數(shù)學(xué)建模中學(xué)生解決實(shí)際問題能力的現(xiàn)狀分析

摘要:數(shù)學(xué)建模中，學(xué)生存在解決實(shí)際問題的信心不足，對實(shí)際問題中的名詞術(shù)語或背景不熟悉，對實(shí)際問題中各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系分析不透徹，對實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型缺乏經(jīng)驗(yàn)等問題。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 問題解決

數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動能否順利地開展，一個(gè)重要的環(huán)節(jié)就是:教師應(yīng)該對學(xué)生的能力有一個(gè)全面認(rèn)識，正確評價(jià)和對待每一個(gè)學(xué)生。學(xué)生對于實(shí)際問題的解決中主要存在著一些問題，使得數(shù)學(xué)建模過程中學(xué)生很難將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。這里我們將學(xué)生解決實(shí)際問題的困難進(jìn)行一下分析。

一、 學(xué)生解決實(shí)際問題的信心不足

同純數(shù)學(xué)問題相比，數(shù)學(xué)實(shí)際問題的文字?jǐn)⑹龈诱Z言化，更貼近生活實(shí)際，有時(shí)題目可能比較長，數(shù)量也比較多，數(shù)量關(guān)系顯得分散隱蔽。因此，面對這樣非形式化的材料，許多學(xué)生常感到茫然，不知從何下手，于是開始懼怕數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題。具體表現(xiàn)在:

1、在信息的吸收過程中，受題中提供信息的次序、過多的干擾語句的影響，很多學(xué)生讀不懂題目。

2、在信息的處理加工過程中，受學(xué)生自身閱讀分析能力或者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的影響，很多學(xué)生缺乏把握題目的整體數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力，無法理清各個(gè)數(shù)學(xué)對象間的復(fù)雜關(guān)系。

3、在信息的提煉過程中，受學(xué)生語言轉(zhuǎn)換能力的影響，許多學(xué)生無法把實(shí)際問題與對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來，缺乏把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題的翻譯能力。

數(shù)學(xué)建模問題是用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際生活中的各種各樣的問題，對師生來說都是一種創(chuàng)造性的活動，涉及到各種心理活動。心理學(xué)研究表明良好的心理素質(zhì)是創(chuàng)造性勞動的動力因素和基本條件，它主要包括以下幾個(gè)要素:自覺的創(chuàng)新精神;強(qiáng)烈的好奇心和求知欲;積極、穩(wěn)定的情感;頑強(qiáng)的毅力;獨(dú)立的個(gè)性;強(qiáng)烈而明確的價(jià)值觀;有效的組織知識。而我們很多學(xué)生由于不具備以上良好的心理品質(zhì)，表現(xiàn)出解決實(shí)際問題的信心不足。

二、學(xué)生對實(shí)際問題中的名詞術(shù)語或背景不熟悉

在實(shí)際問題中，常常用到其他領(lǐng)域內(nèi)的名詞術(shù)語，我們現(xiàn)在的學(xué)生，從小到大一直生活在學(xué)校，很少與外界聯(lián)系，對這些名詞術(shù)語不敏感或很陌生，從而不能讀懂題意。比如:實(shí)際生活中的復(fù)利率、所得稅、保險(xiǎn)金額、折扣率、零存整取等，類似這樣的概念必須弄清楚，才能用數(shù)學(xué)解決問題。

例如關(guān)于“艾滋病”的檢驗(yàn):關(guān)于艾滋病的檢驗(yàn)是當(dāng)今世界討論的熱點(diǎn)話題。分析艾滋病呈陽性者真正被感染的概率是多少 ?

本題涉及到學(xué)生不太熟悉的詞語有:艾滋病檢驗(yàn)陰性，檢驗(yàn)陽性;艾滋病感染等。學(xué)生需咨詢有關(guān)醫(yī)護(hù)人員，查醫(yī)學(xué)資料等熟悉有關(guān)詞語。

建模簡介:設(shè)A(受艾滋病感染)T(檢驗(yàn)呈陽性)A(沒有受艾滋病感染)T(檢驗(yàn)呈陰性)。

模型假設(shè):兩個(gè)檢驗(yàn)相互獨(dú)立，沒有技術(shù)錯誤。

收集資料:在真正受艾滋病感染者中檢驗(yàn)呈陽性的概率為:P(T|A)=99.8%在確實(shí)不受艾滋病感染者中檢驗(yàn)呈陰性的概率為:P(A|T)=99%

以德國為例，目前真正受感染的P(A)=0.1%

建模目的:在檢驗(yàn)結(jié)果幾乎100%正確判斷艾滋病的感染前提下論證呈陽性者真正受感染的概率有多大?

