2010年江蘇高考數學模擬試卷(9)

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，合計70分.請把答案直接填寫在答題紙相應位置上.

1.已知A=x|x2<4，B=x|x>1，則集合A∩B= .

2.已知命題p:x∈R，cosx≤1，則p命題是 .

3.已知復數z滿足z(1-2i)=5(i為虛數單位)，則z= .

4.已知sinα=110，cosβ=25，且α，β均為銳角，則α+β= .

5.根據如圖所示的偽代碼，估計A的值為= (其中“Rnd”為產生0，1之間隨機數的函數)

S←0

For I from 1 to10000

x←Rnd

y←Rnd

Ifx2+y2<1 Then S←S+1

EndFor

A←S/10000

Print A

6.如圖所示的折線表示某汽車在20秒內的速度變化情況，則該汽車在20秒內的平均速度為 (m/s).

7.函數y=exsinx在點(0，0)處的切線方程為 .

8.設Sn是等差數列前n項的和，Sn=Sm≠0，且m≠n，則Sm+n= .

9.函數y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖像與直線y=1交點距離的最小值為π，則ω= .

10.拋物線y2=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且AF=2BF，則A點的坐標為 .

11.若實數x，y滿足x2+y2+2x-2y+1=0，則2y-2x-1的最小值為 .

12.設向量a，b滿足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，則|3a+b|= .

13.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .

14.一般地，在數列{an}中，如果存在非零常數T，使得am+T=am對任意正整數m均成立，那么就稱{an}為周期數列，其中T叫做數列{an}的周期.已知數列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2，n∈N*)，如果x1=1，x2=a，(a≤1，a≠0)，設S2009為其前2009項的和，則當數列{xn}的周期為3時，S2009= .

二、解答題:本大題共6小題，15-17每題14分，18-20每題16分，共計90分.請在答題紙指定的區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，其中ω是使f(x)能在x=π3處取得最大值時的最小正整數.

(Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)設△ABC的三邊a，b，c滿足b2=ac且邊b所對的角θ的取值集合為A，當x∈A時，求f(x)的值域.

16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中點，F是C1C上一點，且CF=2，E是AA1上一點，且AE=2.

(Ⅰ)求證:B1F⊥平面ADF;

(Ⅱ)求證:BE∥平面ADF.

17.某個體運輸戶購買某種汽車的第n天，花費的維護保養(yǎng)費和油費為(n+300)元人民幣，若買車和辦牌照的費用為60萬元人民幣，問買車后的第幾天(從買車后的第二天算起)該個體運輸戶每天平均用車的總費用最低?每天平均用車的總費用最低為多少元?(參考數據2=1.414，3=1.732，5=2.236結果精確到個位)

18.若橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(2，1)，離心率為22，F1，F2分別為其左、右焦點.(Ⅰ)若點P與F1，F2的距離之比為13，求直線x-2y+3=0被點P所在的曲線C2截得的弦長;(Ⅱ)設A1，A2分別為橢圓C1的左、右頂點，Q為C1上異于A1，A2的任意一點，直線A1Q交C1的右準線于點M，直線A2Q交C1的右準線于點N，求證MF2⊥NF2.

19.等差數列{an}的首項和公差都是23，記{an}前n項和為Sn.等比數列{bn}各項均為正數，公比為q，記{bn}的前n項和為Tn.

(Ⅰ)寫出Si(i=1，2，3，4，5)構成的集合A;

(Ⅱ)若q為正整數，問是否存在大于1的正整數k，使得Tk，T2k同時為集合A中的元素?若存在，寫出所有符合條件的{bn}的通項公式;若不存在，請說明理由;

20.已知函數f(x)=2x+1定義在R上.

(Ⅰ)若f(x)可以表示為一個偶函數g(x)與一個奇函數h(x)之和，設h(x)=t，p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R)，求出p(t)的解析式;

(Ⅱ)若p(t)≥m2-m-1對于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范圍;

(Ⅲ)若方程p(p(t))=0無實根，求m的取值范圍.

附加題部分

21.[選做題]在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

A.選修4—1:幾何證明選講

設PC為⊙O的切線，點C為切點，割線PBA經過圓心O，CM⊥PA，且交PA于M，

求證:AMMB=APPB.

B.選修4—2:矩陣變換.

