國際組合套利機理及優(yōu)化策略分析

陳偉忠,詹 欣

(同濟大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院, 上海200092)

防范熱錢流入以及可能隨之而來的惡意套利行為是我國維持金融經(jīng)濟安全的重要策略.然而一般所能迅速、直接觀察到的套利行為僅僅局限于同質(zhì)資產(chǎn)之間,以及相關(guān)程度較高的資產(chǎn)之間.而對于套利對象多元化和套利路徑復(fù)雜化的國際組合套利行為而言, 還很難迅速對其識別, 并快速做出最優(yōu)的應(yīng)對策略.隨著我國金融業(yè)尤其是資本市場進一步地對外開放,加上改革和發(fā)展的不平衡, 我國很可能會不自覺地創(chuàng)造了國際組合套利機會, 并因此遭受到國際套利資本的攻擊, 進而對國內(nèi)經(jīng)濟和政策穩(wěn)定造成沖擊! 所以, 無論從理論研究還是從實際需求角度, 都需要對國際組合套利行為的機理進行深入探究,進而為我國防范和應(yīng)對國際惡意套利行為, 維持穩(wěn)定的金融環(huán)境提供方法和策略.

對國際組合套利的研究最初起源于為規(guī)避匯率風(fēng)險而進行的套期保值研究, 如Odier 和Solnik 等研究了組合套期保值的問題[1-3].Fang 等研究了組合套利或套保的相關(guān)模型[4-9].而其余大量針對國際套利的研究基本可以歸類于單一資產(chǎn)間的套利行為, 如利率套利、匯率套利和大宗商品套利等.

綜上所述,當(dāng)前仍然缺乏針對國際組合套利行為的系統(tǒng)性描述, 以及對其背后作用機理的剖析.本文在前人研究的基礎(chǔ)之上, 以國際組合套利行為作為研究對象, 通過對國際套利定價理論的拓展, 構(gòu)建影響資產(chǎn)價格的國際多因素模型;通過進一步的數(shù)理分析, 深入探究國際組合套利行為的內(nèi)在機理;進而分析國際組合套利的風(fēng)險及優(yōu)化策略問題.

1 對國際組合套利行為的機理闡述

以Bruno Solnik[10]的國際套利定價理論為基礎(chǔ), 假設(shè)影響一國市場上風(fēng)險資產(chǎn)的收益有m個國際公共宏觀風(fēng)險因素f1,f2,…,fm,n個國內(nèi)宏觀風(fēng)險因素f′1 ,f′2,…,f′n,m+n=k,k遠小于市場上資產(chǎn)的總數(shù)目.由此可以得到影響一國風(fēng)險資產(chǎn)收益的國際宏觀因素模型為

式中:R i,j為用另一國的貨幣j來測度的本國資產(chǎn)i的收益;E i,j為用另一國的貨幣j來測度該風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期收益;βim,j和β′in,j分別表示風(fēng)險資產(chǎn)對國際和國內(nèi)公共風(fēng)險因素的敏感度;μi是殘差項.其矩陣形式為

式中:B =[Bm|B′n],Bm,Bn分別為資產(chǎn)對國際和國內(nèi)公共風(fēng)險因素敏感度系數(shù)矩陣

如果不考慮外部環(huán)境因素, 正是由于單一市場和產(chǎn)業(yè)特有因素的存在,以及市場開放程度的影響,使得不同國家或市場的單一資產(chǎn)間相關(guān)性降低, 進而使單一資產(chǎn)間套利面臨極大的風(fēng)險.而國際組合套利的思想就是在原有資產(chǎn)的基礎(chǔ)之上增加相關(guān)資產(chǎn)來構(gòu)建組合, 盡可能地對沖掉降低資產(chǎn)相關(guān)性的因素,或者增加能提高資產(chǎn)相關(guān)性的因素,進而使新組合和另一資產(chǎn)之間或組合和組合之間形成強相關(guān),實現(xiàn)配對;一旦配對的組合和資產(chǎn)之間, 或組合和組合之間由于價格波動形成了大的價差, 打破了其特有的無套利條件, 就有可能創(chuàng)造新的套利機會.

