關(guān)于《工程數(shù)學(xué)》與《自動(dòng)控制原理》課程知識(shí)之銜接

陳俊英

（集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 福建 廈門 361021）

關(guān)于《工程數(shù)學(xué)》與《自動(dòng)控制原理》課程知識(shí)之銜接

陳俊英

（集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 福建 廈門 361021）

《工程數(shù)學(xué)》是《自動(dòng)控制原理》課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，聯(lián)系緊密，但實(shí)際教學(xué)中，這兩門課往往不能很好地銜接，給《自動(dòng)控制原理》課程的講授造成了不小的困難，影響了教學(xué)效果。為此，可以在學(xué)習(xí)《自動(dòng)控制原理》課程知識(shí)開始之前，就拉氏變換與傅立葉變換的知識(shí)作一個(gè)有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，使兩門課程知識(shí)融會(huì)貫通。

工程數(shù)學(xué)；自動(dòng)控制原理；銜接；拉氏變換；傅立葉變換

《自動(dòng)控制原理》是機(jī)械類專業(yè)的一門必修課，是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程，其所有知識(shí)點(diǎn)的講授都以積分變換即以拉氏變換與反變換、傅立葉變換與反變換為基礎(chǔ)。

一般情況下，由數(shù)學(xué)系的教師來講授《工程數(shù)學(xué)》積分變換的相關(guān)課程，而單純的數(shù)學(xué)理論講授很難做到將《工程數(shù)學(xué)》課程知識(shí)與《自動(dòng)控制原理》課程進(jìn)行聯(lián)系。而《自動(dòng)控制原理》的任課教師則認(rèn)為該部分內(nèi)容已經(jīng)講過，也不會(huì)再詳盡述及，更不會(huì)細(xì)心去理順基本概念，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入《自動(dòng)控制原理》課程學(xué)習(xí)的時(shí)候，難以接受突然出現(xiàn)的拉氏變換應(yīng)用，以致認(rèn)為該課程內(nèi)容很高深，挫傷了學(xué)習(xí)的自信心。因此，在講授《自動(dòng)控制原理》課程之前，筆者先理順拉氏變換、反變換，傅立葉變換、反變換之間的關(guān)系，而在講授該知識(shí)點(diǎn)之前，更是先安排關(guān)于常規(guī)方法解微分方程的知識(shí),以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各學(xué)科之間邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

時(shí)域分析知識(shí)準(zhǔn)備

《自動(dòng)控制原理》課程是以數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)的，而時(shí)域模型又體現(xiàn)為微分方程，所以微分方程的求解是基本功。用一般方法求解較繁瑣，不同的微分方程首先要區(qū)分方程的形式，然后根據(jù)不同的形式，采用不同的解法。

（一）一階微分方程

1.變量可分離類型,形如y'sin x=ylny用分離變量的方法求解。

（二）二階微分方程

1.可降階的二階微分方程，形如:

形如y''=f（x，y'）（缺y），令p=y'求解。

形如y''=f（y，y'）（缺x），令p=y'

2.二階常系數(shù)線性齊次方程，形如

通解求法:先求特征方程r2+pr+q=0的特征根。特征根不同，通解不同。

3.二階常系數(shù)線性非齊次方程

通解求法同二階常系數(shù)線性齊次方程，而特解依方程右式形式的不同而不同。

以上內(nèi)容在講授時(shí),只須述及方程形式和解題方法,這是復(fù)習(xí)過渡性質(zhì)的內(nèi)容，無須詳述，主要是讓學(xué)生了解用常規(guī)方法解微分方程非常繁瑣。 而自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模、傳遞函數(shù)的求取需要大量求解微分方程，因此降低求解微分方程難度意義重大，此時(shí)即可引入拉氏變換簡(jiǎn)化微分方程求解過程的知識(shí)。這樣，學(xué)生對(duì)于拉氏變換的意義有了生動(dòng)的理解，知識(shí)脈絡(luò)清晰，更具邏輯性。

