2010年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(8)

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.

1.已知集合A=x|x>3，x∈R}，B={1，2，3，4}，則(CuA)∩B= .

2.已知復(fù)數(shù)z=1+a(1-i)，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .

3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2，-1)，則cos(α+π3)的值為 .

4.已知數(shù)據(jù)a，4，2，5，3的平均數(shù)為b，其中a，b是方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是 .

5.已知函數(shù)f(x)是以5為周期的奇函數(shù)，且f(-3)=2，則f(-2)= .

6.以下程序運(yùn)行后結(jié)果是 .

i←1

While i<8

i←i+2S←2×i+3i←i+3

End While

Print S

7.利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0，1)上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x=2a-bx有實(shí)根的概率為 .

8.已知|a|=1，b=(-1，3)，|a+b|=3，則a與b的夾角為 .

9.已知橢圓C:x22+y2=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，線段AF交橢圓C于點(diǎn)B，若FA=3FB，則AF= .

10.動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在不等式組x+y-2≤0x-y≥0y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則w=a+b-3a-1的取值范圍是 .

11.已知1sina+1cosa=43，則sin2a= .

12.已知a>0，設(shè)函數(shù)f(x)=2009x+1+20072009x+1+sinx(x∈[-a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M+N= .

13.已知P為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過P的直線l與拋物線交與A，B兩點(diǎn)，若Q在直線l上，且滿足|AP||QB|=|AQ||PB|，則點(diǎn)Q總在定直線x=-1上.試猜測如果P為橢圓x225+y29=1的左焦點(diǎn)，過P的直線l與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，若Q在直線l上，且滿足|AP||QB|=|AQ||PB|，則點(diǎn)Q總在定直線 上.

14.數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=pan+2n(n∈N*)，其中p為常數(shù).若存在實(shí)數(shù)p，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= .

二、解答題:本大題共6小題，共90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15(本小題滿分14分)

在△ABC中，∠B=45°，AC=10，cosC=255.

(Ⅰ)求BC邊的長度;

(Ⅱ)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長度.

16(本小題滿分14分)

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1，M為CC1的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:BM⊥AB1;

(Ⅱ)試在棱AC上確定一點(diǎn)N，使得AB1∥平面BMN.

17(本小題滿分15分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|F1Q|=2a.點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足PT#8226;TF2=0，|PQ|=|PF2||TF2|≠0.

(Ⅰ)設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明|F1P|=a+cax;

(Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡C的方程;

(Ⅲ)試問:在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值;若不存在，請說明理由.

18(本小題滿分16分)

為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體.假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成:①罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元;②需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元.

(Ⅰ)求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求博物館支付總費(fèi)用的最小值;

(Ⅲ)如果要求保護(hù)罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護(hù)罩底面(不計(jì)厚度)正方形邊長不得少于1.1米，高規(guī)定為2米.當(dāng)博物館需支付的總費(fèi)用不超過8千元時(shí)，求保護(hù)罩底面積的最小值(可能用到的數(shù)據(jù):33≈5.74，結(jié)果保留一位小數(shù)).

19.(本小題滿分16分)

如圖，A，B是函數(shù)y=e2x的圖像上兩點(diǎn)，分別過A，B作x軸的平行線與函數(shù)y=ex的圖像交于C，D兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A與原點(diǎn)O連成直線的斜率取值范圍;

(2)若直線AB過原點(diǎn)O，求證直線CD也過原點(diǎn)O;

(3)當(dāng)直線BC與y軸平行時(shí)，設(shè)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，四邊形ABDC的面積為f(x)，若方程2f(x)-3ex=0在區(qū)間[t，t+1]上有實(shí)數(shù)解，求整數(shù)t的值.

20.(本小題滿分16分)

已知分別以d1，d2為公差的等差數(shù)列{an}，{bn}.

(Ⅰ)若a1=1，d1=1，b2009=409，且存在正整數(shù)m，使得a2m=bm+2009-2009，求證:d2≥80.

(Ⅱ)若a1=1，b2009=409，ak=bk=0，且數(shù)列a1，a2，…ak-1，bk，bk+1，bk+2…，b2009的前n項(xiàng)和sn滿足s2009=2012sk+9045，求{an}的通項(xiàng)公式.