已知圓C:x2+y2=1在矩陣A=a00b(a>0，b>0)對應的伸壓變換下變?yōu)闄E圓x2+y24=1.試求a，b的值.

C.選修4-4:坐標系與參數方程.

已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，M是曲線C上的動點.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為x=-4+t，y=3-t.(t為參數)，求點M到直線l距離的最小值.

D.選修4-5:不等式選講

已知f(n)=1+12+13+…+1n.(n∈N*)

求證:f(3n)-f(n)<2.

22.必做題，本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP=m.

(1)試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60°;

(2)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q⊥AP，并證明你的結論.

23.必做題，本小題10分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

某電器商經過多年的經驗發(fā)現本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列為:P(ξ=i)=112(i=1，2，…，12);設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元.

如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元.問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使月平均收益最大?

參考答案

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，合計70分.

1.(1，2)

2.x∈R，cosx>1

3.1+2i

4.π4

5.π4;

6.69

7.x-y=0

8.0

9.23

10.(2，22)，(2，-22);

11.3-22

12.23

13.2

14.1340.

二、解答題:本大題共6小題，共計90分.

15.解:(Ⅰ)f(x)=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-(1+cosωx)

=2(32sinωx-12cosωx)-1=2sin(ωx-π6)-1

由題意得ωπ3-π6=2kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+2，k∈Z

當k=0時，最小正整數ω的值為2，故ω=2.

(Ⅱ)因b2=ac且b2=a2+c2-2accosθ

則2cosθ+1=ac+ca≥2當且僅當ac=ca，a=c時，等號成立

則cosθ≥12，又因θ∈(0，π)，則0<θ≤π3，即A={x|0

由①知:f(x)=2sin(2x-π6)-1

因0

-2

16.(Ⅰ)證明:因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC，

又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC，所以又BC∩BB1=B，

所以AD⊥平面BCC1B1，B1F平面BCC1B1，

所以AD⊥B1F，

在矩形BCC1B1中，C1F=CD=1，CF=C1B1=2，

所以Rt△DCFRt△FC1B1，所以∠CFD=∠C1B1F，

所以∠B1FD=90°，所以B1F⊥FD，又AD∩FD=D，

所以B1F⊥平面ADF.

(Ⅱ)連結EF，EC，設EC∩AF=M，連結DM

因為AE=CF=2，又AE∥CF，AC⊥AE，所以四邊形AEFC是矩形，

所以M為EC中點，又D為BC中點，所以MD∥BE

因為MD平面ADF，BE平面ADF，所以BE∥平面ADF.

17.解:設買車后的第n天花費的總費用最低，則買車后的第n天花費的維護保養(yǎng)費和油費為:(1+300)+(2+300)+…+(n+300)=300n+(1+2+3+…+n)

=[300n+n(n+1)2](元)

又買車和辦牌照的費用為600000元，所以總費用為[600000+300n+n(n+1)2]元，

設買車n天后每天平均用車費為y元，則y=600000+n(n+1)2+300nn

=600000n+n2+12+300≥2600000n#8226;n2+12+300≈1395.214+0.5≈1395.71，

當且僅當600000n=n2，即n≈1095.21時取等號.

當n≥1095.45時y=600000n+n2+12+300為增函數，

當0

當n=1095時，y=1395.95≈1396;n=1096時，y=1395.95≈1396.

所以n=1095，或n=1096.所以買車后的第1095天或第1096天，每天平均用車總費用最低;每天平均用車總費用最低為1396元.

18.(Ⅰ)解:因為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(2，1)，

所以4a2+1b2=1.⑴

又其離心率為22，所以ca=22，c2a2=12，a2-b2a2=12，b2a2=12，

所以b2=12a2⑵把⑵代入⑴，得a2=6.⑶

把⑶代入⑵，得b2=3.

所以橢圓C1的方程為x26+y23=1，其焦點在x軸上.又c=a2-b2=6-3=3，

所以其左右焦點的坐標分別為F1(-3，0)，F2(3，0).

設點P的坐標為P(x，y)，由已知條件得(x+3)2+y2(x-3)2+y2=13，

化簡，得2x2+2y2+53x+6=0.

所以點P所在的曲線C2的方程為2x2+2y2+53x+6=0，

即(x+534)2+y2=(334)2.曲線C2為圓，圓心坐標為O′(-534，0)，半徑r=334.

