“恒成立”中的“恒等式問(wèn)題”

恒等式是無(wú)論其變量如何取值，等式永遠(yuǎn)成立的算式.它是描述兩個(gè)解析式之間的一種關(guān)系.給定兩個(gè)解析式，如果對(duì)于它們的定義域的公共部分(或公共部分的子集)的任一數(shù)或數(shù)組，都有相等的值，就稱這兩個(gè)解析式是恒等的.一個(gè)恒等式左右兩邊的各同類項(xiàng)的系數(shù)必定相同.相反，如果一個(gè)等式的左右兩邊各同類項(xiàng)系數(shù)完全相同，則該等式必定是恒等式.

不等式恒成立問(wèn)題同學(xué)們已經(jīng)非常熟悉.而恒等式問(wèn)題近兩年已經(jīng)成為高考命題新動(dòng)向，是各地模擬考試競(jìng)相挖掘的熱點(diǎn).主要涉及以下三個(gè)方面的問(wèn)題:

一、奇偶性中的恒等式

例1 (09蘇錫常二調(diào))已知k∈R，函數(shù)f(x)=mx+k#8226;nx(01，mn=1，函數(shù)f(x)是否具有奇偶性?如果有，求出相應(yīng)的k值;如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析:f(x)=mx+k#8226;m-x

假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)，代入整理得

(k+1)(mx+m-x)=0(※)，

(※)是對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，故k+1=0，k=-1.

假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義f(-x)=f(x)，代入整理得

(k-1)(mx-m-x)=0()，

()是對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，故k-1=0，k=1.

綜上，當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù);當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù);當(dāng)k≠±1時(shí)，函數(shù)不具有奇偶性.

例2

(08南通一模)已知函數(shù)f(x)=ex+kk#8226;ex-1(k為常數(shù))在其定義域上是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值等于 .

簡(jiǎn)析:根據(jù)奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)，代入整理得(k2-1)(e2x+1)=0()，

()式對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，故k2-1=0，k=±1.

點(diǎn)評(píng):①函數(shù)奇偶性的定義表明了一個(gè)定義域上的關(guān)于自變量x的恒等式;

②例2中容易誤用f(0)=0，僅得到k=-1.錯(cuò)誤原因是定義域中可以不含0.

二、數(shù)列中的恒等式

例3 若數(shù)列2n2-nn+c(n∈N，c為常數(shù))是等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)c的值為 .

簡(jiǎn)析:設(shè)2n2-nn+c=kn+b，所以2n2-n=kn2+(kc+b)n+bc()，

()是關(guān)于n的恒等式，

∴2=k-1=kc+b0=bc，解之得c=-12或0.

例4 (08遼寧卷)數(shù)列{an}，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列.設(shè)cn=bnan(n∈N)，數(shù)列{lnan}，{lnbn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若a1=2，SnTn=n2n+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

簡(jiǎn)析:設(shè){an}，{bn}的公比分別為q1，q2.

Sn=lna1+lna2+…+lnan=ln(a1a2…an)=lnan1#8226;qn(n-1)21=nlna1+n(n-1)2lnq1=(12lnq1)n2+(lna1-12lnq1)n，

同理，Tn=(12lnq2)n2+(lnb1-12lnq2)n，

代入SnTn=n2n+1，整理得

(lnq1)n3+(2lna1-12lnq1)n2+(lna1-12lnq1)n=(12lnq2)n3+(lnb1-12lnq2)n2，上式關(guān)于n恒等，

∴lnq1=12lnq22lna1-12lnq1=lnb1-12lnq2lna1-12lnq1=0，解之得q1=4q2=16b1=8.

∴cn=4n，前n項(xiàng)和為43(4n-1).

點(diǎn)評(píng):此類問(wèn)題是將條件整理成關(guān)于n的恒等式，然后根據(jù)恒等式的意義建立方程組求解.

三、解析幾何中的恒等式

1.直線過(guò)定點(diǎn)

例5 已知直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)，則直線過(guò)定點(diǎn) .

簡(jiǎn)析:直線方程可整理成(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0，



令x-2y-3=04x+3y-12=0，解得定點(diǎn)(3，0).