(Ⅲ)對于給定的正整數(shù)m，若a21+a2m+1=1，求S=am+1+am+2+…+a2m+1的最大值.

附加題部分

21.[選做題]在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

A.選修4—1:幾何證明選講

如圖，圓O與圓O1外切于點(diǎn)P，一條外公切線分別切兩圓于A、B兩點(diǎn)，AC為圓O的直徑，T為圓O1上任一點(diǎn)，CT=AC.求證:CT為圓O1的切線，切點(diǎn)為T.

B.選修4—2 矩陣與變換

已知矩陣A=3 00 4，點(diǎn)M(-1，-1)，點(diǎn)N(1，1).

求線段MN在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的線段M′N′的長度;

C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線C的參數(shù)方程為x=sinαy=cos2α，α∈[0，2π)，曲線D的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π4)=-2.

(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程;

(2)曲線C與曲線D有無公共點(diǎn)?試說明理由.

D.選修4-5:不等式證明選講

解不等式:|x-1|-|x+2|≤2

22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an=1n，f(n)=S2n，n=1S2n-Sn-1，n≥2，

(1)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值;

(2)比較f(n)與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

23.一個(gè)暗箱中有3只白球與2只黑球共5只球，每次從中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分.甲從暗箱中有放回地依次取出3只球，乙從暗箱中無放回地依次取出3只球.

(Ⅰ)寫出甲總得分的分布列;

(Ⅱ)求甲總得分大于乙總得分的概率;

(Ⅲ)試證明甲抽取n次得分的數(shù)學(xué)期望為12n5.(提示kCkn=nCk-1n-1)

參考答案

一、填空題

1.{1，2，3}

2.-2

3.15-2510

4.2

5.-2

6.19

7.12

8.2π3

9.2

10.(-∞，-1]∪[3，+∞)

11.-34

12.4016

13.x=-254

14.2n

二、解答題

15.解:(1)由cosC=255得:sinC=55

sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC+sinC)=31010，

由正弦定理知:BC=ACsinB#8226;sinA=1022#8226;31010=32，

(2)AB=ACsinB#8226;sinC=1022#8226;55=2，BD=12AB=1

由余弦定理知:CD=BD2+BC2-2BD#8226;BCcosB

=1+18-2#8226;1#8226;32#8226;22=13

16.解:(Ⅰ)證明:取BC的中點(diǎn)D，連接AD，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AD⊥BC又ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以B1B⊥面ABC，所以B1B⊥AD所以有AD⊥面BB1C1C，因?yàn)锽M面BB1C1C，所以BM⊥AD，又由BB1C1C為正方形，且M，D分別為C1C，CB的中點(diǎn)，∴B1D⊥BM

AD∩B1D=D，AD，B1D面AB1D

∴BM⊥面AB1D

又AB1面AB1D

∴BM⊥AB1

(Ⅱ)N為AC的三等分點(diǎn)，CN:NA=1:2.連結(jié)B1C，B1C∩BM=E，

∵△CEM∽△B1EB，∴CEEB1=CMBB1=12.

∴CNNA=CEEB1=12，∴AB1∥NE

又∵EN面BMN，AB1面BMN

∴AB1∥平面BMN

17.解(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由P(x，y)在橢圓上，得

|F1P|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2-b2a2x2=(a+cax)2.

又由x≥-a，知a+cax≥-c+a>0，

所以|F1P|=a+cax.

(Ⅱ)當(dāng)|PT|=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.

當(dāng)|PT|≠0且|TF2|≠0時(shí)，由|PT|#8226;|TF2|=0，得PT⊥TF2.

又|PQ|=|PF2|，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).

在△QF1F2中，|OT|=12|F1Q|=a，所以有x2+y2=a2.

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.

(Ⅲ)C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是x20+y20=a2，③12#8226;2c|y0|=b2.④

由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤b2c.所以，當(dāng)a≥b2c時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b2;

當(dāng)a

當(dāng)a≥b2c時(shí)，MF1=(-c-x0，-y0)，MF2=(c-x0，-y0)，

由MF1#8226;MF2=x20-c2+y20=a2-c2=b2，

MF1#8226;MF2=|MF1|#8226;|MF2|cos∠F1MF2，

S=12|MF1|#8226;|MF2|sin∠F1MF2=b2，得tan∠F1MF2=2.

