整體換元在數(shù)學解題中的應用

任何一道數(shù)學問題，都是由一些基本要素組成，各基本要素之間相互關聯(lián)、相互制約，形成一個有機的整體.我們在研究數(shù)學問題時，目光不能只局限于問題的各個組成部分，而要有意識地放大考察問題的視角，將需要解決的問題中貌似獨立但實質上又相互聯(lián)系的量看作一個整體，研究問題的整體形式、整體結構和整體功能，全面理解題意，在動態(tài)分析中尋找解決問題的整體思路和途徑，這就是整體思想方法.在具體解題時，為了化繁為簡、化難為易，促使問題順利解決，常常需要把某個式子看作一個整體，看作一個新的變元，用一個字母去替代它，實行變量替換，從而使問題得到解決，這就是換元法.在分析、探索一些數(shù)學問題的解題途徑時，我們可根據(jù)問題的特點，將整體思想方法與換元法結合起來，對問題進行整體觀察、整體變形、整體配對、整體換元、整體代入，從而使問題能夠簡捷、明快地獲得解決，這就是整體換元的思想方法.下面通過一些具體的例子，對整體換元的思想方法在數(shù)學解題中的應用略加闡述.

一、整體換元在函數(shù)中的應用

例1 已知函數(shù)f(x)的值域是[38，49]，求函數(shù)y=f(x)+1-2f(x)的值域.

解:設1-2f(x)=t，則f(x)=1-t22，∵f(x)∈[38，49]，∴t∈[13，12]，于是y=f(x)+1-2f(x)=-12t2+t+12，(t∈[13，12])，容易求得y∈[79，78].

評注:本題中將1-2f(x)看成一個整體，設為新變元t，從而將比較復雜的無理函數(shù)的值域求法，轉化為簡單的二次函數(shù)值域求法.

例2 已知函數(shù)f(x)=x+1x-x+1x+1，(x>0)，試求f(x)的最大值.

解:設t=x+1x+x+1x+1，則t≥2+3，(當且僅當x=1時，取“=”).∵t#8226;f(x)=1，且t≥2+3，∴0

評注:此題若直接考慮，會感到無從入手，但是從整體角度出發(fā)，引入一個新變元t=x+1x+x+1x+1進行整體配對，則問題輕松得到解決.

二、整體換元在不等式中的應用

例3 解不等式:2x+5>x+1.

解:設t=2x+5，則x=t22-52，于是原不等式可化為t>t22-52+1，整理得t2-2t-3<0，解得-1

評注:引入新變元t后，將無理不等式化為有理不等式，可以避開直接解無理不等式時分類討論的麻煩.

例4 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當-1≤x≤1時，f(x)≤1，求證:(1)c≤1，(2)-1≤x≤1時，g(x)≤2.

證明:(1)令x=0，由已知f(x)≤1，可得c≤1.

(2)∵x=(x+1)2-(x-1)24，∴g(x)=ax+b=a[(x+12)2-(x-12)2]+b(x+12-x-12)=[a(x+12)2+b(x+12)+c]-[a(x-12)2+b(x-12)+c]=f(x+12)-f(x-12)，∵-1≤x≤1時，有0≤x+12≤1，-1≤x-12≤0，則根據(jù)絕對值不等式的性質得f(x+12)-f(x-12)≤f(x+12)+f(x-12)≤2，即g(x)≤2.

評注:本題第(2)小題的解答，運用了整體思想，找出了g(x)與f(x)的關系，避免了分類討論(常規(guī)解法是對a>0，a=0，a<0三種情況分類討論)，從而大大簡化了解題過程.

三、整體換元在三角中的應用

例5 已知0

解:令sinx+cosx=t，則sinxcosx=t2-12，于是y=(1+sinx)(1+cosx)=sinxcosx+sinx+cosx+1=12t2+t+12=12(t+1)2∵0

評注:本題中把sinx+cosx看成一個新變元t，利用整體代換，將函數(shù)式化成了關于t的二次函數(shù)，使得問題得到解決.事實上sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx三者之間有著內(nèi)在的必然聯(lián)系，通過整體換元，可以將它們統(tǒng)一.

例6 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

解:設A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°，A-B=-12-sin70°，從而可得A=34.

評注:本題通過整體觀察式子的結構特點，整體地構造了一個對偶式cos220°+sin250°+cos20°sin50°，使得問題獲得了簡捷的解決.

四、整體換元在數(shù)列中的應用

例7 等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為 

解:∵Sm=a1+…+am，S2m-Sm=am+1+…+a2m，S3m-S2m=a2m+1+…+a3m，又a1，a2，…，a3m成等差數(shù)列，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差數(shù)列，∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m，整理得S3m=3(S2m-Sm)=3(100-30)=210.

評注:很多數(shù)列問題，若分開求解往往運算麻煩或解題思路不明，若通過對問題的整體結構進行分析，然后整體換元，?？珊喕忸}過程，減少運算量.下面的幾道習題都是這樣，請同學們練習.

練習1:等比數(shù)列的前n項和為2，前2n項和為12，若n為偶數(shù)，再求前3n項和.

答案:62.

練習2:已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5.

答案:5.

練習3:等差數(shù)列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.

答案:-110.

練習4:一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項與奇數(shù)項和之比為32:27，求公差d的值.

答案:5.

練習5:已知等差數(shù)列{an}的公差d=1，且a1+a2+a3+…+a98=137，求a2+a4+a6+…+a98的值.

答案:93.

練習6:已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若SnTn=2n+13n+2，試求a9b9的值.

答案:3553.

五、整體換元在立體幾何中的應用

例8 長方體的全面積為11，所有棱長之和為24，求長方體的一條對角線長.

解:設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則有2(ab+bc+ac)=114(a+b+c)=24，將它們整體代入長方體的對角線長公式l=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)中可得l=5.

評注:本題在解答的過程中運用了整體思想，不必計算出a，b，c的值，就可以把問題輕松解決.

六、整體換元在解析幾何中的應用

例9 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P(x0，0)，求證:-a2-b2a

證明:設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為(x′，y′)，則x1+x2=2x′y1+y2=2y′，由b2x21+a2y21=a2b2b2x22+a2y22=a2b2可得b2(x2-x1)(x2+x1)+a2(y2-y1)(y2+y1)=0，所以有-x2-x1y2-y1=a2y′b2x′，即AB中垂線的斜率為a2y′b2x′，所以AB中垂線的方程為y-y′=a2y′b2x′(x-x′)，令y=0得x0=a2-b2a2x′，因為-a

評注:對于有些解析幾何問題，若分開討論往往運算量大，如果注意到其整體結構特點，設法通過整體換元將問題變形轉化，以達到避免一些不必要的運算，降低求解難度.其中“設而不求”是整體思想方法的最大體現(xiàn).

(作者:周淦利，江蘇省泰州市第三高級中學)