點(diǎn)評(píng):定點(diǎn)坐標(biāo)是方程(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0的解，即與k的取值無(wú)關(guān).也就是說(shuō)，方程(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0是關(guān)于k的恒等式.

例6 已知⊙O:x2+y2=8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線l:x=-4.若M是直線l上任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓K與⊙O相交于P、Q兩點(diǎn)，求證:直線PQ必過(guò)定點(diǎn)E，并求出定點(diǎn)E的坐標(biāo).

簡(jiǎn)析:設(shè)M(-4，y0)，⊙K:(x+2)2+(y-y02)2=16+y204

所以，直線PQ方程為4x+8-y0y=0，

令4x+8=0，且-y=0，得E(-2，0).

2.圓過(guò)定點(diǎn)

例7 已知⊙O:x2+y2=1，與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，M是⊙O上異于P、Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(3，0)作直線l⊥x軸，直線PM交直線l于點(diǎn)P′，直線QM交直線l于點(diǎn)Q′，求證:以P′Q′為直徑的圓C總過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

簡(jiǎn)析:設(shè)MP:y=k(x+1)，則MQ:y=-1k(x-1).



∴P′(3，4k)，Q′(3，-2k)

∴⊙C:(x-3)2+(y-2k2-1k)2=(2k2+1k)2

整理得，(x-3)2+y2-8-2(2k2-1)ky=0()

令y=0(x-3)2+y2-8=0得定點(diǎn)(3±22，0).

點(diǎn)評(píng):()是關(guān)于k的恒等式.

變式1.(08江蘇高考)已知⊙C:x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.問(wèn)⊙C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

答案:(0，1)或(-2，1).

3.定值條件

例8 已知⊙O:x2+y2=1，已知⊙M:(x-4)2+(y-2)2=9.設(shè)P為⊙M上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O作切線，切點(diǎn)為Q.試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得PQPR為定值?若存在，求出所有點(diǎn)R，并指出相應(yīng)的定值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析:假設(shè)存在R(a，b)，使得PQPR為定值k.設(shè)P(x0，y0)，則(x0-4)2+(y0-2)2=9，

∵PQ2=PO2-1=x20+y20-1=8x0+4y0-12，

RP2=(x0-a)2+(y0-b)2=(8-2a)x0+(4-2b)y0+a2+b2-11.

由PQ2=k2RP2關(guān)于x0，y0恒等，可得

8=k2(8-2a)4=k2(4-2b)-12=k2(a2+b2-11)，解得a=2，b=1，k=2或a=25，b=15，k=103.

點(diǎn)評(píng):設(shè)出定值，就得到一個(gè)恒等式.

4.“無(wú)數(shù)條”條件

例9 (09江蘇高考)已知⊙C1:(x+3)2+(y-1)2=4和⊙C2:(x-4)2+(y-5)2=4，設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足:存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

簡(jiǎn)析:設(shè)P(a，b)，直線l1的斜率為k，則l2的斜率為-1k.

l1的方程為kx-y+b-ka=0，l2的方程為x+ky-a-bk=0

因?yàn)橄议L(zhǎng)相等，半徑相等，所以圓心到相應(yīng)直線的距離相等

即|-3k-1+b-ka|k2+1=|4+5k-a-bk|k2+1

∴(-3-a)k+b-1=(5-b)k+4-a或(-3-a)k+b-1=(b-5)k+a-4

令-3-a=5-bb-1=4-a或-3-a=b-5b-1=a-4

解之得(-32，132)或(52，-12).點(diǎn)評(píng):“無(wú)數(shù)條”是關(guān)鍵詞.其代數(shù)模型為:關(guān)于x的方程ax+b=0有無(wú)數(shù)解a=b=0(證明略).其幾何意義是:直線y=ax+b與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故直線為y=0，所以a=b=0.這樣，此處與恒等式的意義相同.同理，ax2+bx+c=0有無(wú)數(shù)解a=b=c=0.

(作者:譚愛(ài)平，江蘇省泰興市第三高級(jí)中學(xué))