以整數(shù)冪為元素的連分數(shù)對數(shù)的線形型下界

莊晨婕

(杭州師范大學 理學院，浙江 杭州 310036)

1 引言與預(yù)備知識

自A.Baker[1-3]對代數(shù)數(shù)的對數(shù)的線性形式的下界做出開創(chuàng)性成果以來，關(guān)于對數(shù)線性型下界估計的研究一直是超越數(shù)論研究中的中心課題，并不斷出現(xiàn)新的有成效的方法和成果[4-5].1991年，朱堯晨[6]給出了一類超越連分數(shù)代數(shù)無關(guān)性的結(jié)果.于秀源等[7-8]給出了一類連分數(shù)的超越性，以及以anx(an為正整數(shù))為元素的連分數(shù)的對數(shù)的線性型的下界估計，該文對一類以整數(shù)冪為元素的連分數(shù)對數(shù)的線性型下界給出了估計.

文獻[8]給出了下面的定理：

定理A設(shè){an}是給定的正整數(shù)列，α與β是用連分數(shù)定義的函數(shù)

在兩個不同的正整數(shù)點的值.

i)μ(x)=μn，n=1，2，…；

ii)μ(x)在區(qū)間[n，n+1]上是線形函數(shù).

用μ*(x)表示μ(x)的反函數(shù).

其中A=max{λ(μ*(logH+1)+1),λ(μ*(logH+1)+2)}.

設(shè)x1,x2∈N*,1

p1(x)=1,q1(x)=xa1,p2(x)=xa2，q2(x)=xa1+a2+1,

pn(x)=xanpn-1(x)+pn-2(x),qn(x)=xanqn-1(x)+qn-2(x) (n≥3)，

(1)

α=f(x1),β=f(x2).

如所知[9]

(2)

容易看出，對于n=2,3,…，有

(3)

由式(1)得到

以及

(4)

同理，有

2 引 理

證明需證明對于任意不全為零的正整數(shù)k，l，

logsnlogqn+1=logqnlogsn+1.

(6)

由式(1)有

(7)

(8)

于是，若引理結(jié)論不成立，則由式(6)-(8)，得到

(9)

其中

由式(4)及式(5)，有估計

(10)

(11)

由式(9)-(11)以及假設(shè)條件得到

這是一個矛盾,從而引理結(jié)論得證.

引理2[1,10]設(shè)α1,…,αn；β1,…,βn是兩組代數(shù)數(shù)，αi不為0或1，βj不全為0，用logαi表示對數(shù)主值，記

m=degQ(α1,…,αn)，H=max{|β1|,…,|βn|,e},Ti=max(H(αi),e),1≤i≤n.

若Λ=β1logα1+…+βnlogαn≠0，則

|Λ|≥exp(-(16mn)2(n+2)logT1…logTnlogH).

|Λ|=|klogα+llogβ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

(12)

證明由引理1，存在只與α,β有關(guān)的常數(shù)n0，使得當n≥n0時，有

(13)

(14)

此外，有

(15)

(16)

由式(14)，(16)得到

|Λ|>exp(-(c0log2snlogH))-c3Hwn.

(17)

顯然，存在常數(shù)c4，使得

c0log2snlogH+logH+logwn+logc3

(18)

由式(17)及式(18)，有

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c0log2snlogH+logH+logwn+logc3))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

3 定理及證明

取數(shù)列{μn}，μn=min{-(c4log2sn)-1logc3wn，-(c4log2sn+1)-1logc3wn+1}.用下面的方式定義數(shù)列{μn}的擴展函數(shù)μ(x)，且μ(x)是遞增函數(shù)：

i)μ(x)=μn，n=1，2，…；

ii)μ(x)在區(qū)間[n，n+1]上是線形函數(shù).

用μ*(x)表示μ(x)的反函數(shù).

定理1設(shè)上面引理3中的假設(shè)條件成立，k，l是不全為零的整數(shù)，并且

μ(n+1)-μ(n)>1(n≥1),存在常數(shù)c0和c4,則有

|Λ|=|klogα+llogβ|>exp(-c0AlogH)(1-exp(-c4A))，

其中A=max{λ(μ*(logH+1)+1),λ(μ*(logH+1)+2)}.

證明以n表示使

μ(n-1)

(19)

成立的最小正整數(shù).使用引理2中的記號，可以分兩種情況進行考慮.

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn)).

(20)

由式(19)，得到

|Λ|>exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2snlogH+logc3wn))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2sn(logH+(c4log2sn)-1logc3wn)))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(c4log2sn(logH-μn)))>

exp(-c0log2snlogH)(1-exp(-c4log2sn)).

(21)

為了敘述簡便，引用文獻[8]中的符號，記λn=log2sn.由式(19)，有

μ*(logH+1)≤n<μ*(logH+1)+1，

結(jié)合上式與式(21)，并注意到λn→∞(n→∞)，給出

|Λ|>exp(-c0λnlogH)(1-exp(-c4λn))>

exp(-c0λ(μ*(logH+1)+1)logH)(1-exp(-c4λ(μ*(logH+1)+1))).

(22)

|Λ|>exp(-c0λn+1logH)(1-exp(c4λn+1logH+logc3wn+1))，

類似于情況I中的證明，同理可以得到

|Λ|>exp(-c0λn+1logH)(1-exp(-c4λn+1))>

exp(-c0λ(μ*(logH+1)+2)logH)(1-exp(-c0λ(μ*(logH+1)+2))).

(23)

聯(lián)合式(22)與(23)，并注意到λn的定義，便證得此定理結(jié)論.

[1] Baker A, Wustholz G. Logatithmic forms and group varieties[J]. J Reine Angew Math,1993,442:19-62.

[2] Baker A. The theory of linear forms in the logarithms. Diophantine approximations and its applications[M]. New York: Academics Press,1973：1-23.

[3] Baker A. Transcendental number theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1979.

[4] 王莉，于秀源.關(guān)于∏有理逼近的注記[J].杭州師范大學學報:自然科學版,2008,7(1):9-11.

[5] 徐傳勝,李紅婷,韓振來.數(shù)學史和數(shù)學課程整合的實現(xiàn)途徑[J].山東師范大學學報:自然科學版,2008,23(4):128-131.

[6] Zhu Yaochen. The algebraic independence of certain transcendental continued fractions[J]. Acta Math Sinica NS,1991,7(2):127-134.

[7] Yu Xiuyuan. A theorem on the transcendence and its applications[J]. Science in China(A),1997,40(8):826-831.

[8] 于秀源，沈忠華.連分數(shù)對數(shù)的線性型下界[J].數(shù)學年刊,2009,30A(3):353-358.

[9] 華羅庚.數(shù)論導引[M].北京:科學出版社，1986.

[10] Diophantine. Approximations, diophantine equations, transcendence and applications[J]. Indian Jour of Pure and Applied Math,2006,37:9-39.