CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量的因子方法框架及模型評(píng)述*

張家平

(華南理工大學(xué) 金融工程研究中心， 廣東 廣州 510006)

一、 前言

當(dāng)前， 結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場(chǎng)迅猛發(fā)展， 并以其豐富投資品種、 擴(kuò)大投資者選擇、 按投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好“量身定制”投資產(chǎn)品(即具有不同優(yōu)先等級(jí)的分券)、 轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險(xiǎn)等特征吸引了金融機(jī)構(gòu)、 學(xué)術(shù)團(tuán)體、 信用評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)、 金融監(jiān)管部門的廣泛關(guān)注。2008年的金融危機(jī)只是使結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場(chǎng)的發(fā)展受到一時(shí)阻礙， 絲毫沒(méi)有減少人們對(duì)結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品， 尤是CDO的關(guān)注和研究熱情*專門匯集信用風(fēng)險(xiǎn)及其定價(jià)工作論文及專著的網(wǎng)站www.defaultrisk.com， 每周約有20篇的關(guān)于CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量的新論文出現(xiàn)。。CDO是以債券、 貸款、 結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品、 甚至CDO產(chǎn)品構(gòu)成的資產(chǎn)組合為擔(dān)保而發(fā)行的， 按照一定優(yōu)先等級(jí)進(jìn)行支付權(quán)利金和承擔(dān)損失的證券， 即分券(tranches)。因此， CDO 的價(jià)值主要由信用風(fēng)險(xiǎn)決定： CDO 的發(fā)起人定期向投資者支付權(quán)利金(也即CDO 的價(jià)值)， 以獲得在違約發(fā)生時(shí)向投資者要求損失賠償?shù)臋?quán)利。從量化的角度來(lái)看， 如何計(jì)算一段時(shí)期內(nèi)信用資產(chǎn)組合整體違約損失的聯(lián)合概率分布是對(duì)CDO 進(jìn)行研究分析的基礎(chǔ)。

對(duì)現(xiàn)有的模型和方法也有一些粗略的分類， 一是沿用單資產(chǎn)信用風(fēng)險(xiǎn)模型的分類， 將CDO定價(jià)模型劃分為結(jié)構(gòu)方法和簡(jiǎn)化方法。結(jié)構(gòu)方法又稱為企業(yè)價(jià)值方法、 默頓方法， 是由默頓基于期權(quán)理論[1]提出的違約風(fēng)險(xiǎn)模型[2]， 并由Hull等擴(kuò)展到組合信用風(fēng)險(xiǎn)模型。[3]基于統(tǒng)計(jì)理論的簡(jiǎn)化方法， 又稱為強(qiáng)度模型(intensity model)， 是Jarrow和Tunbull首次提出，[4]并由Dufie和Garlenu推廣到組合水平對(duì)相依違約強(qiáng)度進(jìn)行建模[5]； Sch?nbucher等人在更一般的copula框架下分析違約強(qiáng)度的相依結(jié)構(gòu)。[6]二是最近提出的自下而上(bottom-up)和自上而下(top-down)方法。Kay Giesecke按這種分類方法對(duì)組合信用風(fēng)險(xiǎn)度量模型與方法進(jìn)行了綜述。[7]自下而上方法是從組合中各資產(chǎn)的違約強(qiáng)度通過(guò)加總推導(dǎo)出組合的違約強(qiáng)度， 而自上而下方法在無(wú)套利方式下直接對(duì)組合損失的隨機(jī)動(dòng)態(tài)機(jī)制進(jìn)行建模。[8]

上述分類方法僅僅從建模出發(fā)點(diǎn)的不同對(duì)各種模型與方法進(jìn)行粗略的分類， 并沒(méi)有進(jìn)一步分析各模型之間的內(nèi)在聯(lián)系以及模型改進(jìn)的路線圖， 不利于模型之間的比較與評(píng)價(jià)。再者， 分類方法的包容性存在一定局限， 比如第二種分類方法只是針對(duì)簡(jiǎn)化模型， 沒(méi)有包括結(jié)構(gòu)模型。因此， 我們迫切需要一個(gè)相對(duì)統(tǒng)一的框架， 能夠把現(xiàn)有的大部分模型納入這個(gè)框架， 找出人們對(duì)CDO產(chǎn)品定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量的認(rèn)識(shí)和模型改進(jìn)的內(nèi)在邏輯進(jìn)程， 便于模型的比較與評(píng)價(jià)。這是本文的主要目的。我們發(fā)現(xiàn)因子方法(factor approach)能夠擔(dān)當(dāng)這個(gè)重任。因子方法以其包容性、 開放性將大部分現(xiàn)有模型包含在該框架中， 如圖1所示。