假設(shè)在國際范圍內(nèi)所有市場中包含N(N足夠大)種資產(chǎn), 不同市場的資產(chǎn)之間相關(guān)性不夠強, 而不足以發(fā)生單一資產(chǎn)間的國際套利(或單一資產(chǎn)間套利風(fēng)險巨大).可以選取其中的p種資產(chǎn)構(gòu)建組合X,假設(shè)可能影響到這p種資產(chǎn)的全部因素有m種,根據(jù)式(1),其一般因素模型可以表示為

由于某一種資產(chǎn)不一定具有其他資產(chǎn)所具備的特有因素, 所以允許其中的部分β 值為0 .當(dāng)選取某一組合權(quán)重:ωP=(ω1,ω2,…, ωp)T時, 組合X的收益可以表示為

同理,可以選取市場中的另外q種資產(chǎn)構(gòu)建組合Y,假設(shè)可能影響到這q種資產(chǎn)的全部因素有n種,同時允許一般因素模型式中部分β 值為0 .那么,當(dāng)選取某一組合權(quán)重:ωQ=(ω′1,ω′2,…, ω′q)T時,組合Y的收益可以表示為

根據(jù)上文的理論分析, 組合套利機會的構(gòu)建就在于:選擇恰當(dāng)?shù)摩豍和ωQ,使得式(3)和式(4)中部分因素的加權(quán)系數(shù)為0 ;從而剔除了可能降低組合間相關(guān)性的因素,使得決定2 個組合X,Y收益的剩余因素大致相同.使2 個式子盡可能地逼近, 以提高2個組合的相關(guān)性, 進而實現(xiàn)組合配對.一旦由于價格波動使2 個組合的價差發(fā)生大幅偏離時, 就會形成國際組合套利機會.

2 對國際組合套利機理的數(shù)理分析

綜上所述,國際組合套利的核心思想就是:用相關(guān)性相對較強的組合來替代原本難以配對的單一資產(chǎn), 作為國際套利的主要對象, 以此拓寬國際套利的范圍.假設(shè)只考慮國際市場上2 個組合X和Y之間的套利, 根據(jù)式(3)和式(4)得出2 個組合收益的矩陣形式如下:

從而有以下的命題及推論:

命題1 國際套利行為的分類歸納如下:①當(dāng)p=1 ,q=1 時, 為單一資產(chǎn)之間的國際套利;②當(dāng)p＞1 ,q=1 或p=1 ,q＞1 時,為資產(chǎn)組合與單一資產(chǎn)之間的國際套利;③當(dāng)p＞1 ,q＞1 時,為資產(chǎn)組合與組合間的國際套利.②, ③兩種情況統(tǒng)稱為國際組合套利.

命題2 組合X和組合Y能發(fā)生嚴格的國際組合套利的必要條件是:rang B=rang B′.

證明 如果組合間能發(fā)生嚴格意義上的國際套利, 那么經(jīng)線性變換后,影響2 個組合收益的剩余因素數(shù)目一定相同.也即:假設(shè)剩余因素數(shù)為k個, 且k＜m,k＜n,因素載荷矩陣B 和B′經(jīng)線性變換后一定可以轉(zhuǎn)化為下面的形式:

其中, Σ和Σ′為對角線上元素非0 的對角陣, 所以2個因素載荷矩陣的秩相同.

推論1 組合X和組合Y若能發(fā)生嚴格的國際組合套利, 那么必有影響全部組合收益的剩余因素數(shù)k小于等于2 個組合的公共因素數(shù).

證明 用反證法.如果k大于組合的公共因素數(shù),那么必然存在影響組合價格的特有因素.組合之間的相關(guān)性會降低,套利風(fēng)險增大,嚴格的國際組合套利就不能發(fā)生.

命題3 在一段時間t至t+1 內(nèi),不考慮交易成本,假設(shè)β值穩(wěn)定,由Δ=ωTPEX-ωTQEY決定國際組合套利機會的存在.

