參數(shù)統(tǒng)消\\分離參數(shù)——盡顯定值本色

如果曲線中某些量不依賴于變化元素而存在，則稱為定值，探討定值的問題可以為解答題，也可以為證明題，求定值的基本方法是:先將變動(dòng)元素用參數(shù)表示，然后計(jì)算出所需結(jié)果與該參數(shù)無關(guān);也可將變動(dòng)元素置于特殊狀態(tài)下，探求出定值，然后再予以證明，因?yàn)楫吘故墙鈳字械亩ㄖ祮栴}，所以討論的立足點(diǎn)是解幾知識(shí)，工具是代數(shù)、三角等知識(shí)，基本數(shù)學(xué)思想與方法的體現(xiàn)將更明顯，更逼真.定值問題可歸結(jié)為以下兩類:

類型一:參數(shù)統(tǒng)消 定值顯現(xiàn)

引入?yún)?shù)(有時(shí)甚至要引入兩個(gè)參數(shù))，運(yùn)算到最后，參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).

例1 已知，橢圓C過點(diǎn)A(1，32)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1，0)，(1，0).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

分析:設(shè)直線AE的斜率為k，則直線AF的斜率為-k，將直線AE和AF方程與橢圓方程聯(lián)立，解出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而直線EF的斜率用含k的代數(shù)式表示，經(jīng)過化簡必與k無關(guān)，此時(shí)定值便顯現(xiàn).

解:(Ⅰ)由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程為x21+b2+y2b2=1.

因?yàn)锳在橢圓上，所以11+b2+94b2=1，解得b2=3，b2=-34(舍去).

所以橢圓方程為x24+y23=1.

(Ⅱ)證明:設(shè)直線AE方程:得y=k(x-1)+32，代入x24+y23=1得

(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(32-k)2-12=0，

設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF).因?yàn)辄c(diǎn)A(1，32)在橢圓上，所以

xE=4(32-k)2-123+4k2，yE=kxE+32-k.

又直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，可得

xF=4(32+k)2-123+4k2，yF=-kxF+32+k.

所以直線EF的斜率

kEF=yF-yExF-xE=-k(xF+xE)+2kxF-xE

=-k(4(32+k)2-123+4k2+4(32-k)2-123+4k2)+2k4(32+k)2-123+4k2-4(32-k)2-123+4k2

=12k24k=12.

即直線EF的斜率為定值，其值為12.

評(píng)注:解析幾何中的定值問題的證明或判斷，可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決，其證明過程可總結(jié)為“變量、函數(shù)、定值”.具體操作程序如下:

變量——選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

函數(shù)——把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù);

定值——把得到的函數(shù)解析式化簡，消去變量得到定值.

例2 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且F2到橢圓C的右準(zhǔn)線l的距離為1，點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF2交橢圓C于A，B兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)AF2=λF2B，AP=μPB，求證λ+μ為定值.

分析:本題的核心體現(xiàn)在動(dòng)點(diǎn)P上，動(dòng)點(diǎn)A，B隨著點(diǎn)P的變動(dòng)而變動(dòng)，因此，引入?yún)?shù)，即設(shè)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及向量共線條件，將λ+μ用參數(shù)表示.

解:(Ⅰ)由題意得ca=22，a2=b2+c2，a2c-c=1，解得a=2，b=1，c=1，所以橢圓C的方程為x22+y2=1.

(Ⅱ)因?yàn)橛覝?zhǔn)線l的方程為x=a2c=2，所以可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，m)，由(Ⅰ)知焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別(-1，0)，(1，0)，

所以直線PF2的方程為y=m(x-1).

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，

由y=m(x-1)，x22+y2=1，得(1+2m2)x2-4m2x+2m2-2=0，

于是x1+x2=4m21+2m2，x1x2=2m2-21+2m2.

AF2=λF2B，AP=μPB，得

(1-x1，-y1)=λ(x2-1，y2)，(2-x1，m-y1)=μ(x2-2，y2-m)，

于是λ=1-x1x2-1，μ=2-x1x2-2，

所以λ+μ=1-x1x2-1+2-x1x2-2=3(x1+x2)-2x1x2-4(x2-1)(x2-2).

因?yàn)?(x1+x2)-2x1x2-4=12m21+2m2-4m2-41+2m2-4=0，

所以λ+μ=0，即λ+μ為定值0.

評(píng)注:本題涉及向量坐標(biāo)運(yùn)算以及共線向量等向量的知識(shí)點(diǎn)，將平面向量知識(shí)融入純解析幾何的傳統(tǒng)題，使問題清晰自然.通過曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，將變量消去后得到定值是解析幾何中常用的方法.

類型二:定值是分離出來的

引入?yún)?shù)，但參數(shù)始終伴隨，這就需要我們將引入的參數(shù)(有時(shí)多個(gè))分離出來，令其系數(shù)為零，定值便會(huì)顯現(xiàn).

例3 如圖，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn).

