解答題破解有術(shù)——特殊化思想

特殊化思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，應(yīng)用特殊化思想解決數(shù)學(xué)問題，遵循了由特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑.解題遇到困難時，可以以退為進，由一般退到特殊，在特殊中尋找一般思路，有時會柳暗花明，問題簡捷獲解.在客觀小題中運用特殊化思想易想且常見，但在解答題中，很多同學(xué)易忽視這個重要思想，其實用特殊化思想也解決解答題是一種重要的思維方式，靈活而恰當(dāng)應(yīng)用它，常能幫助我們找到問題的突破口，收到事半功倍的效果.

一、以退為進——特殊領(lǐng)航

例1 (2000全國卷理20)(1)已知數(shù)列{an}，其中cn=2n+3n，且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p;

(2)設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn，證明:數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.

分析:第(1)目標(biāo)是求常數(shù)p，關(guān)鍵是建立關(guān)于常數(shù)p的一個方程，可用定義考慮(cn+1-pcn)，

(cn+2-pcn+1)，(cn+3-pcn+2)的關(guān)系，雖具有一般性，但代入顯得繁瑣，而通過對n賦特殊值，建立的等式中只含p，思路清晰.第(2)證明不是等比數(shù)列，只要取反例，對n取特殊值即可.

解:(1)因{cn+1-pcn}是等比數(shù)列，則對特殊的n=1，2，3，即c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3也成等比數(shù)列，于是有(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，又c1=5，c2=13，c3=35，c4=97，代入整理得p2-5p+6=0，解得p=2或p=3.當(dāng)p=2時，cn+1-2cn=3n，則{cn+1-pcn}為等比數(shù)列;當(dāng)p=3時，cn+1-3cn=2n，則{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，故p=2或p=3.

(2)要證明{cn}不是等比數(shù)列，只要證明一個特殊情形，即c1，c2，c3不是等比數(shù)列即可.

設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q，p≠q，由cn=an+bn得，c22=(a1p+bq)2=a21p2+b21q2+2a1b1pq，c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a21p2+b21q2+a1b1(p2+q2)，由于p≠q，則p2+q2>2pq，因此c22≠c1c3，則c1，c2，c3不是等比數(shù)列，故{cn}不是等比數(shù)列.

評注:本題的解法是從特殊性入手求解一般性結(jié)論，將一般問題先退化到有限的特殊情形，題中數(shù)列問題的解決只是在數(shù)列的前幾項中進行，大大降低了思考量，精簡了解題程序.

例2 (2009江蘇卷18)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直線l過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程;

(2)設(shè)P為平面上的點，滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

分析:第(2)很多同學(xué)對“無窮多個”、“存在點P”等條件不能順利翻譯成代數(shù)問題，由此思維受阻.而若胸有特殊化思想，從特殊性切入，會換來一片新天地，思路也隨之自然呈現(xiàn).

解:(1)略;

(2)法一:設(shè)點P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y-b=k(x-a)，(k≠0)，則直線l2的方程為y-b=-1k(x-a)，由直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，可得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等，即1-k(-3-a)-b1+k2=5+1k(4-a)-b1+1k2，

整理得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk，因為存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，所以不妨對k取兩組特殊值.取k=1，得4+a-b=9-a-b;取k=2，得7+2a-b=14-a-2b，聯(lián)立方程組可解得a=-32，b=132或a=52，b=-12，把點P(-32，132)與P(52，-12)分別代入1+3k+ak-b=5k+4-a-bk，可得對一切的k恒成立.故P(-32，132)與P(52，-12)是滿足條件的全部的點.

法二:仔細觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)兩圓是等圓，若點P的兩條互相垂直的直線分別過兩圓的圓心，此時截得的弦長必相等.由此特殊情形啟發(fā)，假設(shè)過P點的另外一組互相垂直的直線PB1，PB2符合條件，相當(dāng)于一個直角三角板繞其直角頂點旋轉(zhuǎn)，因是等圓，要使截得的弦長相等，只需弦心距相等，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，始終有∠B1PC1=∠B2PC2，則有Rt△PB1C1≌Rt△PB2C2，故PC1=PC2，結(jié)合PC1⊥PC2，設(shè)P(x，y)，

聯(lián)立方程組(x+3)(x-4)+(y-1)(y-5)=0(x+3)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-5)2可解出P(-32，132)與P(52，-12).

