旋轉(zhuǎn)
——轉(zhuǎn)出解題新天地

●(實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 湖北監(jiān)利 433300)

文獻(xiàn)[1]對(duì)2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題進(jìn)行了較為詳實(shí)的解題分析與教學(xué)反思，筆者讀后深受啟發(fā)、受益匪淺,但總覺(jué)得美中不足．如果此題能打破常規(guī)思維，運(yùn)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，從旋轉(zhuǎn)的角度出發(fā)，化動(dòng)為靜、以靜制動(dòng)，那么將會(huì)是別樣精彩，更是一片新天地．

圖1

題目在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(2)設(shè)P為平面上的一點(diǎn)，且滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1 通性通法定乾坤

數(shù)學(xué)解題中的通性通法是指解題中的一些通用的、常用的方法．突出通性通法，全面考查雙基，是高考命題的一貫原則．因此，重視通性通法、返璞歸真，把最基本的思路方法教給學(xué)生，恰是新課程理念的內(nèi)涵之一．本題的背景源于課本，以直線和圓2個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)為載體，體現(xiàn)了由淺入深、由表及里、由靜制動(dòng)的思維方式，主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、綜合分析問(wèn)題等基本能力．

分析第(1)小題已知一點(diǎn)求直線方程，缺少斜率，通過(guò)圓的“特征三角形”(半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形)，由勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于斜率的方程．第(2)小題易得到弦心距相等，關(guān)鍵是要理解滿足存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，這樣才能得到對(duì)字母m,n的要求，列出等式．

解(1)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)，即

kx-y-4k=0.

由垂徑定理得圓心C1到直線l的距離為

結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得

化簡(jiǎn)得

24k2+7k=0,

解得

故直線l的方程為

即

y=0或7x+24y-28=0.

kx-y+n-km=0,

和

因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，且兩圓半徑相等,所以由垂徑定理得：圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故

化簡(jiǎn)得

(2-m-n)k=m-n-3,

或

(m-n+8)k=m+n-5.

關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，則

點(diǎn)評(píng)第(1)小題的解法是通法，是代數(shù)和幾何相結(jié)合的方法——直接引入斜率，利用勾股定理、點(diǎn)到直線的距離公式求斜率，重點(diǎn)考查了學(xué)生綜合運(yùn)用已知條件的能力．第(2)小題的解法是代數(shù)解法——直接設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)及參數(shù)k的方程,重點(diǎn)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

2 旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)出新天地

“探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”．對(duì)于一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題，教師要千方百計(jì)地引導(dǎo)學(xué)生全面觀察、深入思考、獨(dú)特分析，全方位、多角度、多層次地探索發(fā)現(xiàn)，力爭(zhēng)在常規(guī)解法上提出新穎的解法．本題條件中的“無(wú)窮多對(duì)”既使點(diǎn)P充滿玄機(jī)，也使試題的求解透出一絲勝利的曙光，“無(wú)窮”中蘊(yùn)含了特殊與一般的關(guān)系，更蘊(yùn)含了探求的方向．

圖2

圖3

第(2)小題的分析過(guò)點(diǎn)C1任作一直線C1P，過(guò)點(diǎn)C2作C2P⊥C1P，垂足為P(如圖3)．若|C1P|=|C2P|，則把∠C1PC2繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，因?yàn)閳AC1和圓C2的半徑相等，所以角的2邊被圓C1和圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，滿足題意．因此，以C1C2為斜邊的等腰直角三角形的頂點(diǎn)即P為滿足條件的點(diǎn)．當(dāng)然，在求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)，方法也有很多種．

思路1設(shè)P(x0,y0).由PC1⊥PC2,且|C1P|=|C2P|，可得

化簡(jiǎn)得

解得

即

(x0+3)(x0-4)+(y0-1)(y0-5)=0,

化簡(jiǎn)得

又C1(-3,1),C2(4,5)，所以

易求得線段C1C2的垂直平分線方程為

聯(lián)立式(1)，式(2)即可求得．

又C1C2所在的直線方程為4x-7y+19=0，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且平行于C1C2的直線的方程為4x-7y+m=0，則

解得

點(diǎn)評(píng)第(1)小題是通過(guò)旋轉(zhuǎn)直線y=0，直觀感覺(jué)到直線AC1的另一側(cè)存在滿足條件的直線，從而去求直線的斜率．第(2)小題是通過(guò)旋轉(zhuǎn)直角∠C1PC2，因?yàn)榈认倚木鄬?duì)等弦，所以可得到無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線．動(dòng)態(tài)分析，可考查學(xué)生靈活思維的能力．

[1] 王忠．2009年江蘇卷解析幾何解題分析與教學(xué)反思[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2009(10):22-23.