活用基本不等式解題
2010-12-31 00:00:00吳鍔
中學課程輔導·高考版 2010年7期
基本不等式(也可叫均值不等式)ab≤a+b2(a≥0，b≥0)是一個十分重要的不等式，它在高中數(shù)學中有著廣泛的運用，本文就基本不等式及其應用展開討論.
一、基本不等式及其意義
定理:如果a，b是非負實數(shù)，那么ab≤a+b2(當且僅當a=b時取“=”).
1.代數(shù)意義:如果把a+b2看作兩正數(shù)a，b的等差中項，ab看作是兩個正數(shù)a，b的等比中項，那么均值不等式可敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于他們的等比中項.
2.幾何意義:均值不等式的幾何解釋是:半徑不小于半弦.
3.結構特點:均值不等式的左式為和結構，右式為積的形式，該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關系，運用該不等式可作和與積之間的不等交換.
4.公式的拓展:
(1)ab+ba≥2(a，b同號)，等號成立當且僅當a=b.
(2)a，b∈R+，21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22等號成立當且僅當a=b.
二、基本不等式的應用
1.證明不等式
例1 a，b，c∈R+，求證:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
證:∵a，b，c∈R+，∴a+b≥2ab>0，b+c≥2bc>0，c+a≥2ca>0，
三式相乘得(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab#8226;2bc#8226;2ca=8abc.等號成立當且僅當a=b=c.
說明 證明此類不等式時，若要用到兩式相乘，一定要滿足正數(shù)的條件，同時要注意等號能否同時成立.
例2 求證:4a-3+a≥7(其中a>3).
證:∵4a-3+a=4a-3+a-3+3，
∴4a-3+a-3+3≥24a-3#8226;(a-3)+3=24+3=7，當且僅當4a-3=a-3，即a=5時取等號.
說明 通過加減項的方法配湊成使用基本不等式結構是解題的關鍵.
例3 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證:1a+1b+1c≥9.
證明:1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9.
當且僅當a=b=c=13時等號成立.
說明 (1)“1”的代換是本題解題的突破口;(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc恰當?shù)摹安稹?、“配”?+ba+ab+ca+ac+cb+bc，這一步為使用基本不等式創(chuàng)造了條件，而ba+ab≥2(a，b同號)這一結論以后經常用到.
例4 已知a，b∈R+，且a+b=1，求證:a+12+b+12≤2.
解:∵a，b∈R+且a+b=1，∴a+12#8226;1≤a+12+12=12a+34，當且僅當a+12=1時，即a=12時取等號，同理b+12≤12b+34，b=12時等號成立.
∴a+12+b+12≤12a+34+12b+34=12(a+b)+32=2.當且僅當a=b=12時取等號，∴原不等式成立.
說明 本題也可以用a+b2≤a2+b22來證.即12a+12+b+12≤a+12+b+122=1，∴a+12+b+12≤2，當且僅當a+12=b+12即a=b=12時成立.
2.求函數(shù)的最值
例5 求:(1)若x>0，求f(x)=12x+3x的最小值;
(2)若x<0，求f(x)=12x+3x的最大值.
解:(1)∵x>0，由基本不等式得，f(x)=12x+3x≥212x#8226;3x=236=12，當且僅當3x=12x時，即x=2時，f(x)取最小值12.
(2)∵x<0，∴-x>0，則-f(x)=12-x+(-3x)≥212-x#8226;(-3)x=12.即f(x)≤-12，當且僅當12-x=-3x時，即x=-2時，f(x)取最大值為-12.
說明 運用基本不等式求函數(shù)的最值時，特別注意“一正，二定，三相等”的條件，缺一不可，這里的三個條件是有序的，“一正”是前提，“二定”是指在“相等”之前就為定值，“三相等”是指等號必須取到，解題時，必須逐一檢查這三點是否都已具備，否則容易出錯.
例6 求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最小值.
解:y=x2-1+9x-1=(x-1)+9x-1+2.
∵x-1>0，∴y≥2(x-1)#8226;9x-1+1=8，當且僅當x-1=9x-1，即x=4時取“=”號，
∴ymin=8.
說明 運用基本不等式求最值常用的變形技巧有:①運用拆項和湊項的方法變成和式或積式，②湊配出和為定值，③湊配出積為定值，④將限制條件整體代入，再使用基本不等式.
