立體幾何題型全攻略
2010-12-31 00:00:00尤詠
中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版 2010年7期
一、考綱解讀(必修部分)
內(nèi)容要求
空間幾何體
柱、錐、臺、球及其簡單組合體A
柱、錐、臺、球的表面積與體積A
點、線、面之間的位置關(guān)系
平面及其基本性質(zhì)A
直線與平面平行、垂直的判斷及性質(zhì)B
兩平面平行、垂直的判斷及性質(zhì)B
二、填空題典例選講
題型1:空間線面位置關(guān)系的多項填空題
例1 下列關(guān)于互不相同的直線m，n，l和平面α，β的四個命題;其中真命題是
①mα，l∩α=A，點Am，則l與m不共面;
②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β;
③當(dāng)m，n在平面α內(nèi)射影互相垂直，則m⊥n;
④若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m
答案:①、②.
解析:①可運用反證法證明;②運用二面角概念判斷;③可借助于長方體的相連兩個側(cè)面判斷;④畫圖舉反例.
題型2:某一空間幾何體的線面位置關(guān)系的判斷
例2 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F，且EF=22，則下列結(jié)論中正確的是
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD
③三棱錐A-BEF的體積為定值
答案:①②③
解析:①正確，易證AC⊥平面D1DBB1，從而AC⊥BE;②正確，∵EF∥BD，∴EF∥平面ABCD;③正確，可用等積法求得.
題型3:空間多面體與旋轉(zhuǎn)體切接問題
例3 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積=
答案:9π
解析:可構(gòu)造一個正方體，其外接球與三棱錐同外接球，∴半徑r=32，S=4πR2=9π
注意:填空題解題策略:
①正確理解立體幾何問題中文字語言、符號語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換;
②建議多運用手邊的書本、筆、三角板等搭建一些簡單幾何體;
③善于構(gòu)造一些特殊的幾何模型
三、解答題典例選講
題型4:平行與垂直關(guān)系的證明
例4 如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分別是棱AD、AA1的中點
(1)設(shè)F是棱AB的中點，證明:直線EE1∥面FCC1;
(2)證明:平面D1AC⊥面BB1C1C.
證明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4，CD=2，且AB∥CD，
所以CDAF，A1F1CD，CFF1C1為平行四邊形，所以CF1∥A1D，
又因為E、E1分別是棱AD、AA1的中點，所以EE1∥A1D，
所以CF1∥EE1，又因為EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，
所以直線EE1∥平面FCC1.
(2)連接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=2，F(xiàn)是棱AB的中點，所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，∠BCF=60°，△ACF為等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內(nèi)且交于點C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
題型5:空間幾何體的面積與體積計算
例5 如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P為AB的中點.
(1)求證:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面體PCEF的體積.
【證明】(1)因為ABCD為矩形，AB=2BC，P為AB的中點，所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.
同理可證∠APD=45°.所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內(nèi)，所以PC⊥DE.因為DE∩PD=D，所以PC⊥平面PDE.
又因為PC在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE.
【解】(2)因為CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE∥CF.又DC⊥CF，所以S△CEF=12DC#8226;CF=12×4a×2a=4a2.
在平面ABCD內(nèi)，過P作PQ⊥CD于Q，則
PQ∥BC，PQ=BC=2a.
因為BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面DCFE，即PQ⊥平面DCFE，亦即P到平面DCFE的距離為PQ=2a.
VPCEF=VP-CEF=13PQ#8226;S△CEF=13#8226;4a2#8226;2a=83a3.
(注:本題亦可利用VP-CEF=VB-CEF=VE-BCF=VD-BCF=16DC#8226;BC#8226;CF=83a3求得)
題型6:探索性等綜合問題
例6 如圖，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中點.現(xiàn)沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB，E、F分別為BC、AB邊的中點.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAE⊥平面PDE;
(3)在PA上是否存在一點G，使得FG∥平面PDE.
解析:(1)在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中點，所以ABCD為矩形;∵PA⊥AD，PA⊥AB，AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD
(2)矩形ABCD中，易證得AE⊥ED，又由PA⊥平面ABCD，得PA⊥ED，且PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，而ED平面PDE，則平面PAE⊥平面PDE
(3)存在點G;過點F作FH∥ED交AD于H，再過H作GH∥PD交PA于G，連結(jié)FG;由FH∥ED，ED平面PED，得FH∥平面PED;同理可得GH∥平面PED，又FH∩GH=H，所以平面FHG∥平面PED，則FG∥平面PDE;在矩形ABCD中，∵FH∥ED易證得AH=14AD，又∵GH∥PD，則AG=14AP.
題型7:空間向量與立體幾何(理科附加題部分)
例7 在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(1)設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證:D1H⊥AP;
(2)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小的余弦值;
(3)求點P到平面ABD1的距離.
(1)略
(2)解析:連接BP，由AB⊥平面BCC1B1，得AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為D.
∵CC1=4CP，CC1=4，
∴CP=1，A(4，0，0)，P(0，4，1)，B(4，4，0).
∴PA=(4，-4，-1)，PB=(4，0，-1)，cos∠APB=PA#8226;PB|PA||PB|=56133.
即直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小的余弦值為56133.
(3)解析:設(shè)平面ABD1的一個法向量是n=(x，y，z)，AB=(0，-4，0)，D1(0，0，4)AD1=(-4，0，4)
n#8226;AB=-4y=0，n#8226;AD1=-4x+4z=0
令z=1，得x=1，y=0，∴n=(1，0，1)
又AP=(-4，4，1)，所以AP在n方向上的投影為AP#8226;n|n|=-322
∴點P到平面ABD1的距離為322.
說明:問題(2)也可通過求平面的法向量得解.
注意:解答題解題策略:
(1)解答題以容易題、中檔題為主，因而對證題的書寫規(guī)范要求較高，運用定理所需條件要寫全，通常在證明過程中推理缺少條件，每個扣一分;
(2)線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:
線線‖線面‖面面‖
線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化:
線線⊥線面⊥面面⊥
平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化:
線線‖線面⊥面面‖
應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質(zhì).”其中核心的位置關(guān)系是線面垂直，
(3)見等腰三角形要聯(lián)想到作底邊的高;給出中點，一般要想到中位線;條件中如給出一些線段的長度，則可能需要通過計算證垂直.
(4)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的數(shù)量關(guān)系，用向量的坐標(biāo)形式進行向量的運算，以達到解決問題的目的.
四、鞏固練習(xí)
1.給定下列四個命題;其中為真命題的是
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行;
②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直;
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
答案:②、④
2.若α、β、γ是三個互不重合的平面，l是一條直線，則下列四個命題中，正確命題的序號是
①若l⊥α，l∥β，則α⊥β;②若α⊥β，l⊥β則;l∥α;
③若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β;④若l上有兩個點到α的距離相等，則l∥α.
答案:①、③.
3.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為 .
答案:83
4.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F(xiàn)為PC上的一點，且PF:FC=3:1.
(1)求證:PA⊥BC;
(2)試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF;
(3)求三棱錐P-ABC的體積.
答案:(1)略
(2)G為PC中點.
(3)V=5439.
5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點.
(Ⅰ)若CD∥平面PBO，試指出點O的位置;
(Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面PCD.
答案:
(1)點O的位置滿足AO=2OD
(2)略.
6.(理科附加題部分)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
AB=BC=2AD，若平面PCD與平面PAB所成
二面角的余弦值為63，求PAAD的值.
答案:PAAD=2.
(作者:尤詠，無錫市第三高級中學(xué))
