2010年數(shù)學(xué)高考集合與常用邏輯用語試題評析

● (魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

在改革創(chuàng)新的大背景下，全國各地的高考試題立意鮮明，取材講究，形式多樣，難點分散，層次分明，具有創(chuàng)新意識，試卷充滿活力、信度和效度，受到了社會各界廣泛的關(guān)注和高度的重視；各地的高考試題在前幾年保持相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了3個轉(zhuǎn)變，即主干知識更加突出、數(shù)學(xué)思想更加重要、思維能力更加強調(diào)，從而使試卷的難度有大幅度的提高．

課標(biāo)版的“集合與常用邏輯用語”部分在沿襲前幾年的考查知識和考查方式的基礎(chǔ)上與大綱版的考查內(nèi)容和方式上略有改變，考查的知識穩(wěn)中有變，考查的方式變中求新．下面從4個方面評析全國各地高考“集合與常用邏輯用語”部分的試題．

1 教學(xué)要求對比分析

集合與常用邏輯用語既是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識,又是高中數(shù)學(xué)的重要工具，可以說這部分內(nèi)容是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)．

本專題新課程的教學(xué)要求主要有2個方面：

(1)集合方面：了解集合概念方面的含義，理解子集、交集、并集、補集的含義及集合間的包含、相等等關(guān)系，會求2個集合的交集、并集及給定子集的補集，能用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系與運算．

(2)常用邏輯用語：了解命題，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”及4種命題；理解充分、必要、充要條件的意義及全稱量詞、存在量詞的含義；能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．

相對于大綱而言，新課程在集合與常用邏輯用語考查上主要是增加了“理解全稱量詞、存在量詞的含義”等要求．

2 命題特點和知識類型

2.1 命題特點

1．1 分值比重

從2010年全國各地的高考試題分析可知，這塊內(nèi)容一般在高考中占5%～10%，其中新課程高考試題一般占的比重比大綱版的稍大，主要是增加了對常用邏輯用語的考查．

2.1.2 考查內(nèi)容

集合的關(guān)系判定及集合間的運算、充要關(guān)系的判定、命題真假關(guān)系的判定等，其中新課程試題一般會考查新增的知識點“全稱量詞、存在量詞”．

2.1.3 命題規(guī)律

(1)集合知識一般以一個選擇題的形式出現(xiàn)，其中以集合知識為載體，集合與不等式、解析幾何知識相結(jié)合是考查的重點，難度一般在中檔偏下．

(2)對于邏輯用語的考查一般以一個選擇題或一個填空題的形式出現(xiàn)，以集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系為載體，考查充要關(guān)系或命題的真假判斷，難度一般不大．

2.2 知識類型

2.2.1 集合概念與運算

(1)對集合基本概念的認(rèn)識和理解水平，如集合的表示法、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、集合的運算等；

(2)以集合為工具考查集合語言和集合思想的應(yīng)用水平，在考查集合知識的同時突出考查準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言的能力及用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決問題的能力；

(3)以集合為載體考查對信息的收集、捕捉、加工的能力．

2.2．2 常用邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題的概念和命題的結(jié)構(gòu)；

(2)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的運用，2個量詞的運用；

(3)命題的4種關(guān)系判斷，一般會穿插在其他題目的考查中．

3 亮點掃描

3.1 集合單考顯“純”

集合與常用邏輯用語知識塊中純考查集合知識的也是2010年的一個亮點，這類試題幾乎不與其他知識塊結(jié)合，純粹是運用集合知識考查集合知識，因而試題的難度也比較低，屬容易題．

例1已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，則

( )

A．M?NB．N?M

C．M∩N={2,3} D．M∪N={1,4}

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解M∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}.故選C.

點評本題主要考查集合的交集與子集的運算，給出的2個集合是有限的簡單整數(shù)集的子集，考查理解和應(yīng)用都較為輕松，屬容易題．在高考試題中,類似的題目還有湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題第1題等．

3.2 函數(shù)交匯顯“綜”

集合、常用邏輯用語與函數(shù)交匯盡顯綜合考查的目的，集合與函數(shù)的交匯可與函數(shù)的定義域、值域、對稱軸、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、周期等相結(jié)合考查函數(shù)與集合的知識與性質(zhì).這方面的試題難度屬中下，有的試題也是考生的易錯題．

例2函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對稱的充要條件是

( )

A．m=-2 B．m=2

C．m=-1 D．m=1

(2010年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點評常用邏輯用語與函數(shù)的對稱軸交匯,考查函數(shù)的圖像、性質(zhì)，既考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，也考查了常用邏輯用語的基本知識．在高考試題中,類似的題目還有福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題．

3.3 向量交匯顯“形”

平面向量也是數(shù)學(xué)運用中的一個重要工具，其重要性不言而喻，平面向量與集合、常用邏輯用語的交匯既體現(xiàn)了集合、常用邏輯用語的基本知識，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合中形的思想．

例3a,b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)=(xa+b)·(xb-a)為一次函數(shù)”的

( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由a⊥b，得a·b=0，則函數(shù)

f(x)=(xa+b)·(xb-a)=(b2-a2)x.

