由兩道考題談數(shù)學應用題的解題策略

考題一:2009年湖南省高中數(shù)學競賽A卷試題18:

某建筑物內(nèi)一個水平直角型過道如圖(1)所示，兩過道的寬度均為3米，有一個水平截面為矩形的設(shè)備需要水平移進直角型過道，若該設(shè)備水平截面矩形的寬為1米，長為7米，試問:該設(shè)備能否水平移進直角型過道?(AB=7 m，BC=1 m)

圖(1)圖(2)

分析:如圖(2)，建立直角坐標系.設(shè)AB的方程為xa+yb=1，且a2+b2=49，再設(shè)直線OM交CD于F點，只要判斷|OF|max≤OM=32.∵BP=BCsin∠P=7b，AQ=7a，

∴CD的方程為:xa+7b+yb+7a=1，與OM:y=x聯(lián)立解得xF=yF=ab+7a+b，

設(shè)t=a+b，ab=t2-492，t=a+b≤2(a2+b2)=72，所以O(shè)到CD的距離OF=2#8226;ab+7a+b=t2-352t=t2-352t≤7-3514>32，故該矩形設(shè)備不能通過.

答:該矩形設(shè)備不能通過該直角型過道.

考題二:2010年蘇北四市高三二模調(diào)研考試試題(19):

一走廊拐角處的橫截面如圖(3)所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1米的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B，C，兩點，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1米.

圖(3)

(1)若水平放置的木棒MN的兩個端點M，N分別在外壁DC和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于P點.設(shè)∠CMN=θ(rad)，試用θ表示木棒MN的長度f(θ);

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值.

分析:筆者有幸參加本次市二模調(diào)研考試閱卷工作，考后結(jié)果表明，全市近3萬多名考生，能得到正確結(jié)論的同學寥寥無幾，此題的全市均分僅1.47分.下面將本題的解法總結(jié)如下:

解法一:(1)如圖(4)，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W.在Rt△NWS中，因為NW=2，∠SNW=θ，

所以NS=2cosθ.

因為MN與圓弧FG切于點P，所以PQ⊥MN，

在Rt△QPS，因為PQ=1，∠PQS=θ，

所以QS=1cosθ，QT-QS=2-1cosθ，

①若S在線段TG上，則TS=QT-QS

在Rt△STM中，MS=TSsinθ=QT-QSsinθ，

因此MN=NS+MS=NS+QT-QSsinθ

②若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT

在Rt△STM中，MS=TSsinθ=QS-QTsinθ，

因此MN=NS-MS=NS-QS-QTsinθ

=NS+QT-QSsinθ，f(θ)=MN=NS+QT-QSsinθ=2cosθ+(2sinθ-1sinθcosθ)

=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).

圖(4)

(2)設(shè)sinθ+cosθ=t(1

因為g′(t)=-4(t2-t+1)(t2-1)2，又1

因此函數(shù)g(t)=4t-2t2-1在t∈(1，2]是減函數(shù)，所以g(t)min=g(2)=42-2，

即MNmin=42-2.

圖(5)

答:一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為42-2.

解法二:(1)如圖(5)，過P點分別CD和AB的垂線，垂足分別記作T和S，又交FQ和GQ于Z和R點.

因為∠CMN=∠PQG=θ，PQ=1，在Rt△PQR中，

PR=sinθ，QR=cosθ，所以PS=2-sinθ，

PT=2-cosθ，又在Rt△PQR中，

NP=PScosθ=2-sinθcosθ，同理MP=PMsinθ=2-cosθsinθ

所以f(θ)=MN=MP+NP=2-cosθsinθ+2-sinθcosθ.

=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)

(2)解法同一.

解法三:(1)如圖(5)，設(shè)MN分別交BH和CE于點O1，O2，則MN=NO2+O2O1+O1M.

因為NO2=1cosθ，O1M=1sinθ，利用圓的切線性質(zhì)得FO2=O2P，O1P=O1G，計算O1P=tanθ2，O2P=tan(π4-θ2)，所以f(θ)=1cosθ+1sinθ+tanθ2+tan(π2-θ2).化簡得f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).

圖(6)

(2)同解法一.

