一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子＊

張建華

(菏澤學院物理系,山東菏澤 274015）

一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子＊

張建華

(菏澤學院物理系,山東菏澤 274015）

從歐氏空間梯度與散度的基本概念出發(fā),導出四維彎曲空時中的梯度與散度,得到一般穩(wěn)態(tài)空時中的標量、逆變矢量與協(xié)變矢量的Laplace算子.

梯度;散度;Laplace算子;四維彎曲空時;穩(wěn)態(tài)空時

引言

眾所周知,在歐氏空間三維直角坐標系中的梯度算子為

拉普拉斯算子定義為梯度的散度

歐氏空間任意正交曲線坐標系中的Laplace算子為[1]

三維歐氏空間和四維閔可夫空時都是平直空時,空時曲率為零;彎曲空時有兩種:黎曼空時——正曲率空時,和羅氏空時——負曲率空時.根據(jù)廣義相對論,大質(zhì)量天體使它周圍的空時彎曲.在彎曲空時中,質(zhì)點沿短程線運動,物質(zhì)的能量——動量張量與空時曲率、空時度規(guī)滿足下述 Einstein場方程[2]:

與在平直空時中不同,在彎曲空時中描述物質(zhì)運動的動力學方程不僅與質(zhì)點所受的主動力有關(guān),而且要受到空時度規(guī)的影響;與動力學方程密切相關(guān)的Laplace算子當然也受空時度規(guī)的制約.

在彎曲空時中,如何推導出 Laplace算子的具體形式呢?Vaidya-Bonner空時中的 Laplace算子[3]和一般球?qū)ΨQ動態(tài)空時中的Laplace算子[4]已經(jīng)給出.本文將推導出一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子.

1 四維彎曲空時中的梯度與散度

1.1 矢量的梯度與散度

與歐氏空時中梯度算子的表達式 (1)不同,在四維彎曲空時中必須引入空時聯(lián)絡Γρμν,它是由于彎曲空時中相鄰兩點時空性質(zhì)的差異而引入的一個系數(shù).粒子物理學中,微觀粒子可分為費米粒子和玻色粒子;前者是自旋為半整數(shù)的粒子,后者是自旋為整數(shù)的粒子.其中自旋為零的粒子叫做標量粒子,例如π介子、η介子、κ介子等,相應的量子化場叫做標量場;而自旋為 1、質(zhì)量為零的粒子叫做矢量粒子,例如光子,相應的量子化場叫做矢量場.還有旋量場,它表示自旋為的粒子.對于矢量,必須區(qū)分逆變矢量和協(xié)變矢量.

逆變矢量的協(xié)變微分定義為逆變矢量的梯度[5],即

協(xié)變矢量的梯度定義為它的協(xié)變微分,即

逆變矢量的梯度的縮并定義為逆變矢量的散度,即

求協(xié)變矢量的散度,首先通過度規(guī)升降指標,將協(xié)變矢量變?yōu)槟孀兪噶?然后縮并,即

式 (7)和式 (8)可以分別變成

以及

式 (9)、式 (10)分別是逆變矢量和協(xié)變矢量的散度的度規(guī)表達式,也叫做逆變矢量和協(xié)變矢量的 Laplace算子表達式.

1.2 標量的梯度與散度

在四維彎曲空時中,設有標量場Φ,它的梯度為

這是一個協(xié)變矢量.按照式 (10),它的散度為

式 (12)就是標量的散度表達式,又叫做標量的 Laplace算子.

2 一般穩(wěn)態(tài)空時中的 Laplace算子

2.1 一般穩(wěn)態(tài)空時線元

靜態(tài)空時通常指施瓦?？諘r和 Reissner-Nordstr?m空時,它們的空時線元分別是[6]

上兩式中的 r、m、Q分別表示天體的球半徑、質(zhì)量和電荷,它們均不隨時間變化.