圖1 因子方法框架圖

從圖1可以看出， 因子copula模型在刻畫多元違約相關(guān)性中最具競(jìng)爭(zhēng)力， 而且在此框架內(nèi)很容易對(duì)模型進(jìn)行拓展， 這一點(diǎn)與陳田和秦學(xué)志在對(duì)CDO定價(jià)模型綜述中的結(jié)論是一致的。[9]

二、 因子copula模型及其拓展

因子copula模型是CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型中最具活力的一個(gè)分支， 其最簡(jiǎn)單的形式， 單因子正態(tài)copula模型(one-factor Gauss copula model)已成為行業(yè)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量的標(biāo)準(zhǔn)模型。同時(shí)， 因子copula模型具有良好的擴(kuò)展性， 以不斷改進(jìn)對(duì)CDO顯示價(jià)格的擬合效果。

在copula模型中， 違約時(shí)間的聯(lián)合分布可寫成一維的邊緣分布和copula函數(shù)的組合， Copula模型能將相依結(jié)構(gòu)(dependence structure)從聯(lián)合分布中分離出來(lái)， 并與邊緣分布無(wú)關(guān)等優(yōu)良性質(zhì)廣泛運(yùn)用于金融領(lǐng)域的多元分析。對(duì)copula方法的介紹及其在金融領(lǐng)域的運(yùn)用可參考文章后面的參考文獻(xiàn)第[10]和[11]。[10]52-125， [11]134-187

P(τ1≤t1, Lτn≤tn)=C(F1(t1), LFn(tn))

在這個(gè)框架下， 相依結(jié)構(gòu)和邊緣分布可以分開處理。通常， 邊緣違約概率Fi(ti)可以從不同資產(chǎn)的信用違約互換權(quán)利金數(shù)據(jù)中推出， 或者根據(jù)信用評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)的歷史數(shù)據(jù)推出。因此， 他們可以看做是市場(chǎng)輸入變量。由于相依結(jié)構(gòu)是不可觀測(cè)的， 只能通過(guò)選擇不同的copula函數(shù)來(lái)刻畫違約相依結(jié)構(gòu)。這是因子copula定價(jià)模型最重要的一步， 當(dāng)然也受到較多質(zhì)疑。在信用風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域， 因子copula方法首次由David Li[注]美籍華人Li被稱為華爾街的精算天才， 其單因子正態(tài)copula模型被學(xué)界與期權(quán)定價(jià)的B-S公式相提并論， 并極大的推動(dòng)了結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場(chǎng)的發(fā)展。引入，[12]由Schünbucher進(jìn)一步發(fā)展[13]。

因子copula模型是一類特殊的copula模型， 其違約時(shí)間的相依結(jié)構(gòu)服從因子框架。具體地說(shuō)， 相依結(jié)構(gòu)由一些隱含變量V1, …, Vn決定， 每個(gè)變量Vi表示成由共同風(fēng)險(xiǎn)因子Z和特殊風(fēng)險(xiǎn)因子εi構(gòu)成的二元函數(shù)。

Vi=f(Z,εi),i=1, L,n

在一般copula框架下， 損失分布的計(jì)算要求n次連續(xù)積分。因子copula方法的好處在于， 由于因子的維度要要比N低得多， 從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。

(一)加法因子copula(additive factor copula)模型

加法因子copula模型族在CDO分券定價(jià)中使用的最為廣泛。在這類模型中， 函數(shù)f表示共同因子與特殊因子是相加的， 隱含變量V1, …, VN通過(guò)相依參數(shù)ρ聯(lián)系起來(lái)。

(5)

根據(jù)前面的分析， 可得出條件違約概率Pt(Z)為：

(6)

