2010年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(7)
2010-12-31 00:00:00本刊試題研究組
中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版 2010年8期
一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在相應(yīng)位置上.
1.已知全集U=R，集合M={x|lgx<0}，N={x|(12)x≥22}，則(CUM)∩N= .
2.若函數(shù)f(x)=xn2-3n(n∈Z)是偶函數(shù)，且y=f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，則n= .
3.若函數(shù)y=2sin(2x+φ)，φ∈(0，π)在x∈(0，π2)上是減函數(shù)，則φ= .
4.若(a-2i)i=b-i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+b= .
5.運(yùn)行下面算法流程，當(dāng)輸入的x值為 時，輸出的y值為4.
6.設(shè)f(x)=x3+log2(x+x2+1)，則不等式f(m)+f(m2-2)≥0(m∈R)成立的充要條件是 .(注:填寫m的取值范圍).
7.已知a，b，l表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個不同平面，有下列四個命題:
①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，則α∥γ;
②若a、b相交且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β;
③若a⊥β，α∩β=a，bβ，a⊥b，則b⊥α;
④若aα，bβ，α∩β=m，l⊥a，l⊥b，則l⊥m.
其中正確的是 .
8.把一根均勻木棒隨機(jī)地按任意點(diǎn)拆成兩段，則“其中一段長度大于另一段長度2倍”的概率為 .
9.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如下圖所示，其中支出在 .
10.已知橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，則|F1F2|=2c，點(diǎn)A在橢圓上且AF1#8226;F1F2=0，AF1#8226;AF2=c2，則橢圓的離心率為 .
11.當(dāng)0≤x≤12時，|ax-2x3|≤12恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
12.已知P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足AP=xAB+yAC，x、y∈R，則y+2x的取值范圍是 .
13.當(dāng)θ取遍所有值時，直線x#8226;cosθ+y#8226;sinθ=4+2sin(θ+π4)所圍成的圖形面積為 .
14.定義函數(shù)f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如:[1.5]=1，[-1.3]=-2，當(dāng)x∈[0，n)(n∈N*)時，設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個數(shù)為an，則式子an+90n的最小值為 .
二、解答題:本大題共六小題，共計90分.請在指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)已知向量m=(1，cosωx)，n=(sinωx，3)，(ω>0)，函數(shù)f(x)=m#8226;n的圖像上一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(π12，2)，與之相鄰的一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)(7π12，-2).
(1)求f(x)的解析式.
(2)在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所對的邊，且滿足a2+c2=b2-ac，求角B的大小以及f(A)取值范圍.
16.(本小題滿分14分)如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;
(2)求三棱錐D-AEC的體積;
(3)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE.
17.(本小題滿分15分)
煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染，據(jù)環(huán)保部門測定，地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，某鄉(xiāng)境內(nèi)有兩個煙囪A，B相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量A的8倍，該鄉(xiāng)要在兩座煙囪連線上一點(diǎn)C處建一小學(xué)，請確定該小學(xué)的位置使得煙塵濃度最低.
18.(本小題滿分15分)
如圖，已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱ΔF1BF2為橢圓M的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓M1:x24+y2=1和M2:x216+y24=1，判斷M2與M1是否相似，如果相似則求出M2與M1的相似比，若不相似請說明理由;
(2)若與(1)中橢圓M1相似，且半短軸長為b的橢圓記為Mb，其長軸的兩個端點(diǎn)分別為A和C，過F1，B，C三點(diǎn)作⊙P.試問:直線AB能否與⊙P相切?證明你的結(jié)論.
19.(本小題共16分)
已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個映射，點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q，記作Q=f(P).設(shè)P1(x1，y1)，P2=f(P1)，P3=f(P2)，…，Pn=f(Pn-1)，….如果存在一個圓，使所有的點(diǎn)Pn(xn，yn)(n∈N*)都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點(diǎn)列{Pn(xn，yn)}(n∈N*)的一個收斂圓.特別地，當(dāng)P1=f(P1)時，則稱點(diǎn)P1為映射f下的不動點(diǎn).
(1)若點(diǎn)P(x，y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(2x，1-y).
①求映射f下不動點(diǎn)的坐標(biāo);
②若P1的坐標(biāo)為(1，2)，判斷點(diǎn)列{Pn(xn，yn)}(n∈N*)是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由.
(2)若點(diǎn)P(x，y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(x+y2+1，x-y2)，P1(2，3).求證:點(diǎn)列{Pn(xn，yn)}(n∈N*)存在一個半徑為5的收斂圓.
20.(本小題共16分)
已知f(x)定義域?yàn)镽，滿足:
①f(1)=1>f(-1);
②對任意實(shí)數(shù)x，y，有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(1)求f(0)，f(3)的值;
(2)求12f(1-6x)+f2(3x)的值;
(3)是否存在常數(shù)A，B，使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2對一切實(shí)數(shù)x成立.如果存在，求出常數(shù)A，B的值;如果不存在，請說明理由.