例7 求函數(shù)y=2x-1+5-2x12 解:y2=2x-1+5-2x+2(2x-1)(5-2x) =4+2(2x-1)(5-2x)≤4+2x-1+5-2x=8. ∵y>0，∴y≤22，當且僅當2x-1=5-2x，即x=32時取“=”號，則ymax=22. 3.求取值范圍 例8 若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍. 解:令ab=t(t>0)，由ab=a+b+3≥2ab+3，則t2≥2t+3，即t2-2t-3≥0， 解得t≥3或t≤-1(不符題意，舍去).∴ab≥3，∴ab≥9，當a=b=3時取等號. 說明 如何由已知等式ab=a+b+3(a，b∈R+)出發(fā)求得ab范圍，關鍵是尋找到a+b與ab的關系，由此聯(lián)想到a+b≥2ab，這樣將已知條件轉換為含ab的不等式(ab)2-2ab-3≥0，而解出ab的取值范圍. 例9 x>0，y>0，不等式x+y≤ax+y恒成立，求a的取值范圍. 解:顯然a>0，由題意:a≥x+yx+y恒成立，則a必須大于或等于x+yx+y的最大值， 而x+yx+y2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2，當且僅當x=y時取“=”. ∴x+yx+y的最大值為2. ∴所求的a的取值范圍為a≥2. 說明 求a的取值范圍，轉化為求x+yx+y的最大值，是求有關恒成立問題的一種常見手段. 4.解應用問題 例10 如圖，△ABC是某屋頂?shù)臄嗝?，CD⊥AB，橫梁AB的長是豎梁CD長的2倍，設計時應使y=tanA+2tanB保持最小，試確定D點的位置，并求y的最小值. 解:設AD=x，CD=1，則AB=2，BD=2-x(0<x<2) 令y=tanA+2tanB=CDAD+2CDBD=1x+22-x=-1x+2+8x+2-6， ∵x+2+8x+2≥42，當且僅當(x+2)2=8，x=22-2時取等號. ∴當x=22-2時，y的最小值為-142-6=3+222. 此時DB=2-(22-2)=4-22，AD∶DB=22-24-22=12. 答:取AD∶DB=1∶2時，y有最小值為3+222. 例11 某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側砌磚墻，每米造價45元，頂部平米造價20元.試問: (1)倉庫底面積S的最大允許值是多少? (2)為使S到達最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長? 解:設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則有S=xy.由題意得40x+2×45y+20xy=3200. (1)由基本不等式，得3200≥240x#8226;90y+20xy=120S+20S， ∴S+6S≤160，即(S+16)(S-10)≤0，∴S≤100. ∴S的最大允許值是100平方米. (2)S取得最大值的條件是40x=90y，又xy=100，由此解得x=15. ∴正面鐵柵的長度應設計為15米. 例12 甲、乙兩公司在同一電腦耗材廠以相同價格購進電腦芯片.甲、乙兩公司分別購芯片各兩次，兩次的芯片價格不同，甲公司每次購10000片芯片，乙公司每次購進10000元芯片.哪家公司平均成本較低?請說明理由. 解:設第一次、第二次購電腦芯片的價格為每片a元和b元，那么甲公司兩次購電腦芯片的平均價格為10000(a+b)20000=a+b2(元/片);乙公司兩次購電腦芯片的平均價格為21a+1b(元/片). ∵a>0，b>0，且a≠b， ∴1a+1b>21ab=2ab，即21a+1b 答:乙公司的平均成本較低. 說明 利用基本不等式求最值，在實際問題中有著廣泛的應用，有關最大、最小、最快、最省等最值問題，常?？梢酝ㄟ^構造不等式模型，再運用基本不等式求最值使其獲解，解題的關鍵是不等式模型的建立和基本不等式的正確運用. 三、自我評價 以下問題，同學們在閱讀完上面的內容后不妨一試. 1.已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則1a+1b的最小值為 . 2.若0≤x≤1時，函數(shù)y=x1-x2的最大值為 . 3.已知a，b，c是正實數(shù)，且a+b+c=1.求證:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8. 4.已知a，b，c，d是正實數(shù).求證:ad+bcbd+bc+adac≥4. 5.某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其它費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元.問該廠每多少天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費用最低? ┈參┈考┈答┈案┈ 1.4 2.12 3.(略) 4.(略) 5.解設該廠應每隔x天購買一次面粉，其面粉的保管費用為: 3[6x+6(x-1)+…+6×2+6]=9x(x+1)(元). 又設平均每天支付的總費用為y元，則y=9x(x+1)+900x+6×1800=9(x+100x)+10809. ∵x>0，∴x+100x≥2x#8226;100x=20，當且僅當x=10時取等號. 答:該廠每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天支付的費用最低. (作者:吳鍔，江蘇省蘇州市第十中學)
