2010年數(shù)學(xué)高考中有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的試題賞析

● (分水高級中學(xué) 浙江桐廬 311519) ● (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

1 教學(xué)要求和考查要求

新課標(biāo)清晰地闡述了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的重要地位和廣泛應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)它的基礎(chǔ)性和工具性，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心組成部分.近幾年全國各地的數(shù)學(xué)高考試題在強(qiáng)調(diào)函數(shù)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)屬性的同時也十分注重函數(shù)導(dǎo)數(shù)的工具性，解決的方法和手段也一改以往單一的手段，向既扎根定義又注重圖像更依賴導(dǎo)數(shù)的方向邁進(jìn).這充分體現(xiàn)了函數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心地位，也更多地給予了學(xué)生一種思維的訓(xùn)練和人文的關(guān)懷.

(1)高考知識點：理解和掌握各種初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；判別極大、極小值的方法；求函數(shù)最值的方法.

(2)教學(xué)注意點：必須在定義域內(nèi)研究函數(shù)的圖像、單調(diào)性、極值和最值；在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的零點是否為它的極值點.借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系,其關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù).

2 命題特點和知識類型

2.1 借助函數(shù)圖像的直觀，深刻理解函數(shù)的性質(zhì)

華羅庚先生說過“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”.近幾年,高考中關(guān)于函數(shù)的考查更注重數(shù)與形的結(jié)合.

( )

A.(1,10) B.(5,6)

C.(10,12) D.(20,24)

(2010年寧夏數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析1如圖1,畫出函數(shù)的草圖.不妨設(shè)a>b>c，從圖像中容易看出：

0

這樣不難估計,abc∈(10,12).

分析2設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=t，由圖像可知

t∈(0,1)，lga=-t，lgb=t，c=12-t,

于是

abc=10-t·10t·(12-2t)=12-2t.

又因為t∈(0,1)，所以

abc∈(10,12).

圖1

評注從題目的形式看這是一道常規(guī)試題，但從草圖中能直接得到abc的取值范圍還是出乎意料的.分析2其實是受到圖像的啟發(fā)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,也是干凈利落的.

例2已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)x∈(1,2]時，f(x)=2-x.

給出如下結(jié)論：①對任意m∈Z，有f(2m)=0；②函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞)；③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得(a,b)?(2k,2k+1)”.其中所有正確結(jié)論的序號是________.

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2

分析1如圖2,畫出滿足條件的函數(shù)的草圖. 觀察圖像，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論①,②,④正確.

分析2①因為

f(2m)=f(2·2m-1)=2f(2m-1)=…=

2m-1f(2)=0，

所以結(jié)論①正確.

②取x∈(2m,2m+1]，則

得

于是

從而

f(x)∈[0,+∞)，

即結(jié)論②正確.

③由上面的分析知,當(dāng)2n+1∈(2n,2n+1]時，

f(2n+1)=2n+1-(2n+1)=2n-1.

顯然2n-1=9無整數(shù)根，因此結(jié)論③錯誤.

④根據(jù)前面的分析易知,結(jié)論④正確.

評注利用分析2直接計算也許不是很復(fù)雜，但解決函數(shù)問題的首選要素應(yīng)該是函數(shù)的圖像.

2 借助導(dǎo)數(shù)工具的簡易，揭示函數(shù)的本質(zhì)屬性

函數(shù)導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心地位隨著新課標(biāo)的推進(jìn)而進(jìn)一步加強(qiáng)，它既是研究函數(shù)的有利工具，又是對學(xué)生進(jìn)行理性訓(xùn)練的良好素材，可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的簡易性和變易性的特點.

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析觀察待證式的結(jié)構(gòu)，可先證不等式

成立，然后累加即得.因此只需證明

成立即可，即證函數(shù)

成立.因為

所以函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，即

從而得到部分不等式

這也可能是命題人獲得這個問題的最初方法.

例4已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.設(shè)a<-1，若對任意的x1,x2∈(0,+∞)，有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范圍.

(2010年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解得

3 亮點掃描

函數(shù)導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，是全國各地高考的重點內(nèi)容之一，函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式的相互滲透和交叉一直是高考的熱點和新的視點，可以說是?？汲Ｐ?2010年全國數(shù)學(xué)高考試題與函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的部分亮點題呈現(xiàn)出如下特點：

(1)考查函數(shù)圖像與性質(zhì)但不落俗套，給人耳目一新.

( )

A. B.

C. D.

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

(2)考查函數(shù)圖像平移，采用純數(shù)學(xué)語言表述，使問題變得新穎別致.

( )

A．4 B．6 C．8 D．10

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(3)考查問題貼近生活，就算是難題也樂于接受，特別是可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

例7某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10個人推選1名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選1名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)([x]表示不大于x的最大整數(shù))可表示為

( )

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

4 復(fù)習(xí)建議

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像、性質(zhì)、證明不等式和解決一些實際問題的有力工具，在高考復(fù)習(xí)中要把握好3個層次：第1層次主要掌握基本初等函數(shù)圖像性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的基本概念和常見實際背景，求導(dǎo)公式(c，sinx，cosx，ex，ax，xn，lnx，logax的導(dǎo)數(shù))和求導(dǎo)法則；第2層次是掌握導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的增減性等；第3層次是能綜合應(yīng)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)解決復(fù)雜問題，利用導(dǎo)數(shù)知識解決有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布等綜合試題.

筆者建議如下：

(1)無論何種教輔材料都不能作為教學(xué)的主要依據(jù)，復(fù)習(xí)時一定要回歸教材.課本是試題的基本來源，大多數(shù)試題都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工和發(fā)展的結(jié)果.

(2)要把更多的注意力放在核心概念、基本數(shù)學(xué)思想方法上，不要片面追求所謂的新題和難題;要注重通性通法，不追求“特技”，…….

(3)研究課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱，領(lǐng)會高考樣卷.高考命題以課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱、考試說明(以及樣卷)為指導(dǎo)，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)的實際，這是高考命題的主要依據(jù).

(4)高等數(shù)學(xué)的基本思想、基本問題為高考題的命制提供背景，這既是高考考查潛能的需要，也是命題者學(xué)術(shù)背景使然.

因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)依托考試大綱、考試說明，立足課本、課程標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)資源、歷屆高考試題、初高等數(shù)學(xué)的銜接地帶和數(shù)學(xué)競賽試題這幾個方面.做到知己知彼，方能運(yùn)籌于帷幄之中.