附加題部分
21.選答題:本大題共4小題，請從這4題中選做2小題.如果多做，則按所做的前兩題記分.每小題10分，共20分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.
1.(選修4一l:幾何證明選講)
如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，CD=27，AB=BC=3.求BD以及AC的長.
2.(選修4—2:矩陣與變換)
已知矩陣A=33cd，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1=11，屬于特征值1的一個特征向量為α2=32.求矩陣A，并寫出A的逆矩陣.
3.(選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cosθ+π3，它們相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.
4.(選修4—5:不等式選講)
設(shè)f(x)=x2-x+1，實(shí)數(shù)a滿足|x-a|<1，求證:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
二、必答題:本大題共2小題.每小題10分，共20分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.
22.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中點(diǎn).
(1)求直線A1M與平面AMC1所成角的正弦值;
(2)求二面角A-MC1-A1的余弦值.
23.平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P到直線x=-2的距離比它到點(diǎn)F(1，0)的距離大1.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡C;
(2)求曲線C與直線x=4所圍成的區(qū)域的面積.
參考答案
一、填空題:
1.(-∞，0]
2.1或2
3.π2
4.1
5.-3
6.m≥1或m≤-2
7.②③
8.23
9.100
10.5-12
11.-12≤a≤32
12.(0，2)
13.16π
14.13
二、解答題:
15.(1)f(x)=m#8226;n=sinωx+3cosωx=2(12sinωx+32cosωx)
=2sin(ωx+π3)，T2=7π12-π12=π2，所以T=π，于是ω=2πT=2，可知f(x)=2sin(2x+π3)
(2)∵a2+c2=b2-ac，∴cosB=a2+c2-b22ac=-12，
又0 ∵B=2π3，∴0 ∴sin(2A+π3)∈(0，1]，∴f(A)∈(0，2] 16.(1)證明:∵AD⊥平面ABE，AD∥BC ∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF ∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE∴AE⊥BE (2)VD-AEC=VE-ADC=13×22×2=43 (3)在三角形ABE中過M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn)，在三角形BEC中過G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn)，連MN，則由比例關(guān)系易得CN=13CE ∵M(jìn)G∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE， ∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE ∴平面MGN∥平面ADE，又MN平面MGN∴MN∥平面ADE ∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個三等分點(diǎn) 17.解:不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出煙塵量為8，設(shè)AC=x，0 則y=kx2+8k(20-x)2(k為比例系數(shù))， y′=-2kx3+16k(20-x)3=2k[8x3-(20-x)3]x3(20-x)3=2k(3x-20)(3x2+400)x3(20-x)3. 令y′=0得x=203，當(dāng)0 ∴當(dāng)x=203時，y取得極小值，也是最小值，故當(dāng)小學(xué)建設(shè)在距離A煙囪203km處，煙囪濃度最低. 18.【解】:(1)橢圓M2與M1相似. 因?yàn)镸2的特征三角形是腰長為4，底邊長為23的等腰三角形，而橢圓M1的特征三角形是腰長為2，底邊長為3的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2∶1; (2)橢圓Mb的方程為:x24b2+y2b2=1(b>0). 則B(0，b)，C(2b，0)，F(xiàn)1(-3b，0)， 設(shè)圓心P(x，y)，則x=-3b+2b2=2-32b， 此外，kBC=-12，則BC的垂直平分線方程是y-b2=2(x-b)， 即y=2x-32b，將x=2-32b代入y=2x-32b得:y=(12-3)b， 即P(2-32b，(12-3)b)， 若直線AB能與⊙P相切，則B為切點(diǎn)，由于kAB=12，則kBP=-2， 但事實(shí)上，kBP=1-232b-b2-32b=-(8+53)≠-2，則直線AB不可能與⊙P相切. 19.【解】:(Ⅰ)①:設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為P0(x0，y0)， 由題意，得x0=2x0y0=1-y0，解得x0=0，y0=12， 所以映射f下不動點(diǎn)為P0(0，12). ②結(jié)論:點(diǎn)Pn(xn，yn)不存在一個半徑為3的收斂圓. 