一道向量背景下的三角形問題的解法探究

問題如下:

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若AB#8226;AC|AB|=12，BA#8226;BC|AB|=32，求AB的長.

方法一:(等量轉(zhuǎn)化法)

先利用向量的數(shù)量積公式得:

AB#8226;ACAB=AC#8226;cosA=b#8226;cosA=12①

BA#8226;BCAB=BC#8226;cosB=a#8226;cosB=32②

再利用正弦定理可得:2R#8226;sinB#8226;cosA=122R#8226;sinA#8226;cosB=32將兩式相加可得:2R#8226;sin(A+B)=2

∴2R#8226;sinC=c=2

即AB=2

點評:此解法先充分利用向量的數(shù)量積公式進行化簡，再利用正弦定理巧妙地把三角形中角的問題轉(zhuǎn)化為邊的問題，從而問題得解.

方法二:(消參法)

前面化簡同解法一，得到b#8226;cosA=12，a#8226;cosB=32后，再利用余弦定理得:

b#8226;b2+c2-a22bc=12，a#8226;a2+c2-b22ac=32化簡得:

b2+c2-a2=ca2+c2-b2=3c，將a、b看做參數(shù)，兩式相加即可消去參數(shù)，從而得到:

2c2=4c，由此得:∴c=2或c=0(舍去)

∴AB=2

點評:此解法前半部分屬常規(guī)解法，但后半部分解法精妙，通過消參直接得到解答，解法獨到，回味悠長.

方法三:(構(gòu)造法)

前面化簡同解法一，得到b#8226;cosA=12，a#8226;cosB=32后，如圖，作△ABC中AB邊上的垂線CD，垂足為D，構(gòu)造Rt△ADC和Rt△BDC，則

在Rt△ADC中，AD=AC#8226;cosA=b#8226;cosA=12，

在Rt△ADC中，BD=BC#8226;cosB=a#8226;cosB=32，

相加即得AD+BD=AB=12+32=2

點評:通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，充分利用解直角三角形的知識解答，運算量小.

方法四:(向量法)

將已知條件中的兩式相加可得:

AB#8226;AC|AB|+BA#8226;BC|AB|=2，

由此進一步可得:AB#8226;(AC+CB)AB=AB#8226;ABAB=AB=2

∴AB=2

點評:本題充分利用向量的加法及數(shù)量積運算法則，直接將向量問題一步轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，方法巧妙簡練，運算量小.

通過本題以上幾種解法的探究，可看出，對平面向量中的解三角形問題，只要充分利用好向量運算法則和解三角形的相關(guān)定理(正余弦定理及三角形面積公式)及知識，通過認真思考，總可以找到比較簡潔的解法.

(作者:張自鶴，甘肅省臨澤縣第一中學(xué))