非對易相空間下電場中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)

車 宇,李 康

0 引 言

時空坐標非對易的思想由來已久，早在60多年前就有人提出用時空坐標非對易的概念[1-2]來解決問題.在數(shù)學上，有關(guān)非對易的討論很多，但是在相當長的一段時間內(nèi)，非對易幾何并未在物理上受到重視.人們在研究物理問題時，時空坐標一般被認為是對易的.近幾年來，隨著量子霍爾效應以及弦理論的研究，越來越多的非對易背景上的物理學問題得到了人們的廣泛關(guān)注.對于超弦理論的研究發(fā)現(xiàn)，在弦尺度下出現(xiàn)空間的非對易效應[3].自從弦理論與非對易理論之間的關(guān)系被揭示以后，有關(guān)非對易空間各種物理問題的研究引起了理論物理學界的廣泛重視,并已取得一些成果[4-6].

Wigner函數(shù)是著名物理學家Wigner為了對熱力學體系做量子修正而引入相空間的一個準概率分布函數(shù)[7].Wigner函數(shù)既是量子相空間理論的基礎，也是實際應用中最主要的工具之一，尤其是對化學物理問題，它確實具有簡單而且物理內(nèi)涵豐富的特點.而量子諧振子是許多復雜模型的基礎，它的Wigner函數(shù)積分后能寫成簡單的表達形式，可用來討論許多實際問題.該文主要把諧振子模型放在了非對易相空間，在有外加電場的情況下，研究二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).

1 電場中二維帶電諧振子的能量本征值和本征函數(shù)

先考慮無外加電場的情況下一個質(zhì)量為μ，頻率為ω的二維諧振子，其Hamilton量[8]可表示為

(1)

解其在坐標表象下的Schr?dinger方程可得到能量本征值和本征函數(shù)，分別為

(2)

(3)

(4)

上式中勢能項可以寫成

(5)

其中

(6)

(7)

比較式(1)和式(7)，可知在電場中二維諧振子的能量本征值和本征函數(shù)分別為

(8)

(9)

引入坐標平移算符：

(10)

它對波函數(shù)的作用為

Dx(x0)ψ(x)=ψ(x-x0)，

(11)

則電場中二維帶電諧振子的能量本征函數(shù)可表示成

(12)

2 Wigner函數(shù)

Wigner函數(shù)是定義于相空間中的實函數(shù)，具有準概率分布函數(shù)的性質(zhì).它是由Weyl對應規(guī)則決定的一種特殊分布函數(shù).關(guān)于Wigner函數(shù)的能量本征值方程可由下面的星乘本征值方程[9]給出：

(13)

其中

(14)

(15)

則在二維歐氏空間中它可以寫成

(16)

3 對易空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)

通過上面的計算，可知有外加電場時的二維諧振子的波函數(shù)與無外加電場時的情況僅相差一個坐標平移變換，因此，為方便起見，先計算無外加電場時的情況[11].根據(jù)平移算符的表達式exp(a?)f(x)=f(x+a)，考慮Wigner函數(shù)的星乘本征值方程式(13)，可知

(17)

已知二維諧振子的Hamiltonian(已經(jīng)選取了μ=1,ω=1)可寫為

(18)

將式(18)分別代入Wigner函數(shù)的星乘本征值方程式(17)，有

根據(jù)上兩式得到

(x1?p1-p1?x1+x2?p2-p2?x2)W=0，

(19)

(20)

(21)

經(jīng)過簡單計算，式(20)可寫成

(22)

令W(ξ,η)=W(ξ)W(η)，E=E1+E2，由上式可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

這樣就得到

(27)

(28)

所以有

(29)

將式(21)代入式(29)，得到對易空間中二維諧振子的Wigner函數(shù)：

(30)

(31)

對于基態(tài)，有

(32)

這是一個相空間中的Gaussian分布函數(shù)，在物理量測量中具有非常重要的意義.

4 非對易相空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)

在量子力學中任意一個力學量都可以通過一個廣義的Bopp變換在非對易相空間中得到定義.已知在非對易相空間中Bopp變換關(guān)系[12]為

(33)

(34)

利用Bopp變換，在非對易相空間中，關(guān)于Wigner函數(shù)的星乘本征值方程又可寫成如下形式：

(35)

比較式(34)和(35)可知，非對易相空間中的星乘本征值方程與在對易空間下具有相同形式，只是對變量做了一個Bopp變換.因此，非對易相空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)為

(36)

(37)

式(37)就是在非對易相空間下電場中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).當非對易參數(shù)取0時，二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)與對易空間形式相同.

5 結(jié) 論

Wigner函數(shù)作為最常用的量子相空間分布函數(shù)，不僅是一個有效的計算工具，同時也是強有力的理論分析工具.而有關(guān)非對易空間物理模型的討論是現(xiàn)在理論物理學界關(guān)注的重點，該文首先通過解Wigner函數(shù)能量本征方程的方法計算出在對易空間中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)，在此基礎上根據(jù)Bopp變換，最后求解出在非對易相空間中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).從結(jié)果可以看出，當非對易參數(shù)取0時，二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)與對易空間具有相同形式.由于Wigner函數(shù)在現(xiàn)代量子測量中具有重要意義，所以這種非對易空間量子效應可望通過Wigner函數(shù)被測量到.

[1] Snyder H S. Quantized space time[J]. Phys Rev,1947,71:38-41.

[2] Snyder H S. The Electromagnetic field in quantized space time[J]. Phys Rev,1947,72:68-71.

[3] Seiberg N, Witten E. String theory and non-commutative geometry[J/OL]. High Energy Physics-Theory(1999-11-30)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/hep-th/9908142

[4] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2006,46(3):825-828.

[5] Li Kang, Wang Jianhua. The topological AC effect on non-commutative phase space[J]. Eur Phys J C,2007，50(4):1007-1011.

[6] Dulat S, Li Kang. Quantum hall effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2009,60(1)：163-168.

[7] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J]. Phys Rev,1932,40:749-759.

[8] 曾謹言.量子力學[M].4版.北京：科學出版社，2007：8184.

[9] Li Kang, Wang Jianhua, Dulat S,etal. Wigner functions for Klein-Gordon oscillators in non-commutative space[J]. International Journal of Theoretical Physics,2010,49(1):134-143.

[10] 李前樹,胡旭光.量子相空間中的反應散射理論[M].北京：科學出版社,2000:1-12.

[11] Wang Jianhua, Li Kang, Dulat S. Wigner functions for harmonic oscillator in non-commutative phase space[J/OL]. High Energy Physics-Theory(2009-08-12)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/0908.1703

[12] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J,2006,C46:825-828.