勤于“積累”善于“填空”

填空題共14小題，分值為70分，已成為試卷客觀題主要形式，成為決定高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵題型.由于填空題不要過程，不設(shè)中間分，設(shè)計(jì)跨度大，覆蓋面廣，形式靈活多變，能力要求高.如何才能快速準(zhǔn)確的解答填空題?在考前必須勤于“積累”，注重課堂教師的例題的歸納與總結(jié)、自己的思維頓悟以及自己對各次訓(xùn)練“低級可怕”失誤的“心痛”感悟，下面從以下幾方面來談?wù)劇胺e累”對解填空題的益處.

一、理解概念(性質(zhì))，領(lǐng)悟課本公式、定理推導(dǎo)方法

高考中填空題不僅考查概念、公式、定理本身，而且還要對概念內(nèi)涵和外延、公式、定理推導(dǎo)特殊方法的考查，大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟知的題目或基本題型，所以要重視這方面“積累”.

例1 如果函數(shù)f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+f(4)+f14= .

解析:容易發(fā)現(xiàn)f(t)+f1t=1，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是，原式=f(1)+3=72，應(yīng)填72.

本題是2002年全國高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中也有一道類似題:設(shè)f(x)=12x+2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)= .

例2 已知曲線y=13x3上一點(diǎn)P(2，83)，則過點(diǎn)P的切線斜率 .

誤解:y′=(13x3)′=x2，可知y′|x=2=1，所以過點(diǎn)P的切線斜率為4.

剖析:題中所問是求過點(diǎn)P的切線斜率，而不是求在點(diǎn)P處的斜率，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).此錯(cuò)解認(rèn)為切線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn).

正解:設(shè)P(x0，y0)是曲線y=13x3上的點(diǎn)，又y′=(13x3)′=x2，則，解得x0=2y0=83或x0=-1y0=-13，所以過點(diǎn)P的切線斜率為y′|x=2=4或y′|x=1=1.

二、牢記課堂生成性方法、結(jié)論

課堂教師的例題的歸納與總結(jié)，產(chǎn)生生成性方法、結(jié)論，對無須過程的填空題來說有獨(dú)到效果.

例3 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期T，則f(T2)的值為 .

解析:函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(-x)=-f(x)，又函數(shù)f(x)的最小正周期為T，f(x)=f(x+T);令x=-T2，則f(-T2)=f(-T2+T)=f(T2)

而f(-T2)=-f(T2)∴f(T2)=0.

注:通過推證此題又可作為結(jié)論:函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期T，則f(T2)=0;另外可以利用正弦函數(shù)圖像理解.

三、重視雙基，直接演繹轉(zhuǎn)化

按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷，就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過變形、推理、計(jì)算、判斷等得到正確結(jié)論，它是解填空題的常用的基本方法，使用時(shí)要善于“透過現(xiàn)象抓本質(zhì)”.

例4 (08年江蘇)若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值為 .



解析:由于|AB|是定值，為求其面積的最大值，只須求出頂點(diǎn)C到AB邊的距離的最大值即可.而AC=2BC，說明點(diǎn)C是運(yùn)動(dòng)變化的，那么它的軌跡是什么呢?到此我們的思維“進(jìn)入了”解析幾何的領(lǐng)域.

如圖1，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，由題意不妨設(shè)點(diǎn)C(x，y)在第一象限(y>0)，則由AC=2BC，得x2+y2=2(x-2)2+y2，即(x-4)2+y2=8.

∴當(dāng)x=4時(shí)，ymax=22，此時(shí)S△ABC=12|AB||y|=22，

所以S△ABC的最大值為22.

【點(diǎn)評】本題直接用“形”有一定的難度，若利用“數(shù)”運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系求解，則問題利于解決.這正好體現(xiàn)出“數(shù)形結(jié)合”思想，也進(jìn)一步驗(yàn)證了華羅庚教授的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的數(shù)學(xué)思維典語.

四、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

當(dāng)填空題解法很多，要注意發(fā)現(xiàn)、探索、總結(jié)，小題終究是小題，只要多思考，多挖掘新方法、巧方法，那我們解題時(shí)才有事半功倍的效果.