證明:由P1(1，2)，得P2(2，-1)，P3(4，2)，P4(8，-1)， 所以|P1P4|=58>6，則點(diǎn)P1，P4不可能在同一個半徑為3的圓內(nèi)， 所以點(diǎn)Pn(xn，yn)(n∈N*)不存在一個半徑為3的收斂圓. (Ⅱ)證明:由P1(2，3)，得P2(72，-12)，P3(52，2)，P4(134，14)，(注:算P3，P4是為下面的檢驗(yàn)) 由Pn+1=f(Pn)，得xn+1=xn+yn2+1yn+1=xn-yn2， 由Pn+2=f(Pn+1)，得xn+2=xn+1+yn+12+1yn+2=xn+1-yn+12 所以xn+2=12xn+32，yn+2=12yn+12，即xn+2-3=12(xn-3)，yn+2-1=12(yn-1)， 所以{x2n-1-3}及{x2n-3}，都是公比為12的等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為x1-3=-1，x2-3=12， 則點(diǎn)Pn(xn，yn)的坐標(biāo)公式為x2k-1=3-(12)k-1x2k=3+(12)k，y2k-1=1+(12)k-2y2k=1-3#8226;(12)k， 即:P2k-1(3-(12)k-1，1+(12)k-2)，P2k(3+(12)k，1-3#8226;(12)k) 設(shè)A(3，1)，|APn|=(xn-3)2+(yn-1)2， 當(dāng)n為奇數(shù)，|AP2k-1|=[(12)k-1]2+[(12)k-2]2≤1+4=5， 當(dāng)n為偶數(shù)，|AP2k|=[(12)k]2+[3#8226;(12)k]2≤14+9×14<5， 則點(diǎn)列{Pn(xn，yn)}(n∈N*)存在一個以A(3，1)為圓心，半徑為5的收斂圓. 20.【解】:(1)在等式f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中: 令x=y=1，得f(0)=0，令x=y=0，結(jié)合條件得f(-1)=-1， 令y=1，x=-1得f(3)=-1 (2)在等式f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中: 令y=0，得f(1-x)=-f(x-1)，即f(-x)=-f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， 令x=0，得f(y+1)=-f(y-1)=f(1-y)， 即函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=1對稱; 令y=x，得f2(x)+f2(x-1)=1， 令y=-x，得f(1-2x)=f(x)f(-x)+f(x-1)f(-x-1) =-f2(x)-f(x-1)f(x+1)=-f2(x)-f(x-1)f(1-x) =-f2(x)+f2(x-1)=-f2(x)+1-f2(x) =1-2f2(x)即f(1-2x)+2f2(x)=1， 以3x換x，得:12f(1-6x)+f2(3x)=12; (3)|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2|2f(x)+Ax+B|≤2， 令x=-1，得|-2-A+B|≤2，即-2≤2+A-B≤2① 令x=1，得|2+A+B|≤2，即-2≤2+A+B≤2② 令x=3，得|-2+3A+B|≤2，即-2≤2-3A-B≤2③ ①+②得A≤0，②+③得A≥0，∴A=0. 將A=0代入①得B≥0;將A=0代入②得B≤0，∴B=0. 由(2)知f2(x)+f2(x-1)=1，所以|f(x)|≤1對一切實(shí)數(shù)x成立. 故當(dāng)A=B=0時，|2f(x)+Ax+B|≤2對一切實(shí)數(shù)x成立. ∴存在常數(shù)A=B=0，使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2對一切實(shí)數(shù)x成立，且A=B=0為滿足題設(shè)的唯一一組值. 附加題部分參考答案 21.選答題:本大題共4小題，請從這4題中選做2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分.每小題10分，共20分. 1.由切割線定理得:DB#8226;DA=DC2，DB(DB+BA)=DC2，DB2+3DB-28=0，DB=4. ∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA， ∴BCCA=DBDC，得AC=BC#8226;DCDB=372. 2.解:由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1=11可得，33cd11=611， 即c+d=6; 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α2=3-2，可得33cd32=3-2， 即3c-2d=-2， 解得c=2d=4即A=3324， A的逆矩陣是23-12-1312. 3.解:由ρ=1得x2+y2=1， 又∵ρ=2cos(θ+π3)=cosθ-3sinθ，∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ ∴x2+y2-x+3y=0， 由x2+y2=1x2+y2-x+3y=0得A(1，0)，B(-12，-32)， ∴AB=1+122+0+322=3. 4.∵f(x)=x2-x+1， ∵f(x)-f(a)=x2-x-a2+a =x-a#8226;x+a-1 又∵x+a-1=(x-a)+2a-1 ≤x-a+2a-1 <1+2a+1=2(a+1). 必答題:本大題共2小題，每小題10分，共20分. 22.解:以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長為2. (1)直線A1M的一個方向向量是m=(0，2，-1)，平面AMC1的一個法向量是n=(1，-1，2)， 由cos (2)平面A1MC1的一個法向量是e=(1，1，2)，平面AMC1的一個法向量是n=(1，-1，2)， 由cos 所以二面角A-MC1-A1的余弦值是23. 23.(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y) 則|x-(-2)|-(x-1)2+y2=1，|x+2|-1=(x-1)2+y2， 若x≥-2，則x+1=(x-1)2+y2，化簡得:y2=4x， 若x<-2，則-x-3=(x-1)2+y2，化簡得:y2=8(x+1)，不合題意，舍去， 故所求軌跡為:以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y2=4x. (2)S=2∫40(2x)dx=643.