（三）應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程

具體步驟如下：（1）對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。（2）解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式。（3）用拉氏反變換得到微分方程的時(shí)域解。

圖1 求解過程示意圖

圖2 二階模型圖

典型實(shí)例:設(shè)一彈簧上端固定，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，軸鉛直向下，物體沿Y軸運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)（t=0），物體的初始位移為Y0，初始速度為v0，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：數(shù)學(xué)建模：因阻力與速度成正比，故阻力為

（已知yt=0=0，y't=0，x（t）=k·1（t））

而彈簧力與位移成正比，為-ky，若系統(tǒng)所受外力為x（t），則根據(jù)牛頓第二定律有：

解：設(shè)L[y（t）]=Y（s）

對(duì)方程兩邊取拉氏變換，得

可見通過拉氏變換與反變換，可以將復(fù)雜的求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算過程，大大簡(jiǎn)化了微分方程的求解過程。

頻域分析知識(shí)準(zhǔn)備

時(shí)域分析雖然比較直觀，但如果不借助計(jì)算機(jī)，分析高階系統(tǒng)會(huì)非常繁瑣。而由于機(jī)械振動(dòng)與頻率特性有著密切的關(guān)系，所以頻域法是工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。頻域處理不僅簡(jiǎn)潔、計(jì)算工作量小，而且更能顯示信號(hào)或系統(tǒng)的組成特性。但是測(cè)試者所觀察到的總是信號(hào)的時(shí)間歷程，要在頻域進(jìn)行處理和分析就必須先做時(shí)-頻域變換。計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)時(shí)-頻域變換的DFT和FFT算法已為廣大工程人員所熟悉，有現(xiàn)成的程序可以調(diào)用，而頻域分析的基礎(chǔ)是傅立葉變換，故首先則應(yīng)建立起傅立葉變換的物理意義。

（一）傅立葉級(jí)數(shù)

一般周期信號(hào)可以利用傅立葉級(jí)數(shù)展開成無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加。

圖3 諧波疊加現(xiàn)象示意圖

圖3可形象地表達(dá)出不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加現(xiàn)象，從而使學(xué)生建立起頻譜的概念。

（二）傅立葉變換

非周期信號(hào)x（t）傅立葉變換：

傅立葉反變換為:

x（ω）是非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)，是連續(xù)的，而周期函數(shù)的頻譜是離散的。

圖4 周期矩形函數(shù)的離散頻譜圖

應(yīng)特別說明單位階躍信號(hào)的頻譜，由于單位階躍信號(hào)是時(shí)域分析的典型信號(hào)，了解單位階躍信號(hào)的頻譜，更有助于建立起時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系（如圖5）。

拉氏變換與傅立葉變換的關(guān)系

對(duì)于傅立葉變換，理解物理意義比進(jìn)行具體運(yùn)算更有意義，因?yàn)槔献儞Q算子S＝σ＋jω，即當(dāng)σ=0時(shí)，F(xiàn)L（S）＝FF（jω）在嚴(yán)格的理論推導(dǎo)下成立。這為教材中頻域分析傅立葉變換以拉氏變換為過渡打下理論基礎(chǔ)。系統(tǒng)模型間的關(guān)系（如圖6）。

圖5 單位階躍函數(shù)頻譜圖

圖6 拉氏變換與傅立葉變換關(guān)系示意圖

在開始《自動(dòng)控制原理》課程之前，復(fù)習(xí)拉氏變換，使學(xué)生理解采用拉氏變換的真正原因，而傅立葉變換的介紹則加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)頻域物理意義的理解，從而為學(xué)習(xí)頻域分析的幅頻相頻特性打下基礎(chǔ)。通過對(duì)拉氏變換與傅立葉變換之間關(guān)系的介紹，可以為頻域分析知識(shí)講授起到鋪墊作用，較好地改善教學(xué)效果。

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陳俊英（1974—），女，工學(xué)碩士，集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院講師，主要研究方向?yàn)閭鞲衅髋c測(cè)控技術(shù)。

（本文責(zé)任編輯：張維佳）

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1672-5727（2010）S0-0063-02