穩(wěn)態(tài)空時是黎曼空時的一種,一般包括 Kerr空時和 Kerr-Newman空時,是非球?qū)ΨQ的軸對稱空時.Kerr空時度規(guī)是[7]

Kerr-Newman空時度規(guī)是

式 (15)和 (17)中的 r、m、a分別表示天體半徑、質(zhì)量和單位質(zhì)量的角動量;而 Q表示 Kerr—Newman黑洞所帶電荷.

將ωB=2m ar以及 B代入式 (15),進行恒等變形,則式 (15)可以變?yōu)?/p>

比較式 (17)和 (19),發(fā)現(xiàn)式 (17)表示一個帶電轉(zhuǎn)動黑洞的外部空時,而式 (19)則表示不帶電的轉(zhuǎn)動黑洞的外部空時,它們都是穩(wěn)態(tài)空時.

2.2 一般穩(wěn)態(tài)空時中的Laplace算子

為使研究的問題具有一般性,可設式 (17)作為一般穩(wěn)態(tài)空時的空時線元.由式(17),可以得到度規(guī)行列式之值為

度規(guī)的逆變形式為

將式 (20)、(21)代入式 (10),可得一般穩(wěn)態(tài)空時中標量場的拉普拉斯算子為

將式 (20)、(21)代入式 (9),得一般穩(wěn)態(tài)空時中逆變矢量場的 Laplace算子為

注意,該式中 (a0,a1,a2,a3)=aμ,是逆變矢量的四個分量.

將式 (20)、(21)代入式 (10),得一般穩(wěn)態(tài)空時中協(xié)變矢量場的 Laplace算子為

3 結(jié)論與展望

我們已經(jīng)從歐氏空間梯度與散度的概念出發(fā),推導出四維彎曲空時中矢量及標量的梯度以及 Laplace算子的一般表達式;在此基礎上得到了一般穩(wěn)態(tài)空時中的標量及矢量的 Laplace算子,它們分別由式 (22)、(23)、(24)所表示.

1)由式 (22),令 Q=0,可得 Kerr黑洞周圍空時中標量場的 Laplace算子:

式中:Δ=r2+a2-2m r.

2)在式 (25)中,令 a=0,Q≠0,則得 Reissner-Nordstr?m空時中標量場的 Laplace算子:

3)若令 a=0,Q=0,則得 Schwarschild空時中標量場的 Laplace算子:

4)由式 (26)、(27),不難導出矢量場在 Kerr黑洞周圍空時中、Reissner-Nordstr?m空時中、Schwarzschild空時中的 Laplace算子.

[1]謝樹藝.矢量分析與場論[M].北京:人民教育出版社,1978:70.

[2]王永久,唐智明.引力理論與引力效應[M].長沙:湖南科技出版社,1990:92.

[3]張建華.Vaidya-Bonner空時中的 Laplace算符[J].商丘師范學院學報,2007,30(3):57-60.

[4]張建華.一般球?qū)ΨQ引力場中的拉普拉斯算子[J].菏澤學院學報,2008,30(2):56-60.

[5]劉遼,趙崢.廣義相對論[M].第 2版.北京:高等教育出版社,2004:52.

[6]趙崢.黑洞的熱性質(zhì)與時空奇異性[M].北京:北京師范大學出版社,1999:47-54.

[7]Kerr R P.Gravitational Field of a SpinningMass as an Example of Algebraically SpecialMetrics[J].Phys Rev Lett,1963,11:237.

Laplace Operator in Generally Steady State Space-T ime

ZHANG Jian-hua
(Department of Physics,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

Starting from the basic conceptions of gradient and divergence in Euclidean space,we drive out the gradient and divergence in 4-D curve space-time,and the Laplace operator of a scalar,or converter and covariant vector in generally steady state space-time are obtained.

gradient,divergence,Laplace Operator,4-D curve space-time,steady state space-t ime.

O 175.3

A

1673-2103(2010)05-0055-04

2010-03-08

國家自然科學基金資助項目 (1077302)

張建華 (1946-),男,山東單縣人,教授,研究方向:黑洞物理和宇宙學.