例如:合理猜想法:合理猜想，可以從特殊情形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一般的正確結(jié)論.合理猜想法多用于探索規(guī)律的一類題.

例5 (08年北京)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(xk，yk)處，其中x1=1，y1=1，當(dāng)k≥2時(shí)，

xk=xk-1+1-5Tk-15-Tk-25，yk=yk-1+Tk-15-Tk-25.

T(a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0.按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 ;第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 .

解析:①當(dāng)2≤k≤5時(shí)，Tk-15=Tk-25=0，解得Pk(k，1);②當(dāng)k=6時(shí)，Tk-15=1，Tk-25=0，解得P6(1，2);③當(dāng)7≤k≤10時(shí)，Tk-15=Tk-25=1，解得Pk(k-5，2);④當(dāng)k=11時(shí)，Tk-15=2，Tk-25=1，解得Pk(1，3);…，如此類推.如通過觀察、歸納總結(jié)得出一般的規(guī)律為:第k棵樹種植在點(diǎn)為Pk(k-5(n-1)，n)，于是當(dāng)k=2008時(shí)，n=402，從而第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(3，402).

五、巧用特例求解

當(dāng)填空題暗示結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，可取特例求解，包括特殊值法、特殊函數(shù)法、特殊位置法、特殊點(diǎn)法、特殊數(shù)列法、特殊模型法等，選取符合條件的特殊情形進(jìn)行處理，得到結(jié)論.

例6 已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則a1+a3+a9a2+a4+a10的值= 

解析:取an=n;滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列，則原式=1+3+92+4+10=1316

例7 (08年全國Ⅰ)在△ABC中，AB=BC，cosB=-718.若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e= .

解析:設(shè)A(-1，0)，B(1，0)，則顯然半焦距c=1，AB=BC=2.∵cosB=-718=22+22-|AC|22×2×2，∴|AC|=103.由橢圓定義，得2a=|AC|+|BC|=163，∴a=83，故e=ca=38.

注:本題以三角形為載體考查橢圓的有關(guān)知識，一般先設(shè)AB=BC=k，由cosB=-718求出|AC|(|AC|中含有參數(shù)k)，然后利用橢圓的概念即可求出離心率e，這屬常規(guī)解法.本解答取A(-1，0)，B(1，0)，解題思路與常規(guī)方法一樣，但是由于將AB

取成常數(shù)，計(jì)算量降低了，這種解題方法屬賦特殊值法，在一定程度上能夠簡化運(yùn)算，在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該重視這種解題方法.

六、規(guī)范作答、表達(dá)準(zhǔn)確完整

(1)認(rèn)真細(xì)致審題，根據(jù)概念的準(zhǔn)確性，填空內(nèi)容表達(dá)必須準(zhǔn)確完整

例8 函數(shù)y=f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1)，f(52)，f(72)的由大到小關(guān)系是f(52)>f(1)>f(72)(用“<”號連接).

解:由題意可知有對稱軸x=2，開口向下，越靠近對稱軸值越大，由|72-2|>|1-2|>|52-2|可知結(jié)論是f(52)>f(1)>f(72).

注:在閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)填f(72)

(2)求解范圍時(shí)，必須注意端點(diǎn)的取舍

例9 一元二次函數(shù)f(x)=x2+ax+1在區(qū)間x∈(2，+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a∈ 

解析:一元二次函數(shù)f(x)=x2+ax+1的對稱軸為x=-a2，由函數(shù)圖像可知-a2∈(-∞，2]，則a∈[-4，+∞).

注:在閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)填a∈(-4，+∞)，實(shí)在太可惜，關(guān)鍵未曾驗(yàn)證端點(diǎn)，當(dāng)a=-4時(shí)滿足題意.

從以上幾方面可以看出，填空題屬小題，解答的基本原則是“小題不能大做”，基本策略——“巧做”，要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”下功夫，解題的要領(lǐng)是:快——運(yùn)算要快，力戒小題大作;穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急;全——答案要全，力避殘缺不齊;活——解題要活，不要生搬硬套;細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

(作者:洪兵，江蘇省如東高級中學(xué))