18.解:(1)y=1000(V-0.5)+16000V=1000V+16000V-500(或y=V+16V-0.5)(V>0.5)

(2)y=1000V+16000V-500≥7500

當(dāng)且僅當(dāng)1000V=16000V，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)

所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元.

(3)解法1:由題意得不等式:V+16V-0.5≤8

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí)，V=23S，代入整理得:4S2-51S+144≤0，解得4.22≈51-3338≤S≤51+3338≈8.53;

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí)，V=2S，代入整理得:4S2-17S+16≤0，解得1.41≈8.5-8.254≤S≤8.5+8.254≈2.84

又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2.解方程8000=1000V+16000V-500，即V2-8.5V+16=0得兩個(gè)根為V1=2.814，V2=5.686

由于函數(shù)y=1000V+16000V-500在(0，4]上遞減，在[4，+∞)上遞增，所以當(dāng)V

由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的13.所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時(shí)，保護(hù)罩底面積最小，S=V1h=2.8142≈1.4m2

又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21<1.4，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19.解:(1)設(shè)過原點(diǎn)O且和函數(shù)y=e2x的圖象

相切的切線的切點(diǎn)為P(x0，y0)，則:

y0=e2x0，又y′=2e2x，切線OP的斜率kOP=y0x0=2e2x0，

解e2x0x0=2e2x0得x0=12，kOP=2e2x0=2e.

結(jié)合圖象知，點(diǎn)A與原點(diǎn)O連成直線的斜率取值范圍是(-∞，0)∪[2e，+∞);

(2)由已知可設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y1)，D(x4，y2)

則y1=e2x1，y2=e2x2，且y1=ex3，y2=ex4，∴e2x1=ex3，e2x2=ex4，∴2x1=x3，2x2=x4，

∵直線AB過原點(diǎn)O，∴y2x2=y1x1，∴y22x2=y12x1，于是y2x4=y1x3，即kOC=kOD，

∴直線CD也過原點(diǎn)O.

(3)當(dāng)直線BC與y軸平行時(shí)，x2=x3=2x1=x，x4=2x2=4x1=2x，

∴f(x)=12[(x3-x1)+(x4-x2)](y2-y1)=3x4(e2x-ex)=3x4(ex-1)ex

于是方程2f(x)-3ex=0可化為32x(ex-1)ex-3ex=0，

由于ex>0，且x=0不是該方程的解，所以原方程等價(jià)于ex-2x-1=0，

令g(x)=ex-2x-1，則g′(x)=ex+2x2>0對一切x∈(-∞，0)∪(0，+∞)成立，

所以和g(x)在(-∞，0)和(0，+∞)都是增函數(shù)，

又因?yàn)間(1)=e-3<0，g(2)=e2-2>0;g(-3)=e-3-13<0，g(-2)=e-2>0，

所以方程2f(x)-3ex=0有且只有兩個(gè)實(shí)根，并且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，

所求整數(shù)t的值為1和-3.

20.解:(1)證明:因?yàn)閍m2=bm+2009-2009

所以(a1+(m-1)d1)2=b2009+md2-2009，即m2=409+md2-2009

可化為:d2=m+1600m≥2m#8226;1600m=80

當(dāng)且僅當(dāng)“m=1600m”即“m=40”時(shí)

故d2≥80

(2)因?yàn)閟2009=(a1+ak-1)(k-1)2+(bk+b2009)(2009-k+1)2

=(a1+ak)k2+(bk+b2009)(2009-k+1)2

=k2+2009(2010-k)2

又由ak=bk=0，可知2012(a1+ak)k2+9045=k2+2009(2010-k)2

即2012k2+9045=k2+2009(2010-k)2

解之得k=1000

故得a1000=0，又a1=1所以d1=-1999

an=a1+(n-1)d2=1000999-1999n

因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為..an=1000999-1999n

(3)解:S=am+1+am+2+…+a2m+1=(m+1)(am+1+a2m+1)2

設(shè)am+1+a2m+1=A，則A=am+1+a2m+1+a1-a1=am+1+2am+1-a1=3am+1-a1.則am+1=A+a13，由a21+(A+a13)2=1，可得10a21+2Aa1+A2-9=0，由Δ=4A2-40(A2-9)≥0，可得-10≤A≤10.

