基于黃金關(guān)系的粗糙集模型及其應(yīng)用＊

梁俊奇,趙巧玲

(1.商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘 476000;

2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072）

基于黃金關(guān)系的粗糙集模型及其應(yīng)用＊

梁俊奇1,2,趙巧玲1

(1.商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘 476000;

2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072）

粗糙集的核心概念是基于等價(jià)關(guān)系的上下近似.給出了基于黃金關(guān)系的粗糙集模型,并研究了該模型的簡單應(yīng)用.

黃金關(guān)系;粗糙集模型;應(yīng)用.

引言

粗糙集 (Rough Set)理論是 Pawlak.Z教授于 1982年提出的一種能夠定量分析和處理不精確、不一致、不完整信息與知識(shí)的數(shù)學(xué)工具[1-3].它的基本思想是通過關(guān)系數(shù)據(jù)庫分類歸納形成概念和規(guī)則,通過不可區(qū)分關(guān)系對(duì)事物加以分類,進(jìn)而對(duì)目標(biāo)近似實(shí)現(xiàn)知識(shí)獲取和決策規(guī)則.

古希臘數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯 (Pythagoras)認(rèn)為,“凡物皆數(shù)”,即每個(gè)事物都可以數(shù)字化,也就是說所有事物在最后分析中都可用數(shù)字表示出來,是一種數(shù)量關(guān)系.根據(jù)這個(gè)思想,古代數(shù)學(xué)家出乎意料地發(fā)現(xiàn)一個(gè)神秘的數(shù)字,這就是 0.618.

利用 0.618定義一種不可區(qū)分關(guān)系,因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字是[0,1]區(qū)間上的最優(yōu)選點(diǎn),因此以 0.618作為不可區(qū)分關(guān)系被用作劃分也應(yīng)當(dāng)是較好的劃分之一,姑且稱之為黃金關(guān)系.本文給出基于黃金關(guān)系的粗糙集模型,并討論其簡單的應(yīng)用.

1 基于黃金關(guān)系的粗糙集模型

1.1 黃金數(shù)的價(jià)值

曾被德國科學(xué)家開卜勒稱贊為幾何學(xué)中兩大“瑰寶”之一的黃金數(shù) 0.618(另一件為勾股定理),確實(shí)有著黃金一樣的價(jià)值.在研究植物葉序問題時(shí)發(fā)現(xiàn):1)葉子在莖上的排列遵循黃金比.2)葉子在莖上環(huán)繞的圈數(shù)和它繞一個(gè)周期時(shí)莖上葉數(shù)之比隨植物不同而異.如榆樹為,山毛櫸為,櫻桃為,梨為,柳為,……,讓我們感到美妙的是其分子和分母分別為 1,1,2,3,5,………,2,3,5,8,13,……….這恰恰是兩個(gè)斐波那契數(shù)列.

在股票分析中,美國人艾略特于 1934年在研究股指變化規(guī)律時(shí),提出了所謂“波浪理論”,該理論可對(duì)許多經(jīng)濟(jì)活動(dòng)作出預(yù)測和估計(jì),而其中的重要結(jié)論是:這類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的指數(shù)波動(dòng)遵循斐波那契數(shù)列規(guī)律而變化.有趣的是,斐波那契數(shù)列前后兩項(xiàng)之比,越來越接近黃金數(shù) 0.618.

1.2 基于黃金關(guān)系的粗糙集模型

設(shè)[a,b]是一個(gè)區(qū)間,它被 0.618分成 n個(gè)小區(qū)間.每個(gè)小區(qū)間

被看成一個(gè)劃分的等價(jià)類.于是在這個(gè)區(qū)間[a,b]上可定義一個(gè)不可區(qū)分關(guān)系 IR如下:

所以,IR在每個(gè)小區(qū)間上是傳遞的,因此 IR可看成在[a,b]上是傳遞的.由此整個(gè)區(qū)間 [a,b]被 0.618分成若干個(gè)小區(qū)間,直到 a+n×0.618>b,其中 n是小區(qū)間的總數(shù).

首先討論用 0.618定義的不可區(qū)分關(guān)系 IR來構(gòu)造 Rough集理論中的下近似集和上近似集.

