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    縱、橫波分離的數(shù)值模擬研究

    2010-11-27 00:57:11
    關(guān)鍵詞:散度波場(chǎng)橫波

    何 艷

    (西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

    縱、橫波分離的數(shù)值模擬研究

    何 艷

    (西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

    從彈性波方程散度和旋度求取入手,通過(guò)引入等價(jià)方程,論證了縱波為無(wú)旋場(chǎng)、橫波為無(wú)散場(chǎng)理論。利用有限差分模擬各向同性介質(zhì)中的地震波場(chǎng),并分別計(jì)算散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)。結(jié)果表明,在滿(mǎn)足差分范圍內(nèi)速度無(wú)劇烈變化的情況下,通過(guò)該方法能有效地分離出縱、橫波場(chǎng)。另外,旋度運(yùn)算的矢量性質(zhì)造就了分離后的記錄在震源兩側(cè)極性反向的特性,而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)在物理特性方面極其相似。

    彈性波方程;縱波;橫波;散度;旋度

    通過(guò)彈性波方程數(shù)值模擬得到的是P波(縱波)和S波(橫波)的混合波場(chǎng)。對(duì)于由P波震源激發(fā)記錄中包含反射P波和轉(zhuǎn)換S波的地震數(shù)據(jù),可以通過(guò)散度和旋度的計(jì)算將P波和S波分離?。彈性波縱橫波場(chǎng)分離最初由Dankbaar[1]提出,Devaney等[2]利用極化波分解對(duì)彈性波VSP數(shù)據(jù)中的PS波場(chǎng)進(jìn)行了分離;Dellinger等[3]在空間-頻率域中利用散度和旋度因子對(duì)各向異性介質(zhì)中的P、S波場(chǎng)進(jìn)行了分離。筆者從彈性波方程散度和旋度求取入手,通過(guò)引入等價(jià)方程,論證了縱波為無(wú)旋場(chǎng)、橫波為無(wú)散場(chǎng)理論,并利用有限差分模擬各向同性介質(zhì)中的地震波場(chǎng)。

    1 彈性波方程的散度與旋度

    關(guān)于位移場(chǎng)U(u,v,w)的X方向二階彈性波方程可以寫(xiě)為:

    (1)

    式中,u、v、w分別為x、y、z方向的位移;λ、μ為拉梅系數(shù);ρ為密度。類(lèi)似地,可以得出Y、Z方向的方程。

    根據(jù)縱波速度Vp、橫波速度Vs與拉梅系數(shù)λ、μ的關(guān)系:

    從式(1)中消去λ、μ得:

    (2)

    引入縱波變量Up和橫波變量Us:

    Up={up,vp,wp}Us={us,vs,ws}

    (3)

    關(guān)于U(u,v,w)的彈性波方程可以寫(xiě)成關(guān)于Up(up,vp,wp)和Us(us,vs,ws)的等價(jià)方程組:

    u=up+usv=vp+vsw=wp+ws

    首先計(jì)算橫波散度:

    可見(jiàn),橫波散度為零,即橫波為無(wú)散場(chǎng)。

    再計(jì)算縱波旋度:

    可見(jiàn),縱波的旋度為零,即縱波為無(wú)旋場(chǎng)。

    2 數(shù)值模擬

    上述結(jié)論存在的前提是均勻介質(zhì),如果介質(zhì)非均勻,縱波旋度和橫波散度都將非零,因此,從單純的數(shù)學(xué)意義上來(lái)說(shuō),非均勻介質(zhì)中的彈性波場(chǎng)是不能進(jìn)行波場(chǎng)分離的。但從另一方面考慮,如果應(yīng)用有限差分來(lái)求導(dǎo),數(shù)據(jù)應(yīng)用范圍只是差分范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與差分階數(shù)有關(guān)),在滿(mǎn)足差分范圍內(nèi)速度無(wú)劇烈變化的情況下同樣可應(yīng)用上述理論來(lái)分離波場(chǎng)。下面僅以二維彈性波方程為例進(jìn)行數(shù)值模擬。

    圖1 速度模型

    以水平層狀介質(zhì)為例,考察分離波場(chǎng)及地面記錄效果。速度場(chǎng)大小4000×2000m2,速度值如圖1所示,震源位于地表的水平位置中心點(diǎn)。模擬采用10×5m2的速度網(wǎng)格,方程求解同樣采用時(shí)間2階、空間8階有限差分。圖2展示了分離前后的瞬時(shí)波場(chǎng),可以發(fā)現(xiàn),波場(chǎng)分離后,縱波波場(chǎng)相對(duì)單一,即除直達(dá)P波外即為PP波(含極弱的SP轉(zhuǎn)換波),而橫波波場(chǎng)除直達(dá)S波和PS轉(zhuǎn)換波外,還包含SS波。

    圖3展示了地面接收到的X、Z分量及分離后的P、S波記錄,分離后的P波記錄為標(biāo)量,而橫波記錄的矢量性質(zhì),造就了震源兩側(cè)記錄極性反向的特性,而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)恰恰吻合,因此,采用求取旋度的方式分離彈性波場(chǎng)中的橫波波場(chǎng),為轉(zhuǎn)換橫波的模擬在物理特性方面提供了便利條件。

    圖2 水平層狀彈性介質(zhì)中瞬時(shí)波場(chǎng)分離

    圖3 水平層狀彈性介質(zhì)波場(chǎng)模擬及分離的地表記錄

    3 結(jié) 論

    從彈性波場(chǎng)的散度和旋度的求取入手,利用引入的等價(jià)方程論證了縱波的無(wú)旋及橫波的無(wú)散理論,通過(guò)理論推導(dǎo)及模型試算,得出以下結(jié)論:

    1)在滿(mǎn)足差分范圍內(nèi)速度無(wú)劇烈變化的情況下,通過(guò)分別求取波場(chǎng)的散度和旋度能有效地分離出縱、橫波場(chǎng)。

    2)由于散度運(yùn)算為標(biāo)量運(yùn)算,因此分離出的縱波波場(chǎng)為單一的標(biāo)量場(chǎng)。

    3)旋度運(yùn)算的矢量性質(zhì)造就了分離后的記錄在震源兩側(cè)極性反向的特性,而這一特性與野外采集的橫波數(shù)據(jù)恰恰吻合。因此,采用求取旋度的方式分離彈性波場(chǎng)中的橫波波場(chǎng),為轉(zhuǎn)換橫波的模擬在物理特性方面提供了便利條件。

    [1]Dankbaar J W M.Separation of P-waves and S-waves[J].Geophysical Prospecting, 1985, 33:970~986.

    [2]Devaney A J, Oristaglio M L.A plane-wave decomposition for elastic wave fields applied to the separation of P-waves and S-waves in vector seismic data[J].Geophysics,1986,51:419~423.

    [3]Dellinger J,Etnen J.Wave-field separation in two-dimension anisotropic media[J].Geophysics, 1990, 55: 914~919.

    [編輯] 洪云飛

    P631

    A

    1673-1409(2010)01-N051-04

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