所以S=(m+1)(am+1+a2m+1)2=(m+1)A2≤10(m+1)2.

即S的最大值為10(m+1)2.

附加題部分參考答案

21A.選修4—1:幾何證明選講

證明:設(shè)圓O的半徑為r，圓O1的半徑為R(R>r)過點(diǎn)O1作O1E⊥AC，垂足為E，則O1E2=AB2=(R+r)2-(R-r)2=4Rr

連接O1C，則O1C2=O1E2+CE2=4Rr+(2r-R)2=4r2+R2

因?yàn)镃T2=AC2=4r2，O1T2=R2

所以O(shè)1C2=CT2+O1T2，

所以三角形O1CT為直角三角形，

O1T⊥TC

所以CT為圓O1的切線，切點(diǎn)為T

B.選修4—2 矩陣與變換

解由3 00 4-1-1=-3-4，3 00 411=34，

所以M′(-3，-4)，N′(3，4)所以M′N′=(-3-3)2+(-4-4)2=10

C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解:(1)由x=sinαy=cos2α，α∈[0，2π)得

x2+y=1，x∈[-1，1]

(2)由ρsin(θ+π4)=-2得曲線D的普通方程為x+y+2=0

x+y+2=0x2+y=1得x2-x-3=0

解得x=1±132[-1，1]

故曲線C與曲線D無公共點(diǎn)

D.選修4-5:不等式證明選講

解:當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式等價(jià)于(x-1)-(x+2)≤2即-3≤2

所以x≥1

當(dāng)x≤-2時(shí)，原不等式等價(jià)于-(x-1)+(x+2)≤2即3≤2

所以x∈

當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于-(x-1)-(x+2)≤2即x≥-32

所以-32≤x≤1

由上可知原不等式的解集為[-32，+∞)

22解:(1)由已知f(1)=S2=1+12=32，

f(2)=S4-S1=12+13+14=1312，

f(3)=S6-S2=13+14+15+16=1920;

(2)由(Ⅰ)知f(1)>1，f(2)>1;下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)<1.

(1)由(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí)，f(n)<1;

(2)假設(shè)n=k(k≥3)時(shí)，f(n)<1，即

f(k)=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f(k+1)=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2

=1k+1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2-1k

<1+12k+1-12k+12k+2-12k

=1+2k-(2k+1)2k(2k+1)+2k-(2k+2)2k(2k+2)

=1-12k(2k+1)-1k(2k+2)<1，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，f(n)<1也成立.

由(1)和(2)知，當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)<1.

所以當(dāng)n=1，和n=2時(shí)，f(n)>1;當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)<1.

23.解:(Ⅰ)甲總得分情況有6分、7分、8分、9分四種可能，記ξ為甲總得分.

P(ξ=6)=353=27125，P(ξ=7)=C1325352=54125

P(ξ=8)=C2325235=36125，P(ξ=9)=253=8125

ξ6789

P(x=ξ)2712554125361258125

(Ⅱ)對于乙

設(shè)“取出3只白球得6分為事件A”，則p(A)=C33C35=110;

設(shè)“取出2只白球1只黑球得7分為事件B”，則p(B)=C23C12C35=610=35;

設(shè)“取出1只白球2只黑球得8分為事件C”，則p(C)=C13C22C35=310

甲總得分大于乙總得分有:

甲得9分時(shí)P1=8125

甲得8分時(shí)P2=36125(110+35)=126625

甲得7分時(shí)P3=54125#8226;110=27625

故甲總得分大于乙總得分的概率為:P=8125+126625+27625=193625

(Ⅲ)記甲n次得分變量為X，則X的所有可能的取值有3n-i(i=0，1，2，…，n)

即取到i個(gè)白球，n-i個(gè)黑球分值為2i+3(n-i)=3n-i

p(X=3n-i)=Cin(35)i(25)n-i，

E(X)=∑ni=0(3n-i)Cin(35)i(25)n-i=3n∑ni=0Cin(35)i(25)n-i-∑ni=0iCin(35)i(25)n-i

=3n-∑ni=1nCi-1n-1(35)i(25)n-i=3n-35n∑ni=1Ci-1n-1(35)i-1(25)n-i=3n-35n=125n，

故命題得證.