數(shù)形結(jié)合 角度善變 決勝中考

摘 要:“函數(shù)幾何題”常常是中考試卷中的把關(guān)題和壓軸題，翻一下歷年各地的中考試卷，幾乎都有函數(shù)中的幾何問(wèn)題。

關(guān)鍵詞:函數(shù)幾何題

中圖分類號(hào):G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1006-3315(2010)7-028-001

由于近年來(lái)的“函數(shù)幾何問(wèn)題”已經(jīng)從單純的知識(shí)疊加型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力綜合型，其涉及的知識(shí)面廣、知識(shí)跨度大、綜合型強(qiáng)、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法多，這就要求學(xué)生有較好的心態(tài)和過(guò)硬的數(shù)學(xué)基本功。不僅能從已知中提供的信息提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和掌握的基本技能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，所以初三老師在指導(dǎo)復(fù)習(xí)時(shí)，尤其要注意這類問(wèn)題的解決策略。

一、沉著面對(duì)，耐心審題

有些考生一看到“函數(shù)幾何問(wèn)題”復(fù)雜的圖形，那么多的條件和要求解的問(wèn)題。首先就心慌氣短，連看都不敢看，直接放棄，其實(shí)沒(méi)必要的，雖然“函數(shù)幾何問(wèn)題”的能力要求很高，但問(wèn)題的難度是有層次的，所以沒(méi)必要全盤放棄和恐慌，正確面對(duì)就可以了，因此首先心態(tài)要好。但由于該類問(wèn)題條件隱蔽，而且變化多樣，所以一定要認(rèn)真審題，層層剝離，充分挖掘。要注意把握好解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步的局部目標(biāo);了解由已知產(chǎn)生了什么和要解決什么，提高概念把握的正確性和運(yùn)算的正確性，力求能夠得到的分一定要拿到手。

二、掌握特性，分解難點(diǎn)

在“函數(shù)幾何問(wèn)題”中，經(jīng)?？梢钥吹蕉魏瘮?shù)和圓相結(jié)合的問(wèn)題，有時(shí)是利用圓的幾何特征解決二次函數(shù)中一些點(diǎn)或角的問(wèn)題。有時(shí)是利用二次函數(shù)的函數(shù)特性解決圓中的一些線段或面的問(wèn)題。不管是哪一類，都要明確工具自身的特性。如圓的軸對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)不變性、拋物線的點(diǎn)與式的緊密結(jié)合性。當(dāng)工具的特性體現(xiàn)完時(shí)，把有關(guān)圖形再分離出來(lái)，達(dá)到清晰解題，降低難點(diǎn)的目的。如2008年新課程結(jié)束考試卷上有一題:如圖所示:在平面直角坐標(biāo)系中圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與X軸、Y軸分別相交于A(-6，0)，B(0，-8)兩點(diǎn)。

⑴請(qǐng)寫出直線AB的解析式

⑵若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于Y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在圓M上。開口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

第⑴小題很簡(jiǎn)單，用待定系數(shù)法求出直線解析式即可。而第⑵小題就要緊扣圓的特性。用垂徑定理得AN=NO=3，再由直徑AB=10得R=5，用勾股定理求出MN=4，從而得CN=1，這樣就求出了頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。拋物線的函數(shù)表達(dá)式也就求出了。

到第⑶小題時(shí)，其實(shí)圓的工具性也體現(xiàn)完了，僅是函數(shù)內(nèi)部問(wèn)題，可以重新畫圖，再次確定研究對(duì)象，使目標(biāo)清晰，此時(shí)，P點(diǎn)不確定，它就相當(dāng)于動(dòng)點(diǎn)，行動(dòng)軌跡為拋物線，我們就可以用拋物線的特性來(lái)定位動(dòng)點(diǎn)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)為(X，-X2-6X-8)，再用面積來(lái)計(jì)算，不過(guò)這里在計(jì)算面積時(shí)要當(dāng)心?！鱌DE的高為|-X2-6X-8|就可以了。

三、了解動(dòng)態(tài)，細(xì)心分類

在“幾函問(wèn)題”和“函幾問(wèn)題”中經(jīng)常會(huì)遇到運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

⑴動(dòng)點(diǎn)P在怎樣的圖形上運(yùn)動(dòng)?

⑵求⊙P與l相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)。

⑶當(dāng)⊙P與直線l相交于B、E兩點(diǎn)時(shí)，與X軸交于另一點(diǎn)A，l上是否存在一點(diǎn)Q，使AQ2=BQ·EQ?若存在求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

我們?cè)诜治鲞@一問(wèn)題時(shí)，可以先在草稿紙上把運(yùn)動(dòng)過(guò)程感知一下，發(fā)現(xiàn)如果要滿足動(dòng)圓P始終在Y軸左側(cè)并與Y軸相切的話，動(dòng)圓P點(diǎn)圓心P到Y(jié)軸的距離始終是半徑5，這就是動(dòng)中找出不變的量，那么圓心P就應(yīng)該在這樣一條直線上運(yùn)動(dòng)。即與Y軸平行且到Y(jié)軸的距離是5的一條直線即X=-5。到第二題與動(dòng)圓相切的對(duì)象換成了已知直線l和Y軸，模擬運(yùn)動(dòng)后，發(fā)覺(jué)要滿足上述要求有兩種可能。一種動(dòng)點(diǎn)P在∠1的角平分線與圓心P的軌跡的交點(diǎn)處，另一種即在∠2的角平分線與圓心軌跡的交點(diǎn)處，分類完成后，確定可能了，接下來(lái)利用相似等性質(zhì)認(rèn)真計(jì)算求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于第⑶題，說(shuō)明完BE是直徑后，由已知去構(gòu)造△ABQ和△AEQ相似。此時(shí)就要對(duì)Q點(diǎn)在直線l上的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分類，直線l有三個(gè)特殊點(diǎn)，B點(diǎn)、E點(diǎn)、P點(diǎn)。故Q點(diǎn)就可能在E點(diǎn)的右邊，或在BE的之間，或在E點(diǎn)的左邊。分類分好后，再逐一構(gòu)造相似，進(jìn)行計(jì)算。

四、挖掘已知，轉(zhuǎn)移變量

“函數(shù)幾何問(wèn)題有時(shí)直接變量與已知聯(lián)系不大或很難，直接判斷時(shí)，常常可以通過(guò)轉(zhuǎn)移變量，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。如:2006年常州中考卷上一題:在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與X軸相交于點(diǎn)A，與Y軸相交與點(diǎn)B。問(wèn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，變化著的線段AB長(zhǎng)度的最小值。當(dāng)然本題的解法不止一種，但最簡(jiǎn)單的還是想到AB這個(gè)變量直接判斷較困難，若能轉(zhuǎn)移到斜邊上的中線這個(gè)變量，問(wèn)題就容易理解很多，斜邊上的中線要最短，即原點(diǎn)到中點(diǎn)的距離變成原點(diǎn)到AB的垂線段就可以了。即中點(diǎn)和切點(diǎn)重合。

五、掌握技巧，靈活求解

解決“函數(shù)幾何問(wèn)題”時(shí)，尤其要重視數(shù)形結(jié)合，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析代數(shù)含義又分析其幾何意義，“數(shù)”與“形”的互譯、限制的轉(zhuǎn)化，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵所在，找到解題思路，再加上平時(shí)自己積累的經(jīng)驗(yàn)、小技巧，也可以幫助很快解題。