設圓心O′到直線x-2y+3=0的距離為d，則d=-534-0+33=14

所以直線x-2y+3=0被曲線C2所截弦長為2×(334)2-(14)2=262

(Ⅱ)設Q(x0，y0)(y0≠0)，由(Ⅰ)的結論可知A1(-6，0)，A2(6，0)，F2(3，0)，橢圓C1右準線方程為x=23.所以直線A1Q的方程為y=y0x0+6(x+6).

令x=23，則y=y0(23+6)x0+6，所以點M的坐標為M(23，y0(23+6)x0+6).

同理可得點N的坐標為N(23，y0(23-6)x0-6).

因為點Q(x0，y0)(y0≠0)在橢圓C1上，

所以x206+y203=1，即x20+2y20=6，x20-6=-2y20.

因為直線MF2的斜率k1=y0(23+6)x0+623-3，即k1=y0(23+6)3(x0+6).

又直線NF2的斜率k2=y0(23-6)x0-623-3，即k2=y0(23-6)3(x0-6).

因為k1#8226;k2=y0(23+6)3(x0+6)#8226;y0(23-6)3(x0-6)=6y203(x20-6)=2y20x20-6

又x20-6=-2y20，y0≠0，

所以k1#8226;k2=2y20-2y20=-1.所以MF2⊥NF2.

19.解:(Ⅰ)因為等差數列{an}共有5項，首項和公差都是23，

所以a1=23，d=23，an=23+(n-1)#8226;23=23n，

Sn=n(23+2n3)2=n(n+1)3，又1≤n≤5，所以A=23，2，4，203，10;

(Ⅱ)因為{bn}是等比數列，且bn>0，q∈N*，Tn為{bn}的前n項的和，

所以Tn=nb1(q=1)，b1(1-qn)1-q(q≠1).

若存在大于1的正整數k，使Tk，T2k同時為集合A的元素，

則當q=1時，Tn=kb1，T2k=2kb1，

因為T2kTk=2，所以Tk=2，T2k=4.，kb1=2.又k>1，所以b1=2k(k>1，k∈N).

所以bn=2k(n>1，n∈N).

當q≠1時，Tk=b1(1-qk)1-q，T2k=b1(1-q2k)1-q，T2kTk=1+qk.

因為q>1且q∈N，所以qk≥2.

則Tk=23，T2k=2;或Tk=23，T2k=4;或Tk=23，T2k=203;或Tk=23，T2k=10;或Tk=2，T2k=4;或Tk=2，T2k=10.

若Tk=23，T2k=2;，則1+qk=3，qk=2，因為q≥2，k>1，所以qn=2無解;

若Tk=23，T2k=4;則1+qk=6，qk=5，因為q∈N，所以qn=5無解;

若Tk=23，T2k=203;則1+qk=10，qk=9，則q=3，k=2.

所以b1(1-32)1-3=23，b1=16，bn=16×3n-1=12×3n-2;

若Tk=23，T2k=10;則1+qk=15，qk=14，因為q∈N，所以qn=14無解;

若Tk=2，T2k=4;則1+qk=2，qk=1，因為q∈N，q>1，所以qn=1無解;

若Tk=2，T2k=10;則1+qk=5，qk=4，則q=2，k=2.

所以b1(1-22)1-2=2，b1=23，bn=23×2n-1=13×2n.

綜上所述，存在符合條件的數列{bn}，其通項公式為bn=2k(n>1，n∈N)，

bn=12×3n-2，bn=13×2n.

20.解:(Ⅰ)假設f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)偶函數，h(x)為奇函數，則有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)②，

由①②解得g(x)=f(x)+f(-x)2，h(x)=f(x)-f(-x)2.

∵f(x)定義在R上，∴g(x)，h(x)都定義在R上.

∵g(-x)=f(-x)+f(x)2=g(x)，h(-x)=f(-x)-f(x)2=-h(x).

∴g(x)是偶函數，h(x)是奇函數，

∵f(x)=2x+1，

∴g(x)=f(x)+f(-x)2=2x+1+2-x+12=2x+12x，

h(x)=f(x)-f(-x)2=2x+1-2-x+12=2x-12x.

由2x-12x=t，則t∈R，

平方得t2=(2x-12x)2=22x+122x-2，∴g(2x)=22x+122x=t2+2，

∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1.

