming,ZHOU Xian-jun,ZHANG Mi

(School ofEconomics and Management,Changsha University of Science&Technology;Changsha,Hunan 410114,China)

In the practice of nonlinear angle,by R/S methods,the Hurst index of zinc in futures market is 0.618282,and its return series is a fractal time series with the dimension of 1. 6174.The average cycle time of future zinc market is 176 days with the correlation coefficient for 19.47%which is far beyond that of abroad market.To the risk,the risks in future Zinc market is less than those in future copper market,while higher than those in the stock market.

Nonlinear;Fractal;Hurst index;Correlation coefficient;Zinc Markets

F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A 文章編號:1003-7217(2011)03-0031-05

2010-11-12

湖南省社科基金項目(09ZDB17、09ZDB18)、湖南省企業(yè)管理與投資基地項目(10jdyb02)、湖南省2010年省級科技計劃立項項目(2010FJ3089)

文先明(1964—),男,湖南桃源人,博士,長沙理工大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:金融經(jīng)濟學(xué)、企業(yè)戰(zhàn)略管理。

(責(zé)任編輯:姚德權(quán))