若|a|=|b|，則函數(shù)f(x)成為了常數(shù)函數(shù)，因此不一定成立；

反之，若f(x)=(xa+b)·(xb-a)為一次函數(shù)，則a·b=0，由a,b為非零向量，可知a⊥b.

綜上所述,應(yīng)選B．

點評常用邏輯用語與函數(shù)、平面向量交匯綜合考查，既有考查平面向量中的“形”的一面，也具有考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的功能，這類試題的設(shè)置有助于高考命題向“數(shù)學(xué)核心思想”邁進(jìn)．

3.4 邏輯用語顯“增”

常用邏輯用語中的全稱量詞和存在量詞是新增的內(nèi)容，因而也就成為了命題的一個亮點和熱點，重視新增內(nèi)容的考查也體現(xiàn)了命題者與教材編排者立意的統(tǒng)一．

例4下列命題中的假命題是

( )

A．?x∈R,2x-1>0 B．?x∈N*,(x-1)2>0

C．?x∈R,lgx<1 D．?x∈R,tanx=2

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解對于選項B,當(dāng)x=1時，(x-1)2=0.故選B.

點評對于常用邏輯用語的考查，主要是新增內(nèi)容2個量詞的考查，求解的關(guān)鍵是理解這2個量詞的意義和用法.在高考試題中,類似的題目還有安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題第11題．

3.5 信息交匯顯“新”

信息試題是高考數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新源，信息題就是根據(jù)文字、圖表、圖形、圖像等給出的數(shù)據(jù)信息，通過整理、加工、處理等手段去解決實際問題的一類題．在解答信息題時，首先要仔細(xì)觀察閱讀題目所提供的材料，從中捕捉有關(guān)信息(如數(shù)據(jù)間的關(guān)系與規(guī)律,圖像的形狀特點、變化趨勢等)，然后對這些信息進(jìn)行加工處理，并聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識，從而實現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)換，使問題順利獲解．

例5記實數(shù)X1,X2,…,Xn中的最大數(shù)為max{X1,X2,…,Xn},最小數(shù)為mix{X1,X2,…,Xn}.已知△ABC的3條邊長為a,b,c(a≤b≤c),定義它的傾斜度為

則“l(fā)=1”是“△ABC為等邊三角形”的

( )

A．充分而不必要的條件

B．充要條件

C．必要而不充分的條件

D．既不充分也不必要的條件

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解若△ABC為等邊三角形，a=b=c，則

于是l=1；若△ABC為等腰三角形，如當(dāng)a=2,b=2,c=3時，則

此時l=1仍成立,但△ABC不是等邊三角形.故選B.

點評求解集合和常用邏輯用語中的信息問題,一要認(rèn)真審題，二要結(jié)合集合、常用邏輯用語的意義；對于信息交匯問題,由于涉及到題目的知識背景新穎，對考生而言更具公平性，求解時需獨立思考分析問題與解決問題.在高考試題中類似的題目還有福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題．

4 復(fù)習(xí)建議

集合與常用邏輯用語的復(fù)習(xí)要注意把握2個知識點(集合和常用邏輯用語)、3個基本原則(基礎(chǔ)知識理解、基本方法掌握、基本概念應(yīng)用)．

對于集合知識在復(fù)習(xí)中首先應(yīng)深刻理解和把握集合、元素、子集、交集、并集、補集、命題、充要條件、邏輯聯(lián)結(jié)詞及2個量詞的含義；其次是要抓好基本概念與運算的落實和對集合語言的識讀理解能力；第三是要學(xué)會利用韋恩圖、數(shù)軸、函數(shù)的圖像等解題手段和策略，真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想,學(xué)會用等價轉(zhuǎn)化思想處理有關(guān)問題．

對于常用邏輯用語的復(fù)習(xí),首先是要理解各種邏輯用語的含義、表示方法、用法及注意事項，理解命題結(jié)構(gòu)及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，掌握4種命題的內(nèi)在聯(lián)系，熟練判斷充要條件；其次是要注意對于常用邏輯用語客觀題的訓(xùn)練，注意解答題中關(guān)鍵聯(lián)結(jié)詞的作用，并學(xué)會正確處理和化解．