線性混合模型中參數(shù)估計的容許性

薛 蕊，郭大偉

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

含有兩個方差分量的線性混合模型包括單向分類隨機(jī)效應(yīng)模型，兩向分類無交互效應(yīng)的混合模型以及Panel模型中的單向誤差分類回歸模型等，它廣泛地應(yīng)用于生物、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)藥等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析中，所以對這種模型的研究在線性混合模型中占有重要的地位.這種模型的一般形式為

y=Xβ+Uξ+ε，

(1)

對于固定效應(yīng)β，已有文獻(xiàn)多從無偏性和容許性這兩方面進(jìn)行討論，本文在第2節(jié)給出了β的線性可估函數(shù)Sβ的一個線性無偏估計類，在二次損失下通過討論該類中Sβ的線性無偏估計不可容許的充分條件，進(jìn)而得到可容許的必要條件.

在此采用A′,rank(A),tr(A),μ(A)分別表示A的轉(zhuǎn)置，秩，跡和A的列向量張成的子空間.

1 方差分量估計的容許性及ANOVA估計的改進(jìn)

取矩陣H(n-r)×n滿足條件：HX=0,HH′=In-r，用H左乘模型(1),令z=Hy，得到新模型

z=HUξ+Hε，

(2)

(3)

(4)

下面考察c1,c2,c12對d0的單調(diào)性，令它們分別對d0求偏導(dǎo)數(shù)，得

(5)

(6)

進(jìn)一步為了得到c1,c2,c12對di,i=1,2,…,k的單調(diào)性，令它們分別對di求偏導(dǎo)數(shù):

(7)

(8)

(9)

注意到：若式(7)大于0，則diλi>0，那么必有式(8)和式(9)大于0，即如果c1是di的增函數(shù)，那么c2,c12也是di的增函數(shù)，這時若減少di的值會同時減小c1,c2,c12的值，所以估計是不容許的.

至此，在∑diri≥0的前提條件下，推導(dǎo)出L1中可容許估計所要滿足的條件.而當(dāng)∑diri<0時，情況就變得較為復(fù)雜，沒有確定的結(jié)論.文獻(xiàn)[3]的證明中沒有考慮到這一點(diǎn).于是在此將估計類L1改進(jìn)為

2 固定效應(yīng)β的線性可估函數(shù)Sβ的可容許性

在模型(1)下討論固定效應(yīng)β的線性可估函數(shù)Sβ的線性無偏估計在二次損失下的可容許性，這里S為已知的t×p階矩陣，那么存在一個n×t階矩陣B，使得S=B′X.考慮Sβ的一個線性無偏估計類

L2={φT=(SX++TH)y:T為任意t×(n-r)階矩陣}，

這里H同模型(2)中的H.

R(φT)=E[((SX++TH)y-Sβ)′((SX++TH)y-Sβ)]=

tr[(SX++TH)′(SX++TH)∑(θ)]=

(10)

φT在L2中不可容許定義為?φT1∈L2使得R(φT)≥R(φT1)，即

(11)

定理2對于模型(1)，Sβ的線性無偏估計φT不可容許的充分條件是存在t×(n-r)階矩陣Q使得

trQ(Bi+CiT′)>0,i=1,2.

(12)

證明設(shè)Q使得式(12)成立，則必有Q≠0，取T1=T-εQ,ε>0，則

tr(T-T1)(Bi+CiT′)-tr(T-T1)Ci(T-T1)′=
2εtrQ(Bi+CiT′)-ε2trQCiQ′=ε[2trQ(Bi+CiT′)-εtrQCiQ′]，

當(dāng)ε充分小時，上式大于0對i=1,2都成立，于是由式(11)可知φT是不容許的.

為敘述方便，定義p·q維向量v=Vec(Q′)，bi(T)=Vec(Bi+CiT′)，i=1,2，這里Vec(M)是指將矩陣M按列拉直.于是式(12)可表示為v與bi(T)的內(nèi)積

(v,bi(T))>0.

(13)

定理3在模型(1)中Sβ的線性無偏估計φT可容許的必要條件是：存在a1,a2≥0,a1+a2>0，使得

a1b1(T)+a2b2(T)=0.

證明設(shè)φT可容許，若對任意的a1,a2≥0且a1+a2>0，a1b1(T)+a2b2(T)≠0，則b1(T),b2(T)生成的凸包不包含o點(diǎn)，由凸集分離定理知，存在一個Rt·(n-r)中過o點(diǎn)的超平面π，使由b1(T),b2(T)生成的凸包在π的一側(cè)，由此可知存在π的一個法向量v使得式(13)成立，從而由定理2知φT是不容許的，矛盾.定理得證.

[1] 王松桂.線性模型的理論及應(yīng)用[M].合肥：安徽教育出版社，1987.

[2] 王松桂，尹素菊.線性混合模型參數(shù)的一種新估計[J].中國科學(xué)A輯,2002,32(5):434-443.

[3] 范永輝,王松桂.混合模型中方差分量估計的容許性及非負(fù)估計[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2008,24(4):354-360.

[4] Tatsuya K. Estimation of variance components in mixed linear models[J]. Journal of Multivariate Analysis,1995,53:210-236.