(Ⅱ)∵t=h(x)關于x∈[1，2]單調遞增，∴32≤t≤154.

∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1對于t∈32，154恒成立，

∴m≥-t2+22t對于t∈32，154恒成立，

令φ(t)=-t2+22t，則φ′(t)=12(2t2-1)，

∵t∈32，154，∴φ′(t)=12(2t2-1)<0，故φ(t)=-t2+22t在t∈32，154上單調遞減，

∴φ(t)max=φ(32)=-1712，∴m≥-1712為m的取值范圍

(Ⅲ)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1，

若p(p(t))=0無實根，即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1①無實根，

方程①的判別式Δ=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1).

1°當方程①的判別式Δ<0，即m<1時，

方程①無實根.

2°當方程①的判別式Δ≥0，即m≥1時，

方程①有兩個實根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±m(xù)-1，

即t2+2mt+m2+1±m(xù)-1=0②，

只要方程②無實根，故其判別式Δ2=4m2-4(m2+1±m(xù)-1)<0，

即得-1-m-1<0③，且-1+m-1<0④，

∵m≥1，③恒成立，由④解得m<2，

∴③④同時成立得1≤m<2.

綜上，m的取值范圍為m<2.

附加題部分

[選做題]

21.證明:連結AC，則∠CAB=∠BCP，

因為∠APC=∠CPB，所以△APC∽△CPB

所以ACBC=PCPB=APCP

因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，又CM⊥AB，由射影定理知，

AC2=AM#8226;AB，BC2=BM#8226;BA.

所以AMBM=AM#8226;ABBM#8226;BA=AC2BC2=ACBC#8226;ACBC=PCPB#8226;APCP=APPB.

B.解:設P(x0，y0)為圓C上的任意一點，在伸壓變換下變?yōu)榱硪粋€點，

則x′0y′0=a 00 bx0y0，所以x′0=ax0，y′0=by0.所以x0=x′0a，y0=y′0b.

又點P(x0，y0)在圓C:x2+y2=1上，所以

所以，即x2a2+y2b2=1.

由已知條件可知，橢圓方程為x2+y24=1，

所以a2=1，b2=4.因為a>0，b>0，所以a=1，b=2.

C.解:因為ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，

所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1.

又直線l的參數方程為x=-4+t，y=3-t.所以直線l的普通方程為x+y+1=0.

所以點M到直線l距離的最小值為1+0+12-1=2-1.

D.證明:因為f(n)=1+12+13+…+1n.(n∈N*)

所以f(3n)=1+12+13+…+1n+1n+1…+13n，

f(3n)-f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+…+13n，

又1n+k<1n，(k∈N*)

所以f(3n)-f(n)<1n+1n+…+1n2n個=2nn=2.

[必做題]

22.解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，

B1(1，1，2)，D1(0，0，2).

所以BD=(-1，-1，0)，BB1=(0，0，2)，

AP=(-1，1，m)，AC=(-1，1，0).

又由AC#8226;BD=0，AC#8226;BB1=0知AC為平面BB1D1D的一個法向量.

設AP與面BDD1B1 所成的角為θ，

則sinθ=cosπ2-θ=|AP#8226;AC||AP|#8226;|AC|=22#8226;2+m2=32，解得m=63.故當m=63時，直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.

(2)若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，

則Q(x，1-x，2)，D1Q=(x，1-x，0).

依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價于

D1Q⊥APAP#8226;D1Q=0-x+(1-x)=0x=12

即Q為A1C1的中點時，滿足題設的要求.

23.解:設x為電器商每月初購進的冰箱的臺數，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況.

設電器商每月的收益為y元，

則y是隨機變量ξ的函數，且y=300x，(ξ≥x)，300ξ-100(x-ξ)，(ξ

于是電器商每月獲益的平均數，即為數學期望

Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+[300-100(x-1)]P1+[2×300-100(x-2)]P2

+…+[(x-1)×300-100]Px-1=300x(12-x+1)#8226;112+112[300#8226;x(x-1)2-100#8226;(x-1)x2]

=253(-2x2+38x).

因為x∈N*，所以當x=9或x=10時，數學期望最大.

答:電器商每月初購進9臺或10臺電冰箱，收益最大，最大收益為1500元.