在大多數(shù)運(yùn)用中， Z和εi， i=1, …, N屬于相同的分布， 以使通過(guò)卷積后得到封閉解。

這類模型中最受歡迎[注]最受歡迎不在于其準(zhǔn)確性， 而在于計(jì)算簡(jiǎn)單， 易于處理。如同正態(tài)分布是在刻畫資產(chǎn)收益率分布中最常采用的形式， 但我們知道現(xiàn)實(shí)資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布。的模型形式就是所謂的因子正態(tài)copula模型， 即Z和εi， i=1, …, n為服從獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量， 從而隱含變量V1, …, VN亦為正態(tài)分布。Vasicek在信用風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域首次引入這種設(shè)定方法[注]Vasicek沒(méi)有直接采用copula函數(shù)這個(gè)名稱， Li推出Vasicek模型與單因子正態(tài)copula模型是等價(jià)的。[14]， 而在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱之為多元概率模型。盡管因子正態(tài)copula模型計(jì)算簡(jiǎn)單、 易于處理， 但它也有一些眾所周知的缺陷： 不能完全擬合所有具有相同期限的標(biāo)準(zhǔn)CDO分券的市場(chǎng)報(bào)價(jià)， 存在相關(guān)系數(shù)微笑或相關(guān)系數(shù)傾斜等與模型設(shè)定不符的現(xiàn)象。

因子copula模型最大的優(yōu)點(diǎn)在于容易擴(kuò)展。[15]215-234從上面的模型設(shè)定可以看出， 第一， 改進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)因子的分布， 以反映金融資產(chǎn)收益率或風(fēng)險(xiǎn)因子的尖峰、 肥尾、 偏斜等特征。第二， 改進(jìn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因子相依結(jié)構(gòu)的刻畫， 錯(cuò)誤的相依結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致對(duì)信用資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的嚴(yán)重低估。[16]通過(guò)選擇合適的copula函數(shù)以逼近CDO參考資產(chǎn)組合真實(shí)的違約相依結(jié)構(gòu)。一些學(xué)者采用具有肥尾特征的t-copula來(lái)研究信用風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，[17-21]t-copula的極限形式就是正態(tài)copula。同樣， t-copula模型具有與正態(tài)copula模型類似的缺陷。

為解決相關(guān)系數(shù)微笑等正態(tài)copula模型的， 一些學(xué)者使用不同的分布來(lái)改進(jìn)模型， 如雙t分布[22]、 正態(tài)逆高斯分布(NIG)[23]、 雙正態(tài)逆高斯分布[24]、 雙方差Gamma分布[25]、 Lévy分布[26]259-278等， Wang等人討論了其他具有肥尾分布的因子copula模型[27]263-286。

注意以上因子copula模型的分析都是假定回收率R和相關(guān)系數(shù)ρ是固定不變， 一個(gè)很自然的擴(kuò)展就是將他們隨機(jī)化。Andersen等人提出了RFL(random factor loading)模型和隨機(jī)回收率模型[28]對(duì)該假定進(jìn)一步放松， 將它們?cè)O(shè)定為隨機(jī)的參數(shù)。

(二)阿基米德copula方法

阿基米德copula具有顯性的表達(dá)式， 并用1到2個(gè)參數(shù)來(lái)度量相依關(guān)系等優(yōu)點(diǎn)在金融領(lǐng)域、 尤其是在信用風(fēng)險(xiǎn)建模中獲得廣泛的運(yùn)用。尤其是阿基米德copula本身是可交換的， 因此可采用因子模型的表達(dá)式， Marshall等人最早推出了阿基米德copula數(shù)的因子表達(dá)式[29]。 每一個(gè)阿基米德copula可以用逆拉普拉斯變換φ(.)和共同因子Z聯(lián)系起來(lái)。在該方法下， 隱含變量表示為：

(14)

其中φ-1(.)表示拉普拉斯變換， εi， i=1, …, N為獨(dú)立均勻分布隨機(jī)變量。則隨機(jī)向量(V1, …, VN)的聯(lián)合分布就是φ-阿基米德copula。如果隱含變量是均勻分布的， 則條件違約概率可寫成：

Pt(Z)=exp(-φ(F(t))Z)

(15)

在信用風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域， 運(yùn)用最廣泛的阿基米德copula函數(shù)是Clayton、 Gumbel和Frank copula函數(shù)。文獻(xiàn)[13]30-33主要討論Clayton copula在CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量中運(yùn)用， 而文獻(xiàn)[21], [34]進(jìn)一步討論Gumbel、 Frank等其它阿基米德copula函數(shù)在信用風(fēng)險(xiǎn)建模中的運(yùn)用。