設(shè) S=(U,IR)是近似空間,根據(jù)畢達(dá)哥拉斯公理,U上的每個(gè)對(duì)象都可被數(shù)字化.如果 x∈U不是數(shù)字,我們可定義一個(gè)映射 f,將非數(shù)字的對(duì)象映射成數(shù)字對(duì)象.因此,不失一般性,設(shè) a=min(x∈U)和 b=max(x∈U),于是得到對(duì)應(yīng)于 U的數(shù)值區(qū)間.

定義 設(shè) U是非空有限論域,(X?U),則 X必然對(duì)應(yīng)一個(gè)子區(qū)間[aX,bX]?[a,b],不可區(qū)分關(guān)系 IR關(guān)于[aX,bX]的下近似和上近似被定義如下:

其中[x]IR是 x關(guān)于 IR的等價(jià)類,X?U是 U上的任意子集,Φ是空集.

2 基于黃金關(guān)系的粗糙集模型應(yīng)用舉例

設(shè)某家電商品作為論域 U,X?U,則 X必然對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間[aX,bX],其中 aX、bX是某種家電商品 X的最低價(jià)格和最高價(jià)格.

由粗糙集正域理論得知:

若 ?x∈X,且θx∈([aX,bX]),則 x為暢銷商品,其中θx是商品 x的價(jià)格.

十幾年前,吳振奎教授給出了一個(gè)實(shí)用小康型消費(fèi)公式[4]:

小康型消費(fèi)價(jià)格 =0.618×(高檔消費(fèi)價(jià)格 -低檔消費(fèi)價(jià)格)+低檔消費(fèi)價(jià)格

意思是說,您在選購商品時(shí),若根據(jù)自己的財(cái)力狀況認(rèn)為高檔價(jià)格過于昂貴,而低檔價(jià)格的商品款式、性能等不盡人意,那么您可以選購價(jià)格為上面公式所給出的檔次之商品——它的價(jià)格中等偏上,堪稱“小康”水準(zhǔn).就拿家庭電腦來講,商店中的高、低檔價(jià)格相差數(shù)千元,那里的高檔電腦非一般家庭能力所及 (況且家用也無必要),這樣您在選購前應(yīng)先確定購買的基本檔次.比如您打算買臺(tái)顯屏 17寸的品牌機(jī),高檔價(jià)格約為 10000元,低檔價(jià)格約為 4000元,那么您的小康型消費(fèi)水準(zhǔn)為:(10000-4000)×0.618+4000=7708(元).換言之,價(jià)格為 7700元左右為宜.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),這正是大多數(shù)家庭所喜歡且能接受的檔次.顯然上述公式對(duì)指導(dǎo)商品生產(chǎn)也有實(shí)際價(jià)值.

下面用本文的粗糙集模型對(duì)上述事實(shí)加以驗(yàn)證.

設(shè)[aX,bX]=[4000,10000],則([aX,bX])={x[x]IR? [aX,bX]}=[6472,8944].也就是說,價(jià)格在這個(gè)范圍內(nèi)的商品最暢銷,特別是價(jià)格在 8000元 (即粗糙集正域集的黃金數(shù))的商品會(huì)十分火爆.這一結(jié)論與吳教授的小康公式是吻合的.

[1]PawlakZ.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science,1982,(11):341-356.

[2]PawlakZ.Rough sets:TheoreticalAspects of Reasoning aboutData[M].Boston:KluwerAcademic Publishers,1991.

[3]張文修,吳偉志,梁吉業(yè),等.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[4]吳振奎.一個(gè)實(shí)用的小康型消費(fèi)公式[J].天津商學(xué)院學(xué)報(bào),1994,(4):79-80.

Rough SetModel Based on Gold Relationship and Its Applications

L IANG Jun-qi1,2,ZHAO Qiao-ling1

(1.Dept.ofMaths,Shangqiu NormalUniversity,Shangqiu Henan 476000,China;
2.College ofMaths&Statistics,Wuhan University,Wuhan Hubei 430072,China)

The core conept of rough set is based on the upper and lower approx imation equivalence based on gold relationship.In this paper the rough setmodel based on gold relationship is given and its applications are discussed.

gold relationship;rough setmodel;application

TP 18

A

1673-2103(2010)05-0017-02

2010-06-16

河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (094300510062);河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (2008B120006);河南省政府決策招標(biāo)基金資助項(xiàng)目(2009B379)

梁俊奇 (1958-),男,河南寧陵人,教授,碩士研究生導(dǎo)師,在讀博士研究生.研究方向:智能計(jì)算與不確定性信息處理.