證明 當(dāng)β 值穩(wěn)定的時候, 不考慮殘差項, 式(5)和式(6)的右邊第二部分因素影響近似相等.只有當(dāng)組合的期望收益存在差異時,才會在一段時間的始末出現(xiàn)組合間的價格差變動,出現(xiàn)套利機會.

進一步假設(shè)組合X和組合Y在t時刻的價格分別為P X,t和P Y,t,在t+1 時刻的價格分別為P X,t+1

和P Y,t+1,則t時刻的價差為S t=P X,t-P Y,t,t+1時刻的價差為S t+1=P X,t+1-P Y,t+1.由于 Δ =

ωTPEX-ωTQEY為兩組合的期望收益差, 而且構(gòu)建正、反向頭寸的初始資金量相同, 那么當(dāng)β 值穩(wěn)定的時候,從t到t+1 時刻組合間的價格差變化S t+1-S t可以用期望收益差Δ來替代.當(dāng)Δ＞0 時,表示t到t+1 時刻組合間的價格差變大(圖1),即S t+1＞S t,對應(yīng)的套利策略是:在t時期買入組合X賣出組合Y,在t+1 時期做相反的頭寸平倉獲利.而當(dāng)Δ＜0時,表示t到t+1 時刻組合的價格差變小, 對應(yīng)的套利策略是:在t時期買入組合Y賣出組合X,在t+1 時期做相反的頭寸平倉獲利.

3 國際組合套利風(fēng)險及優(yōu)化策略分析

很顯然, 對于國際組合套利者來說, 其優(yōu)化策略應(yīng)該是選擇合適的組合權(quán)重, 使給定期望收益的情況下風(fēng)險水平最小, 或給定風(fēng)險水平的情況下期望收益最大.

根據(jù)上文可以得到組合X和組合Y的價格差為:

從而可以推導(dǎo)出兩組合價格差的方差為

式中:XP為組合X中資產(chǎn)價格向量(P1,j,P2,j,…,P q,j)T的協(xié)方差矩陣;YQ為組合Y中資產(chǎn)價格向量(P1,j′,P2,j′, …,P q,j′)T的協(xié)方差矩陣.同時假定X PY Q均為正定矩陣.而

σpq為組合X 中的資產(chǎn)和組合Y 中的資產(chǎn)價格的協(xié)方差.

命題4 組合間存在最優(yōu)套期保值策略的必要條件是組合X和組合Y的方差相等.

證明 單從組合間套期保值最優(yōu)化的角度考慮, 當(dāng)期望收益或價差水平鎖定時,應(yīng)選擇組合向量ωp和ωQ使式(7)最小化.根據(jù)▽σ2s=0 整理可得

如存在ωp和ωQ使式(8)成立, 即組合X和組合Y的方差相等時, 則m in σ2s=0 ,存在最優(yōu)套期保值策略.

推論3 當(dāng)P=1 時,根據(jù)式(8)即可得到多種資產(chǎn)對單一資產(chǎn)的最優(yōu)套期保值率向量為:ωQ=Y-1QCQ1.此推論與文獻[6] 中結(jié)論一致.

進一步探討組合間套利策略的情況,沿用文獻[11] 等采用的均值-方差法.不考慮交易成本, 假設(shè)國際組合套利者的效用大小與其期望收益成正比,與價差波動成反比, 可得一種套利者的效用函數(shù)表達式如下:

其中λ為效用風(fēng)險系數(shù).對于國際組合套利者來說,即選擇合適的組合權(quán)重ωp和ωQ,使式(9)最大.式(9)分別對ωp和ωQ求一階偏導(dǎo)數(shù)并整理得

寫成矩陣形式為

式(10)中負號表示反向頭寸.由于上文假定XP和YQ均為正定矩陣,所以XP和YQ均存在逆矩陣.可解得

式中:D =YQ-CTPQXPCPQ;IP和IQ為單位陣.由式(10)和式(11)可以得到,不考慮交易成本且給定預(yù)期收益的情況下,國際組合套利優(yōu)化的頭寸比例向量為