三、 多元分布因子模型

直接對(duì)多元分布建模， 而不借助copula函數(shù)對(duì)違約相依結(jié)構(gòu)的描述， 是刻畫違約相依結(jié)構(gòu)的另一種重要方法。多元分布因子模型克服了因子copula模型中copula函數(shù)的選擇問(wèn)題。

(一)多元結(jié)構(gòu)因子方法

多元結(jié)構(gòu)因子模型是單資產(chǎn)信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)中的首次通過(guò)時(shí)間模型(first passage time model)在多資產(chǎn)情況下的推廣， 該模型假定違約時(shí)間是隨機(jī)的， 為資產(chǎn)價(jià)值低于某個(gè)閥值的首次通過(guò)時(shí)間[35]。Arvanitis和Gregory 在多元正態(tài)分布背景下研究一籃子信用衍生產(chǎn)品定價(jià)時(shí)提出多元結(jié)構(gòu)因子模型[36]98-153。Hull等人考察了單因子多元正態(tài)結(jié)構(gòu)模型對(duì)CDO分券的定價(jià)。[3]

該模型假設(shè)， CDO參考組合具有n個(gè)企業(yè)(或債務(wù)人)， 資產(chǎn)價(jià)值的變化機(jī)制V1, …, Vn可簡(jiǎn)單的表示為n個(gè)相關(guān)的布朗運(yùn)動(dòng)。有：

(16)

其中， Z、 V1, …, Vn獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程， 當(dāng)過(guò)程變量Vi低于某個(gè)常數(shù)閥值c(不同的資產(chǎn)具有相同的閥值)。然后， 相應(yīng)的違約時(shí)間表示為：

τi=inf{t≥0|Vi, t≤c},i=1, Ln

違約概率在已知共同因子過(guò)程Z的條件下是獨(dú)立的。當(dāng)違約事件的發(fā)生是可交換的時(shí)， 根據(jù)Finetti定理， 違約概率一定存在， 式(16)依然屬于單因子框架。多元結(jié)構(gòu)因子模型與因子copula模型相比較， 有以下不同： 一是在多元結(jié)構(gòu)模型中違約概率不能以封閉解的形式寫出， 因此只能采用模擬方法來(lái)估計(jì)違約損失分布。二是多元結(jié)構(gòu)模型的共同因子Zt是隨時(shí)間而變化的， 因此是一個(gè)動(dòng)態(tài)模型； 而前面討論的因子copula模型是靜態(tài)的。三是兩類模型對(duì)違約相依結(jié)構(gòu)的刻畫不同， 多元結(jié)構(gòu)模型無(wú)須事先假定參考資產(chǎn)組合的違約相依結(jié)構(gòu)， 直接根據(jù)估計(jì)出來(lái)的多元聯(lián)合損失分布反映債務(wù)人的違約相依關(guān)系。

多元結(jié)構(gòu)因子模型具有與首次到達(dá)時(shí)間模型相似的缺陷， 即只能采用Monte Carlo模擬的方法來(lái)進(jìn)行估計(jì)， 計(jì)算非常耗時(shí)。對(duì)該類模型的拓展主要是對(duì)因子服從的隨機(jī)過(guò)程的改進(jìn)上， 以提高計(jì)算效率和擬合效果。

(二)多元泊松方法

CDO定價(jià)的多元泊松方法是將可靠性理論(reliability theory)， 又稱為沖擊模型， 移植到信用風(fēng)險(xiǎn)建模中。多元泊松模型認(rèn)為違約時(shí)間是多元泊松過(guò)程發(fā)生第一次跳躍的時(shí)間， 當(dāng)泊松過(guò)程N(yùn)ti發(fā)生第一次跳躍， 將引發(fā)資產(chǎn)i的違約。違約事件的相依關(guān)系由引發(fā)一組資產(chǎn)以給定概率違約的系統(tǒng)事件或共同沖擊之間的相依關(guān)系決定。在此框架下， 我們討論最簡(jiǎn)單的情形， 即每次違約事件由特殊的死亡沖擊(fatal shock, 即導(dǎo)致違約發(fā)生)或共同沖擊引發(fā)， 共同沖擊不一定是死亡沖擊[注]注意特殊沖擊與共沖擊類似于因子模型中的特殊因子和共同因子。。則可導(dǎo)致資產(chǎn)i違約的泊松過(guò)程表示為：