評注:法一是將斜率特殊化來求點，學(xué)生易操作，法二是將直線的位置特殊化來探求點坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合很直觀，兩法異曲同工，本質(zhì)都是體現(xiàn)了特殊到一般的推理過程，化繁為簡，化難為易.

二、先猜后證——特例探路

例3 (2007天津理21)在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N)，其中λ>0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;(3)證明存在k∈N，使得an+1an≤ak+1ak對任意n∈N均成立.

分析:第(1)直接求解，入手較難，可以構(gòu)造新數(shù)列，但對學(xué)生要求很高，很多學(xué)生達不到這個層次，而通過取幾個特例，即前幾項，很容易看出規(guī)律性，思路變清晰——先猜后證，第(3)同樣用此法，問題可快速破解.

解:本題第(1)問可以先取幾個特例:

a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22，a3=2λ3+23，a4=3λ4+24

由此可歸納猜想出an=(n-1)λn+2n，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.第(2)問略，第(3)問是這道2007年天津高考壓軸題中最難的一問，較難突破，通過分析，猜想數(shù)列an+1an的第一項a2a1最大，然后再證明猜想的正確性:an+1an≤a2a1=λ2+42，n≥2，()由λ>0知an>0，要使()成立，只需證2an+1<(λ2+4)an，(n≥2)，因(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+4)2n

>4λ(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1，(n≥2)，故()成立

因此，存在k=1，使得an+1an≤ak+1ak=a2a1對任意n∈N均成立.

評注:先猜后證的關(guān)鍵是猜想，從最簡單最特殊的情況入手研究，是作出正確的猜想的一個有效途徑.本題第(1)問所用的是歸納性猜想，是指從特例出發(fā)，最后證明猜想的正確性;第(3)問所用探索性猜想，是根據(jù)已有的知識和結(jié)果，經(jīng)特例嘗試探索而獲得待解決問題向結(jié)果靠近的方向性猜想.

三、分類明確——特殊優(yōu)先

例4 (2008山東理22)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0)，M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

(Ⅰ)求證:A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(Ⅱ)已知當(dāng)M點的坐標(biāo)為(2，-2p)時，AB=410.求此時拋物線的方程;

(Ⅲ)是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中，點C滿足OC=OA+OB(O為坐標(biāo)原點).若存在，求出所有適合題意的點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析:對于第(Ⅲ)問，仔細審視圖形特征，應(yīng)優(yōu)先想到點M落在y軸上的特殊情形，然后再對其余情形討論，進而聯(lián)想到相關(guān)點D的位置，也自然分點D在拋物線的頂點與在其它位置展開討論.

解:(Ⅰ)(Ⅱ)略;

(Ⅲ)設(shè)Ax1，x212p，Bx2，x222p，x12x20p.(1)當(dāng)x0=0時，則x1+x2=2x0=0，此時，點M(0，-2p)適合題意.

(2)當(dāng)x0≠0，對于D(0，0)，此時C2x0，x21+x222p，kCD=x21+x222p2x0=x21+x224px0，又kAB=x0p，AB⊥CD，

所以kAB#8226;kCD=x0p#8226;x21+x224px0=x21+x224p2=-1，即x21+x22=-4p2，矛盾.對于D2x0，2x20p，因為C2x0，x21+x222p，此時直線CD平行于y軸，又kAB=x0p≠0，則直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以x0≠0時，不存在符合題意的M點.綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意.

評注:本題第(Ⅲ)的結(jié)果恰好是M(0，-2p)，即“理想”的落在y軸上的特殊位置.若在解題過程對x23=2x0x3作不等價變形，即兩邊同除x3，會只得x3=2x0;或者沒有想到對x0分等于零與不等于零討論，都將導(dǎo)致“答不存在”這個遺憾之錯.另外，如求直線方程的時候，應(yīng)優(yōu)先考慮斜率不存在的情形，否則會造成漏解.解題要養(yǎng)成良好習(xí)慣，一要想到特殊情形，二是讓特殊情形先行.

(作者:徐勇，江蘇省連云港市板浦高級中學(xué))