4 實證研究

4.1 使用數(shù)據(jù)說明

運用上文的結(jié)論,以2005 年7 月21 日匯率制度改革以來至2010 年5 月21 日中國和美國股票市場之間的一級行業(yè)指數(shù)作為研究對象, 分析組合套利優(yōu)化策略, 使用的數(shù)據(jù)說明如下:①滬深300 指數(shù)和標(biāo)普500 指數(shù)的每周收盤均價;②新華富時一級行業(yè)指數(shù)的每周收盤均價(包括新富電氣、新富工業(yè)、新富公用、新富基材、新富金融、新富科技、新富石氣、新富衛(wèi)生、新富消服和新富消品十大行業(yè)指數(shù));③標(biāo)準(zhǔn)普爾美國行業(yè)指數(shù)的每周收盤均價(包括 Consumer Discretionary,Consumer Staples ,Financials,Health Care,Information Technology ,Telecommunication Service, Utilities,Energy ,Industries ,Materials 十大行業(yè)指數(shù)).以上數(shù)據(jù)均由W ind 咨詢公司提供.

對上述數(shù)據(jù)有如下說明:①如果選用日數(shù)據(jù), 會由于中美節(jié)假日不同導(dǎo)致交易日不同, 使數(shù)據(jù)在時間上的連續(xù)性受到影響,出現(xiàn)大量斷點;而如果選取月數(shù)據(jù), 則會由于樣本數(shù)目過少,而影響實證研究的效果;選取周數(shù)據(jù)基本可以避免前兩者的缺陷, 除五一、國慶、春節(jié)等周缺失極少量數(shù)據(jù)外, 其余時間序列均連續(xù),另外每一種指數(shù)都有244 個樣本數(shù)據(jù), 樣本大小足夠.②實際中的套利本應(yīng)選取具體的金融產(chǎn)品, 如行業(yè)ETF(Exchange Traded Fund,交易所交易基金)基金或其他指數(shù)產(chǎn)品.但是雖然美國擁有行業(yè)E TF 產(chǎn)品, 如SPDRs(Standard & Poor' s Depositary Receipts)、HO LDRs(Holding Company Depositary Receip ts)等, 而中國目前沒有行業(yè)E TF產(chǎn)品.所以為了便于進行類比, 以及僅從理論研究角度考慮, 本文直接使用基本的指數(shù)價格替代了具體的金融產(chǎn)品交易價格.

4.2 國際套利組合的構(gòu)建和求解

假定套利者在構(gòu)建頭寸的初期鎖定了匯率風(fēng)險, 首先分別對兩國市場的行業(yè)指數(shù)做相關(guān)性分析.剔除相關(guān)性＜0 .6 的低相關(guān)性序列, 保留相關(guān)性＞0 .6的序列,得到表1 .

表1 中美市場行業(yè)指數(shù)相關(guān)性分析結(jié)果Tab.1 Relativity analysis of industrial indices between China and America

從表1 中可以看出, 美國的能源行業(yè)對中國市場的4 個行業(yè)指數(shù)的相關(guān)性均大于0 .6 ,所以在構(gòu)建國際套利組合時, 美國市場中選擇能源行業(yè)指數(shù), 而中國市場中如果僅選擇與之最為相關(guān)的新富石氣指數(shù), 顯然不能夠滿足資產(chǎn)間強相關(guān)的條件,因此選擇新富工業(yè)等4 個指數(shù)構(gòu)建組合.考慮到需要對沖掉一國市場特有的風(fēng)險因素對行業(yè)指數(shù)的影響, 在資產(chǎn)組合中須分別增加滬深300 指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù).各種資產(chǎn)的收益率均值如表2 所示.

表2 組合中資產(chǎn)的收益率均值Tab.2 Mean value of the assets' yield rate in the portfolios

運用第4 部分的方法, 可以計算出資產(chǎn)方差-協(xié)方差的逆矩陣M-1:

運用式(12), 求解出優(yōu)化的組合套利頭寸比例系數(shù),并以能源行業(yè)的系數(shù)為基準(zhǔn), 得出相對的頭寸比例系數(shù)如表3 所示.