解法四:(1)如圖(6)，以Q點為坐標原點，平行于BH的直線為x軸，平行于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系，并設(shè)直線MN的方程為:

y=tanθx+b(b>1).

由題設(shè)知圓弧FPG所在的方程是:x2+y2=1，

它與直線MN相切，則有|b|tan2θ+1=1，化簡得

b=tan2θ+1.

又直線CD的方程是:y=2，AB的方程是:x=-2

聯(lián)立MN與直線CD、AB的方程得yM=2，

yN=-2tanθ+tan2θ+1.

所以f(θ)=MN=1+1tan2θ|yM-yN|

代入化簡得:f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)

(2)同解法一.

說明:解法四中的坐標系也可選擇AB與CD分別作為坐標軸或選擇CE和BH作為坐標軸，它們的交點為坐標原點.

解法五:(1)同其它四種解法.

(2)設(shè)sinθ+cosθ=t(1

f(θ)=g(t)=4t-2t2-1.再令4t-2=m，即t=m+24(2<m≤42-2)，

此時f(θ)=h(m)=16mm2+4m-12=16m-12m+4，顯然h(m)是(2，42-2]上的減函數(shù).

即h(m)min=h(42-2)=42-2，故木棒的長度的最大值是42-2.

上述兩道試題來源于課本，是課本習題(蘇教版必修4P49(17))的改編題，但學生解答情況非常不理想，針對這種情況，在高三復習中，怎樣才能有效地突破應用題這一瓶頸，更好地解答數(shù)學應用題，從而在考試中取得理想的成績呢?我個人認為，一方面要有針對性的訓練，二是求解數(shù)學應用題必須遵循以下步驟:

(1)審題

審題是解題的基礎(chǔ)，它包含閱讀理解、翻譯和挖掘等.通過審題，抓住問題中的關(guān)鍵詞，弄清問題的情境和變化過程，初步預測所屬數(shù)學模型，使實際問題數(shù)學化.

(2)建模

在審題的的基礎(chǔ)上，引進數(shù)學符號，將問題中的非數(shù)學語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，然后根據(jù)

題意，針對所要解決的問題的特點，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，恰當?shù)匾雲(yún)?shù)變量或適當?shù)淖鴺讼?，列出滿足題意的數(shù)學關(guān)系式(函數(shù)式、不等式、方程等)或作出滿足題意的幾何圖形.建立數(shù)學模型是解答應用問題的關(guān)鍵步驟.

(3)解模

數(shù)學模型構(gòu)建后，就要運用我們所學的數(shù)學知識和方法，設(shè)計合理簡捷的運算途徑來解答純數(shù)學問題.這里有幾點值得注意:①在實際意義下，考慮函數(shù)自變量的范圍，或?qū)嶋H意義下的曲線方程限制條件.利用均值不等式求函數(shù)的最值時，要注意“一正二定三相等”的前提條件;②運算過程或結(jié)果涉及到近似計算，注意保證一定的精確度.③對求得問題的數(shù)據(jù)結(jié)果，要檢驗是否符合實際情況.

下面提供二道練習題，同學們不妨練一練:

練習一:如圖(7)，某污水處理廠要在一個長方體形污水處理池的池底(ABCD)鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE，H是直角頂點)來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上.已知AB=20 m，AD=103m，記∠BHE=θ.

(1)試將污水凈化管道的長度L表示成θ的函數(shù)，并寫出定義域;

(2)若sinθ+cosθ=2，求此時管道的長度L;

(3)當θ取何值時，污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度.

圖(7)

答案:(1)L=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ(θ∈[π6，π3]);(2)20(2+1);

(3)θ=π6或θ=π3時，所鋪設(shè)的管道最長，為20(3+1)m.

練習二:如圖(8)，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內(nèi)△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花.若AB=2a，∠CAB=θ，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形PQRS的邊長為x，面積為S2，將比值S1S2稱為“規(guī)劃合理度”.

(1)求證:x=2asin2θ2+sin2θ;

(2)當a為定值，θ變化時，求“規(guī)劃合理度”最小值及此時角θ的大小.

圖(8)

答案:(1)證明略;(2)當θ=π4時，“規(guī)劃合理度”最小值為92.

(作者:孫禮高，江蘇省東海高級中學)