等差數列求和公式的變形及其應用

等差數列前n項和公式應用廣泛，是中學數學中重要公式之一.下面結合例題談談等差數列求和公式的變形及其應用.

一、Sn=An2+Bn的應用

由Sn=na1+n(n-1)2d，變形得Sn=d2n2+a1-d2n，即Sn=An2+Bn.

例1 等差數列{an}中，S10=100，S20=300，求S30.

分析 把表達式Sn=An2+Bn看作函數，已知n=10和n=20的函數值，代入即可求出A、B的值;S30就是n=30的函數值.

解 由Sn=An2+Bn及S10=100，S20=300，得100A+10B=100，400A+20B=300.∴A=12，B=5.∴S30=900×12+30×5=600.

評注 數列是一種特殊的函數，等差數列前n項和的表達式是形如Sn=An2+Bn的形式，而等差數列的通項公式是形如an=pn+q的形式.

二、S2n-1=(2n-1)an的應用

在等差數列{an}中，an=a1+a2n-12=a1+a2n-12×(2n-1)×12n-1，而S2n-1=(a1+a2n-1)(2n-1)2，因此得S2n-1=(2n-1)an.

例2 等差數列{an}中，設前n項和為Sn，且SmSn=m2-2mn2-2n(m≠2，n≠2)，求aman的表達式.

分析 由SmSn=m2-2mn2-2n，利用S2n-1=(2n-1)an即可求出aman的表達式.

解 由S2n-1=(2n-1)an，得an=S2n-12n-1.∴aman=S2m-12m-1S2n-12n-1=(2m-1)[(2m-1)-2]2m-1(2n-1)[(2n-1)-2]2n-1=2m-32n-3.

評注 公式S2n-1=(2n-1)an是由an是a1與a2n-1是等差中項推出的.不要死記公式，用時推出即可.

三、等差數列{an}有2n-1項，則S奇-S偶=an，S奇S偶=nn-1.

利用等差數列的性質:p+l=m+n(p，l，m，n∈N*)，則ap+al=am+an.可得到以上兩個公式.

例3 項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求項數及其中間項.

分析 利用上面的公式就可求出項數及其中間項.

解 設中間項為an，由奇數項之和為44，偶數項之和為33，得44-33=an，∴an=11;4433=nn-1，∴n=4.∴2n-1=7.因此，此數列有7項，中間項為11.

評注 等差數列{an}有2n項時，有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd;S奇S偶=anan+1.

四、設等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，則ambn=2n-12m-1#8226;S2m-1T2n-1.

因為{an}和{bn}都是等差數列，而ambn=(a1+a2m-1)2(b1+b2n-1)2=2n-12m-1#8226;(2m-1)(a1+a2m-1)2(2n-1)(b1+b2n-1)2，所以ambn=2n-12m-1#8226;S2m-1T2n-1.這是兩個等差數列中的項與和之間的關系.

例4 設等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和S/n，且SnS/n=4n+19n+3，求它們第20項之比a20b20.

分析 這類題，實際上是求和問題的逆問題.顯然是以上公式中m=n時的情況，代入求解即可.

解 a20b20=S39S/39=4×39+19×39+3=157354.

評注 利用公式解題時，一定要注意an的下標與Sk的下標的關系，一般情況下，它們不是相等的.

五、正確理解Sn、S2n及S3n的關系

一般地，在等差數列中，Sn、S2n及S3n不成等差數列.由等差數列的性質可知:A=a1+a2+…+an，B=an+1+an+2+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+…+a3n成等差數列.

例5 等差數列{an}的前m項之和為30，前2m項之和為100，則它的前3m項之和為 .

分析 把條件適當變形，利用上面得到的等差數列的性質求解.

解 設等差數列{an}的前m項之和為Sm，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數列.∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm)，即S3m=3(S2m-Sm)=210.

評注 解此題容易犯的錯誤是，誤認為Sm、S2m及S3m成等差數列，求得S3m=170.

六、整體求和法

有些求和問題，可以通過整體的適當變形求解.

例6 設數列{an}是公差為-2的等差數列，如果a1+a4+a7+…+a97=50，則a3+a6+a9+…+a99= .

分析 觀察條件和a3+a6+a9+…+a99的關系，利用等差數列通項公式，把a3+a6+a9+…+a99用公差和a1+a4+a7+…+a97=50表示，即可求解.

解 a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+a7+…+a97)+66d=50+66×(-2)=-82.

評注 整體求和，思路清晰、過程簡捷.

以上求和公式都是由等差數列的通項公式、前n項和公式及等差數列的性質，經過適當的變形得到的.由以上例題可知，根據條件，把公式適當變換形式后再使用，可簡化解題過程，使問題易于解決.

(作者:秦振，山東省棗莊市第九中學)