表3 組合中資產(chǎn)的頭寸比例系數(shù)表Tab.3 Position ratio of the assets in the portfolios

運用表3 中的權(quán)重構(gòu)建2 個組合, 即ωP=(1 ,-0 .085 2)T,ωQ=(0 .016 6 ,-0 .065 3 ,-0 .128 3 ,-0 .038 0,0 .540 0)T.

美國資產(chǎn)組合為:Pa=能源-0 .085 2 ×標(biāo)普500 ;

中國資產(chǎn)組合為:Pc=0 .016 6 ×新富公用-0 .065 3 ×新富工業(yè)-0 .128 3 ×新富基材-0 .038×新富石氣+0 .54 ×滬深300 指數(shù).計算兩組合的相關(guān)系數(shù)為0 .71 ,相對于單一資產(chǎn)間的相關(guān)性得到了提升.

5 總結(jié)

本文從國際套利定價模型出發(fā),構(gòu)建了影響一國風(fēng)險資產(chǎn)收益的國際多因素模型, 在此基礎(chǔ)上探索了國際組合套利的機理, 即通過對沖掉一部分特有風(fēng)險, 提升組合之間的相關(guān)性, 實現(xiàn)資產(chǎn)組合的有效配對, 從而拓展了套利對象的范圍.通過進一步的數(shù)理分析,深入探究了國際組合套利的風(fēng)險及優(yōu)化策略.與單一資產(chǎn)相比, 資產(chǎn)組合的β 值較為穩(wěn)定,而且資產(chǎn)組合的殘差也比較低, 這就便于整個套利過程的操作, 降低了套利的風(fēng)險.但是需要指出的是, 均值方差法所計算出的頭寸比例只是一種優(yōu)化策略, 但并非達到最優(yōu).從本文的實證研究可以看出, 均值-方差法不具備從多個資產(chǎn)中選擇最佳資產(chǎn)構(gòu)建套利組合的功能, 組合的相關(guān)系數(shù)為0 .71,仍未達到強相關(guān)性的要求, 使得套利存在一定的風(fēng)險, 因此還需要進一步探究新的方法來解決這一問題.

[1] Odier P, Solinik B .Lessons for international asset allocation[J] .Financial Analysts Journal, 1993, 49(2):63.

[2] Celebuski M, Hill J, Kilgannon J.Managing currency exposure in international portfolios[J] .Financial Analysts Journal,1990, 46(1):16.

[3] Filatov V,Rappaport p.Is complete hedging optimal for international bond portfolios[J] .Financial Analysis Journal,1992, 48(4):37.

[4] FANG Shuhong .Amean-variance analysis of arbitrage portfolios[J] .Physica A,2007, 375(2):625.

[5] Clare A D,Oozeer MC .Hedging sterling eurobond portfolios:a proposal for eurobond futures contract[J] .Applied Financial Economics, 2001, 11(1):37.

[6] 馬永開,唐小我.組合套期保值策略及其理論研究[J] .預(yù)測,1999(4):48.MA Yongkai,T ANG Xiaowo .Research on the strategy and theory of portfolio hedging[J] .Forecasting,1999(4):48.

[7] 劉燕武,張忠楨.組合套期保值的多元線性回歸特征[J] .系統(tǒng)管理學(xué)報, 2008(3):303.LIU Yanwu, ZHANG Zhongzhen.Study on characteristics of multiple linear regressions for cross hedging [J] .Jou rnal of System s and Management,2008(3):303.

[8] Carassus L,Huyen P,Nizar T .No Arbitrage in discrete time under portfolio constraints[J] .Mathematical Finance, 2001, 11(3):315.

[9] Bank P,Baum D .H edging and portfolio optimization in financial markets with a large trade[J] .Mathematical Finance,2004, 14(1):1.

[10] Solnik B H .International arbitrage pricing theory[J] .Journal of Finance, 1983, 38(2):449.

[11] 唐衍偉,陳剛.靜態(tài)最優(yōu)期貨價差套利頭寸比例估計[J] .系統(tǒng)工程, 2008(1):51.TANG Yanwei, C HEN Gang .Estimating of the positions ratio of static optimal futures spread[J] .Systems Engineering,2008(1):51.