(17)

根據(jù)以上的分析， 可得違約概率為：

如同多元結(jié)構(gòu)因子模型， 多元泊松方法依然屬于單因子框架， 而且因子隨時(shí)間改變， 所以該方法是動(dòng)態(tài)方法， 并得到違約概率是離散的隨機(jī)變量。

四、 仿射強(qiáng)度因子模型

(18)

在仿射模型中， 違約時(shí)間的相依關(guān)系主要體現(xiàn)在違約強(qiáng)度的相依結(jié)構(gòu)上。Duffie等人提出違約強(qiáng)度的因子表達(dá)式以刻畫違約強(qiáng)度的相依結(jié)構(gòu)。[8]

其中， α為非負(fù)參數(shù)， 反映了共同因子xt的重要性并控制違約強(qiáng)度的相依關(guān)系， x和xi是獨(dú)立的， 并服從仿射跳躍擴(kuò)散(AJD, affine jump diffusion)過(guò)程。選擇AJD過(guò)程有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)： 一是違約強(qiáng)度λi也服從于仿射跳躍擴(kuò)散過(guò)程， 從而可得到違約概率的解析表達(dá)式； 二是能得到靈活的違約強(qiáng)度的動(dòng)態(tài)機(jī)制。缺陷是仿射強(qiáng)度模型不能所有期限的信用違約互換的報(bào)價(jià)， 參數(shù)校準(zhǔn)過(guò)程比較復(fù)雜。

仿射強(qiáng)度模型對(duì)違約強(qiáng)度引入因子模型， 并且因子是隨時(shí)間變化而改變的， 所以是動(dòng)態(tài)模型。Gregory和Laurent較早采用仿射模型的因子表達(dá)式推出違約概率分布，[32]，[44-45]進(jìn)一步推廣了仿射強(qiáng)度模型， 增加參數(shù)選擇的靈活性， 為參數(shù)校準(zhǔn)和CDO分券定價(jià)發(fā)展更有效率的數(shù)值計(jì)算方法。Feldhutter運(yùn)用信用違約互換和CDO分券價(jià)差的大量數(shù)據(jù)， 對(duì)仿射強(qiáng)度模型進(jìn)行實(shí)證研究， 發(fā)現(xiàn)該模型與CDO分券的盯市(Marked-to-market)價(jià)差的匹配能力較好， 但不能抓住高級(jí)分券利差的變化。[46]

五、 結(jié)論

因子方法為大量的CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架， 這對(duì)模型比較與選擇、 抓住定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型的核心和未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)具有重要意義。通過(guò)上面的分析， CDO因子方法框架具有以下四個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

第一， 因子方法框架能容納大部分主要的CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型。近年來(lái)， 除因子copula模型外， 多元因子模型、 仿射強(qiáng)度因子模型也獲得了較快發(fā)展， 為違約相依結(jié)構(gòu)的度量提供了一種替代的方法。

第二， 因子方法是個(gè)開放的框架， 很容易進(jìn)行拓展。可以看出， 有三條主線對(duì)CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型進(jìn)行拓展。一是改進(jìn)因子分布或服從的隨機(jī)過(guò)程、 共同因子的相依結(jié)構(gòu)。二是對(duì)因子模型參數(shù)的隨機(jī)化。三是多因子模型和動(dòng)態(tài)因子模型的發(fā)展。現(xiàn)有的CDO定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量模型基本上都是按這三個(gè)方向展開的。

第三， 因子模型作為一種降維技術(shù)， 是解決違約相依結(jié)構(gòu)維度問(wèn)題的重要工具， 能極大的提高計(jì)算效率， 有些模型能得出違約分布的解析或半解析的結(jié)果。

第四， 隨著多元分析理論與實(shí)踐的發(fā)展， 一些新的降維技術(shù)不斷被提出來(lái)。如獨(dú)立成分析， 作為主成份分析和因子分析的進(jìn)化版本， 在工程和信號(hào)系統(tǒng)領(lǐng)域獲得廣泛運(yùn)用。我們有必要研究獨(dú)立成分分析在組合資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)度量中的運(yùn)用， 充分利用獨(dú)立成分分析計(jì)算的準(zhǔn)確性和高效性。

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