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x0，0)，若當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，|PM|取得最大值與最小值，求x0的取值范圍;

(Ⅱ)若橢圓C上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，且與直線l:y=kx+m相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓的左右頂點(diǎn))，并滿足AA2⊥BA2.試研究:直線l是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

分析:(Ⅱ)中直線y=kx+m含有兩個(gè)參數(shù)，解題思路是利用條件AA2⊥BA2構(gòu)建k與m之間的等量關(guān)系，然后消去參數(shù)m或參數(shù)k(即將一個(gè)參數(shù)用另一個(gè)參數(shù)表示)，并代回原來直線方程中，將保留參數(shù)分離出來，定值便會(huì)顯現(xiàn).

解:(Ⅰ)設(shè)f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=c2a2x2-2x0x+x20+b2

對(duì)稱軸方程是x=a2x0c2，由題意a2x0c2≥a或a2x0c2≤-a或a2x0c2=0.

∴x0≥c2a或x0≤-c2a或x0=0，

∴x0∈(-∞，-c2a]∪{0}∪[c2a，+∞).

(Ⅱ)由已知與(Ⅰ)得:a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y=kx+m，x24+y23=1.

得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0，即3+4k2-m2>0，則

x1+x2=-8mk3+4k2，

x1#8226;x2=4(m2-3)3+4k2

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=3(m2-4k2)3+4k2，

因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為A2(2，0)，又AA2#8226;BA2=0，

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，

∴3(m2-4k2)3+4k2+4(m2-3)3+4k2+16mk3+4k2+4=0，

∴7m2+16mk+4k2=0.

解得:m1=-2k，m2=-2k7，且均滿足3+4k2-m2>0，

當(dāng)m1=-2k時(shí)，l的方程為y=k(x-2)，直線過定點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾;

當(dāng)m2=-2k7時(shí)，l的方程為y=k(x-27)，直線過定點(diǎn)(27，0).

所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(27，0).

評(píng)注:此類求直線過定點(diǎn)問題解題方向非常明確，一般是含兩個(gè)參數(shù)，根據(jù)條件給出的等量關(guān)系，通常將一個(gè)參數(shù)用含另一個(gè)參數(shù)式表示，即采用消元措施，使得直線方程中只含一個(gè)參數(shù)，將參數(shù)分離開，便可完成解題.

例4 已知定點(diǎn)C(-1，0)及橢圓x2+3y2=5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).

在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA#8226;MB為常數(shù)?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析:因?yàn)橹本€AB過定點(diǎn)，所以直線可設(shè)成點(diǎn)斜式，MA#8226;MB用只含斜率k代數(shù)式表示，只需將含有k的代數(shù)式完全分離出來，即MA#8226;MB與k無關(guān)時(shí)便可得出最值.

解:依題意，若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)，

將y=k(x+1)代入x2+3y2=5，消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則

Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0，

x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1.

假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m，0)，使MA#8226;MB為常數(shù).

①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，

MA#8226;MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)

=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.

又x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1.

∴MA#8226;MB=(6m-1)k2-53k2+1+m2=

(2m-13)(3k2+1)-2m-1433k2+1+m2



=m2+2m-13-6m+143(3k2+1).

注意到MA#8226;MB是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m+14=0，m=-73，此時(shí)MA#8226;MB=49.

②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-1，23)、(-1，-23)，

當(dāng)m=-73時(shí)，亦有MA#8226;MB=49.

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(-73，0)，使MA#8226;MB為常數(shù).

評(píng)注:尋求定值，分離參數(shù)是重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，即必需要將參數(shù)分離徹底，使得所取值與參數(shù)無關(guān)時(shí)，方可得出定值.

例5 已知圓O的方程為x2+y2=1，設(shè)圓O與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A(3，0)且與軸垂直的直線為l，直線PM交直線l于點(diǎn)P′，直線QM交直線l于點(diǎn)Q′.

求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

分析:點(diǎn)M是圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，可以引入兩個(gè)參數(shù)，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，將以P′Q′為直徑的圓用這兩個(gè)參數(shù)表示，只需分離出這兩個(gè)參數(shù)便可.

解:對(duì)于圓方程x2+y2=1，令y=0，得x=±1，即P(-1，0)，Q(1，0).又直線l過點(diǎn)A且與x軸垂直，∴直線l方程為x=3，設(shè)M(s，t)，則直線PM方程為y=ts+1(x+1)

解方程組x=3，y=ts+1(x+1)，得P′(3，4ts+1)同理可得Q′(3，2ts-1)，

∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為(x-3)(x-3)+(y-4ts+1)(y-2ts-1)=0，

又s2+t2=1，∴整理得(x2+y2-6x+1)+6s-2ty=0，

若圓C′經(jīng)過定點(diǎn)，只需令y=0，從而有x2-6x+1=0，解得x=3±22，

∴圓C′總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為(3±22，0).

評(píng)注:此題含有兩個(gè)參數(shù)，通常情況下是通過某個(gè)等量關(guān)系將其中一個(gè)參數(shù)用另一個(gè)參數(shù)表示，再分離出參數(shù)，但此題較特殊，即不容易將一個(gè)參數(shù)用另一個(gè)參數(shù)表示出來，所以只能將s與t整體分離出來，才能得出定值.

(作者:李洪洋，江蘇省東海高級(jí)中學(xué))