函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用

函數(shù)與方程、不等式是通過函數(shù)值等于、大于或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，因此函數(shù)與方程思想是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程的基本數(shù)學(xué)思想.

例1 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為14的等差數(shù)列，則m-n等于 

分析:只要求出m，n即可，要求m，n需要兩個(gè)方程，直接求方程有一定困難，而題中已知的是方程的四個(gè)根的情況，由韋達(dá)定理知，方程的根與m，n有關(guān)系，故必須設(shè)出四個(gè)根.

解 設(shè)方程x2-2x+m=0的根為x1，x2，方程x2-2x+n=0的根為x3，x4，則

x1+x2=2x1x2=mx3+x4=2x3x4=n不妨設(shè)x1=14，則有x3=34，x4=54，x2=74

∴m=716，n=1516，即m-n=12

回顧:本題的解法貫穿著方程思想.當(dāng)直接求未知數(shù)出現(xiàn)困難時(shí)，通過列方程或方程組，甚至考慮引進(jìn)新的未知量，列方程或方程組來解決問題是極常用的思路和策略.

例2 等差數(shù)列{an}，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，a1，a3，ak1，ak2，ak3…，akn成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.

分析:通常一個(gè)等差數(shù)列需要兩個(gè)量才能確定，以方程思想理解，即要兩個(gè)獨(dú)立的等量關(guān)系，而題中只有“a2是a1與a4的等比中項(xiàng)”一個(gè)等量關(guān)系，因此，數(shù)列{an}不確定.但從函數(shù)思想角度，可以通過建立未知量與{an}的關(guān)系，來解決問題.

解 由題意知，又d≠0，∴a1=d.

又a1，a3，ak1，ak2，ak3…，akn成等比數(shù)列，

故該數(shù)列的公比為q=a3a1=3，akn=a1#8226;3n+1.

又在等差數(shù)列中有akn=a1+(kn-1)d，∴a1#8226;3n+1=a1+(kn-1)d，∴kn=3n+1

回顧:本題解完后看起來不難，但是一開始可能會對題意理解不清或產(chǎn)生錯(cuò)誤.題意是從等差數(shù)列中抽取一部分項(xiàng)組成等比數(shù)列，關(guān)鍵是搞清楚等比數(shù)列中的akn的雙重身份，即等差數(shù)列的第kn項(xiàng).這樣就可以準(zhǔn)確地把握整個(gè)問題，將其中變量的關(guān)系疏理清楚，通過等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的關(guān)系列出相關(guān)等式.

例3 在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1(1，2)，P2(2，22)，…，Pn(n，2n)，n為正整數(shù)，平面上任意一點(diǎn)A0，記A1為A0關(guān)于P1的對稱點(diǎn)，A2為A1關(guān)于P2的對稱點(diǎn).

(1)求向量A0A2的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動時(shí)，點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖像，其中f(x)是以3為周期的函數(shù)，且x∈(0，3]時(shí)，f(x)=lgx，求以曲線C為圖像的函數(shù)在(1，4]上的解析式;

解:(1)設(shè)A0(x，y)，則A1(2-x，4-y)，所以A1關(guān)于P2的對稱點(diǎn)得坐標(biāo)為A2(2+x，4+y).故A0A2=(2，4)

(2)設(shè)曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，則g(x)=g(x+3)，

由A0A2=(2，4)可知g(x)的圖像由f(x)的圖像向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到即當(dāng)x∈(-2，1]時(shí)，g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2)-4

于是當(dāng)x∈(1，4]時(shí)x-3∈(-2，1]，g(x)=g(x-3)=lg(x-1)-4.

回顧:本題信息量大而雜，合理地組合有關(guān)條件和目標(biāo)是成功解題的關(guān)鍵.運(yùn)動變化、集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)等函數(shù)與方程的思想，為理清問題，抽象數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的思路起到了關(guān)鍵的作用.

總之，在解題中，充分、合理地運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法，會產(chǎn)生意想不到的效果.

(作者:蔣國棟，江蘇省黃橋中學(xué))