“兩法”速解向量題

平面向量集數(shù)與形于一身，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn).處理向量有關(guān)問題時，我們可從兩個方面切入，一是尋找與挖掘向量對應(yīng)圖形，借助圖形的豐富的幾何性質(zhì)與直觀性將問題轉(zhuǎn)化;二是利用條件中或隱含的垂直關(guān)系建立直角坐標(biāo)系，將圖形量化后求解，即將向量坐標(biāo)化.下面舉例分析.

一、幾何法——以形助數(shù)

例1 (2009全國卷I文8)設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|，a+b=c，

則= 

解析:設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，由向量加法的平行四邊形法則，知OA，OB可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且菱形OACB對角線OC長等于菱形的邊長，故∠AOB=120°.

評注:本題雖可以將a+b=c平方，利用向量數(shù)量積也不難求解，而利用向量加法，借助平行四邊形法則，善用菱形幾何性質(zhì)，問題可快速獲解.

例2 (2008浙江卷9)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)#8226;(b-c)=0，則c的最大值是 

解析:利用數(shù)形結(jié)合，不妨設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，則a-c=-AC，b-c=-BC，由(a-c)#8226;(b-c)=0知，AC⊥BC，可知點C在以AB為直徑的圓上，如下圖，OC的最大值是該圓的直徑，又OA=OB=1，則AB=2，故c的最大值是2.

評注:向量中出現(xiàn)兩個向量數(shù)量積等于零，易聯(lián)想到直線垂直，根據(jù)圓的直徑所對圓周角是直角的特征來構(gòu)造圓，巧妙新穎，解題過程變得直觀而簡捷.

例3 已知向量OB=(2，0)，OC=(2，2)，CA=(2cosα，2sinα)，則OA與OB夾角的取值范圍是 

解析:因CA的終點A在以C(2，2)為圓心，2為半徑的圓上.OA1，OA2是圓的兩條切線，Rt△OCA1中，OC=22，CA=2，則∠COA1=∠COA2=π6，因∠COB=π4，則∠A1OB=π4-π6=π12，∠A2OB=π4+π6=5π12，故OA與OB夾角的取值范圍是[π12，5π12].

評注:由cos2α+sin2α=1進(jìn)而聯(lián)想到圓，在得到A的軌跡是圓，借助圓豐富的幾何性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化到圓中解決，簡單易操作.

二、坐標(biāo)法—以數(shù)解形

例4 (2009湖南15)如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一塊，若AD=xAB+yAC，則x= ，y= 

解析:以AB，AC所在的直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=DE=2，過點D做DF⊥x軸于點F.則AB=AC=2，BD=3，又∠DBF=45°，

則BF=DF=3×22=62，

故AB=(2，0)，AC=(0，2)

AD=(2+62，62)，因AD=xAB+yAC，

可得x=1+32，y=32.

評注:由直角三角形，易想到建立直角坐標(biāo)系，讓向量坐標(biāo)化，只要求出A，B，C，D的坐標(biāo)，問題便迎刃而解.

例5 (2009天津15)若等邊△ABC的邊長為23，平面內(nèi)一點M滿足CM=16CB+23CA，則MA#8226;MB= 

解:以BC的中點O為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0，3)，B(-3，0)，C(3，0)，設(shè)M(x，y)，

則CA=(-3，3)，CB=(-23，0)，CM=(x-3，y)，

由CM=16CB+23CA，可得x=0，y=2，則MA=(0，1)，MB=(-3，-2)，

故MA#8226;MB=-2

評注:由等邊△ABC，利用其對稱性，通常是以底邊的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，這樣比較方便，易于求A，B，C坐標(biāo).向量坐標(biāo)化的關(guān)鍵是適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，并使給出向量(或點)的坐標(biāo)形式盡可能簡單，又具有一般性.

例6 (2009安徽14)給定兩個長度為1的單位向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值為 

解:以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，B(-12，32)，又OC=xOA+yOB，則C(x-y2，32y)，又(x-y2)2+(32y)2=1，整理得x2-xy+y2=1

則(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2，解得x+y≤2，故x+y的最大值為2.

評注:本題通過建系，讓向量坐標(biāo)化，結(jié)合條件可得關(guān)于x，y一個等式，為快速、準(zhǔn)確解題鋪就坦途，借助不等式知識即可順利獲解.

對于向量有關(guān)問題，從以上兩個方面考慮，常能找到解決問題的突破口，快速明確思路.善于利用向量中的“形”，將問題轉(zhuǎn)化平面幾何問題，能有效簡化運算，收到直觀、明快之效.向量的坐標(biāo)表示是將幾何問題代數(shù)化，很多題目中沒有明確給出向量坐標(biāo)，不少同學(xué)苦于不知如何入手，其實將向量坐標(biāo)化便是良策之一.

練習(xí):

1.設(shè)向量a，b，c滿足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若a=1，則a2+b2+c2的值是 

2.如圖，平面內(nèi)有三個向量OA、OB、OC，其中與OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA=OB=1，OC=23，

若OC=λOA+μOB，(λ，μ∈R)，則λ+μ= .

答案:6

(提示:用坐標(biāo)法)

(作者:印琴紅，江蘇省連云港市板浦高級中學(xué))