GOM(1,1)模型背景值構造的重新改進

陳鵬宇

灰色預測模型是灰色理論的重要組成部分，而GM(1,1)模型是灰色預測模型中最基本的預測模型，已經(jīng)在許多領域得到了廣泛應用[1-3].傳統(tǒng)GM(1,1)模型以正向累加生成為基礎，相對于正向累加生成，一種反向累加生成定義被提出.灰色GOM(1,1)模型正是基于反向累加生成得出的一種灰色預測模型[4-5].楊知等[6]分析反向累加生成的特點，并從背景值的幾何意義出發(fā)，對GOM(1,1)模型進行了改進.文獻[6]中雖然認識到了GOM(1,1)模型的缺陷，但卻忽略了改進背景值的建模適應性問題，該文仍從文獻[6]中提到的背景值幾何意義出發(fā)，分析文獻[6]中改進背景值形式的不足，建立新的具有更強建模適應性的背景值形式.

1 反向累加生成及GOM(1,1)模型

其累減還原序列為

GOM(1,1)模型白化方程為

(1)

其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，是微分方程的參數(shù).

灰微分方程為

-x(0)(k-1)+az(1)(k)=b，k=2，3，…，n.

(2)

文獻[6]中應用齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上的積分作為背景值，推導出了GOM(1,1)模型改進的背景值形式:

(3)

GOM(1,1)白化型響應式為

(4)

參數(shù)計算[ab]T=(BTB)-1BTY,其中

2 GOM(1,1)模型的改進

下面以GM(1,1)模型缺陷分析理論中最常用的背景值幾何意義分析來說明GOM(1,1)模型的缺陷并對其進行改進.

即

(5)

文獻[6]中以齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上的積分作為背景值，推導出了新的背景值形式.該改進背景值形式存在兩個問題：首先，其是基于累加序列為齊次指數(shù)序列推導出的，而文獻[7]中已經(jīng)指出當原始數(shù)據(jù)為齊次指數(shù)序列時，其一次累加序列為非齊次指數(shù)序列，根據(jù)文獻[7]的思想，則以非齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上積分得到的背景值形式更能符合實際發(fā)展，從文獻[6]中的齊次指數(shù)序列擬合實例也可以看出，其并不能完全擬合齊次指數(shù)序列.其次，即使是背景值形式以非齊次指數(shù)序列積分得到，雖然能完全擬合齊次指數(shù)序列，但其并不一定能適應于近似指數(shù)序列建模，這個問題將在文后指出.

下面建立一種既能滿足白指數(shù)律，又能適應于近似指數(shù)序列建模的背景值形式，對于利用幾何思想改進的背景值形式，可以利用文獻[8]中的，而不必進行復雜的積分計算，文獻[8]中的背景值形式為

文獻[8]在推導出該背景值構造形式時是基于兩點間的面積不同得出的，而當原始數(shù)據(jù)為近似齊次指數(shù)序列時，每兩點間滿足面積相等的n或p值當然并不一樣，這便是前文指出的近似指數(shù)序列擬合時的問題，顯然以近似指數(shù)序列建模時，利用積分思想的所有推導全部不會成立，故以齊次指數(shù)序列或者非齊次指數(shù)序列推導出的背景值形式都不適合于近似指數(shù)序列建模.因此該文建立了變權背景值構造形式，即

只要求出每兩點間滿足面積相等的pk值即可以解決近似齊次指數(shù)序列下的背景值缺陷問題.

至于權值pk求解問題，在此采用具有全局尋優(yōu)能力的非線性搜索算法-模式搜索法.具體操作可利用Matlab編程及其模式搜索法工具箱，以pk=0.5為初始值，原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小的目標下搜索最佳背景值權值.

3 實例比較

仍然采用文獻[6]中的實例建立本文的改進模型，并與文獻[6]中改進模型以及普通GOM(1,1)模型(背景值為相鄰累加值的均值)進行比較.

例12000-2004年全國造林總面積中所造經(jīng)濟林面積的原始序列，見表1.

表1 原始數(shù)據(jù)

以上述數(shù)據(jù)建立普通GOM(1,1)模型、改進GOM(1,1)模型以及文獻[6]中GOM(1,1)模型，并求出相應的時間響應式.

各模型預測結果見表2.

表2 不同模型預測結果

表2的預測結果已經(jīng)明顯證明了本文中的論斷，文獻[6]中改進的背景值形式并不適合于近似指數(shù)序列建模，其預測精度甚至低于普通的GOM(1,1)模型，而本文改進背景值形式顯然更適合于近似指數(shù)

表3 原始數(shù)據(jù)

序列建模，其將普通GOM(1,1)模型的模擬平均相對誤差由2.28%減小到了1.86%，提高了預測精度.

例2對于指數(shù)序列x(0)(k+1)=10 000e-2k,k=0,1,2,3,4.原始序列值見表3.

以上述序列建立文獻[6]中改進GOM(1,1)模型，并求出相應的時間相應式：

建立本文改進GOM(1,1)模型，此時背景值權值為定值，根據(jù)

表4 不同模型預測結果

從表4的預測結果可以看出，文獻[6]中GOM(1,1)模型的背景值改進形式不僅無法適應于近似指數(shù)序列建模，甚至連齊次指數(shù)序列也無法完全擬合.對于本文的改進GOM(1,1)模型，其預測誤差實際上是由于計算精度的影響造成的，如果忽略精度影響，其理論上是可以完全擬合齊次指數(shù)序列的.

4 結 語

文章分析GOM(1,1)模型背景值構造改進形式的建模適應性問題，利用一種已存的背景值構造形式，建立了齊次指數(shù)序列下的定權背景值構造形式和近似齊次指數(shù)序列下的變權背景值構造形式，實例應用結果顯示新背景值形式下的GOM(1,1)模型不僅可以完全擬合齊次指數(shù)序列，也適合于近似齊次指數(shù)序列建模，提高了GOM(1,1)模型的應用價值.

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