利用Bayes定理建立數(shù)學(xué)概率模型:

≈9%

模型結(jié)果令人驚訝，也就是說11000陽性中只有1000(9%)人真正感染。這個(gè)例子反映出只有在實(shí)際問題涉及到的名詞術(shù)語和背景材料分析透徹后，在教師幫助分析理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生建?；顒硬藕瞄_展。同時(shí)近幾年高考出現(xiàn)的應(yīng)用性問題，除了經(jīng)濟(jì)、環(huán)保等敏感話題外，也涉及到工業(yè)、醫(yī)學(xué)等冷門問題。

例如:高考數(shù)學(xué)“冷壓機(jī)”一題，已知一臺冷壓機(jī)共有4對減薄率為20%的軋輥，所有壓輥的周長為1600mm，若第k對壓輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷壓機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為Lk，為了便于檢修，計(jì)算L1，L2，L3。

建立模型:假設(shè)軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗，且在操作過程中，兩疵點(diǎn)間的鋼板體積始終相等，故可以建立一個(gè)等體積的幾何模型問題。

模型分析:我們假設(shè)第3對壓輥有缺陷，求L3，因此，我們將第3對壓輥剪薄后的帶鋼上相鄰兩疵點(diǎn)為端點(diǎn)的一段“截割”下來，弄清該段帶鋼經(jīng)過第4對壓輥后有何變化，這也是突破該題目的關(guān)鍵。

模型求解:根據(jù)等體積幾何模型有:1600寬厚度=L3寬厚度(1-20%)，

解得L3=2000

據(jù)統(tǒng)計(jì)本題得分率不高，我分析學(xué)生可能沒見過冷壓機(jī)，對冷壓機(jī)的性能和作用也不了解，對于“軋輥”、“減薄率”、“疵點(diǎn)”這樣的名詞不熟悉，所以題目也難以下手。因此數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求學(xué)生要不斷學(xué)習(xí)各方面的知識，不斷豐富自己的思維，以便于學(xué)科之交流，學(xué)科之綜合。

三、 對實(shí)際問題中各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系分析不透徹

實(shí)際問題中有些數(shù)量關(guān)系不明確或比較復(fù)雜的問題，學(xué)生不知該把哪個(gè)數(shù)據(jù)作為思維的起點(diǎn)，感到無從下手，找不到解決問題的突破口。

例 某公司擬為一企業(yè)承包新產(chǎn)品研制與開發(fā)任務(wù)，但為得到合同必須參加投標(biāo)。已知投標(biāo)的準(zhǔn)備費(fèi)用為4萬元，中標(biāo)的可能性是40%，如果不中標(biāo)，準(zhǔn)備費(fèi)用得不到補(bǔ)償。如果中標(biāo)，可采用兩種方法進(jìn)行研制開發(fā):方法1成功的可能性為80%，費(fèi)用為26萬元;方法2成功的可能性為50%，費(fèi)用為60萬元，如果合同中標(biāo)，但未研制開發(fā)成功，這開發(fā)公司需賠償10萬元。請你決策:(1)是否參加投標(biāo);(2)若中標(biāo)了，采用哪種方法研制開發(fā)?

在此問題中，涉及到的量有:投標(biāo)準(zhǔn)備費(fèi)用，中標(biāo)可能性，開發(fā)成功可能性，未研制成功的賠償?shù)雀鞣N方案的益損值。如何正確用這些已知量去決策方案許多學(xué)生一片茫然。

四、對實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型缺乏經(jīng)驗(yàn)

可以用作解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的形式很多，有函數(shù)模型，數(shù)列模型，不等式模型、概率模型、簡單微積分模型等。但是，當(dāng)遇到一個(gè)具體問題，選擇什么樣的數(shù)學(xué)模型，怎樣分析解決問題，是學(xué)生感到很困難的一個(gè)環(huán)節(jié)。存在這種情況的主要原因是學(xué)生存在把普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的障礙。數(shù)學(xué)語言主要是指數(shù)學(xué)文字語言、圖形語言和符號語言，這也是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的一個(gè)顯著特征。數(shù)學(xué)語言簡練、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)，甚至有些晦澀，如“函數(shù)y=f(x)”，形式簡單，但很抽象。而實(shí)際應(yīng)用問題明顯特征就是文字?jǐn)⑹龆啵畛ＷR多，字母符號變量多，相關(guān)制約因素多，怎樣將這種普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言對于數(shù)學(xué)模型能否順利建成非常關(guān)鍵。

在排列組合中就有一類分裝組合問題，經(jīng)常以各種形式出現(xiàn)在各類考試中，而這些問題往往都可以通過構(gòu)造一個(gè)模型來加以解決，我們舉例說明。

問題的提出:將n個(gè)相同元素分裝到m個(gè)不同盒中，有多少種裝法。

模型的構(gòu)建:將10個(gè)球分別裝入3個(gè)不同的盒中，且每盒非空(或每盒至少一個(gè))，有多少種不同裝法?

模型分析:將10個(gè)小球排成一排，在其兩兩之間的9個(gè)空檔中任取2個(gè)空檔華上豎線，這樣就將10個(gè)小球分成3組。如圖:

○○—○○○○—○○○○

模型求解:將每個(gè)小球順序裝入三個(gè)盒子中，這畫豎線的方法就等于題中所求的裝法數(shù)，共有C29=36種裝法。

問題的推廣:借助此模型我們可以研究更多的相關(guān)問題。例如:

1、(要求至少有n個(gè)的問題)將20本書分給4個(gè)學(xué)生，要求每個(gè)學(xué)生至少得3本，有多少種不同分發(fā)。利用模型分析得:首先每人2本，然后把剩下的12本按上述畫豎線的方法分給4個(gè)學(xué)生，共有C311=45種方法。

2、集合從A到B的映射f中，求滿

的映射個(gè)數(shù)。利用模型分析有:本題等價(jià)于將5個(gè)相同的小球放在3個(gè)不同的盒子中，每盒可空的方法總數(shù) ，故有C27=21個(gè)映射。

以上幾個(gè)問題在形式有很大不同，但只要學(xué)生抓住問題的主干，成功的將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)模型，題目的求解就會有更新，更清晰的思路。

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