一個(gè)經(jīng)典作圖題派生的最值問(wèn)題

●(金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

1 引例——類比聯(lián)想

例1幾何模型：

條件：如圖1，A，B是直線l同旁的2個(gè)定點(diǎn)．

問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。?/p>

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交直線l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小(不必證明)．

圖1

圖2

模型應(yīng)用：

(1)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)BD，由正方形對(duì)稱性可知，點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連結(jié)ED交AC于點(diǎn)P，則PB+PE的最小值是________.

(2)如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值.

(3)如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q,R分別是OA,OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．

圖3

圖4

評(píng)注這是一道2009年福建省漳州市的數(shù)學(xué)中考試題.命題者先給出了源于教材的一個(gè)經(jīng)典幾何作圖題，接著設(shè)計(jì)了模型應(yīng)用.第(1)、(2)小題是2個(gè)鋪墊問(wèn)題;在解決第(3)小題時(shí),學(xué)生已基本理解這個(gè)幾何模型的本質(zhì)：通過(guò)軸對(duì)稱變換將幾條線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上.具體方法：作點(diǎn)P關(guān)于OB，OA的對(duì)稱點(diǎn)M，N，連接OM，ON，MN分別交OB，OA于點(diǎn)R，Q，則△PQR周長(zhǎng)的最小值就是線段MN的長(zhǎng).由軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合題意,可知△MON為等腰直角三角形.又由OP=10,可求得MN的長(zhǎng).這個(gè)經(jīng)典幾何作圖題在不同背景下派生的最值問(wèn)題已成為2009年中考試題中一道亮麗的風(fēng)景線．

2 范例——應(yīng)用拓展

圖5

(2009年陜西省數(shù)學(xué)中考試題)

得

EH=4.

又M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，因此當(dāng)點(diǎn)M,N分別是EH與AD,AB的交點(diǎn)時(shí)，BM+MN為最小，即為線段HE的長(zhǎng)度，故BM+MN的最小值為4．

例3在平面直角坐標(biāo)系中，有A(3，-2)，B(4，2)兩點(diǎn),現(xiàn)另取一點(diǎn)C(1，n).當(dāng)n=________時(shí)，AC+BC的值最?。?/p>

(2009年湖北省孝感市數(shù)學(xué)中考試題)

簡(jiǎn)解過(guò)點(diǎn)C(1，n)且與y軸平行的直線為x=1，作點(diǎn)A(3，-2)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)A′(-1，-2)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，A′的直線與直線x=1的交點(diǎn)為C，此時(shí)AC+BC的值最小.將點(diǎn)B，A′的坐標(biāo)代入y=kx+b,并計(jì)算得

因此

評(píng)注點(diǎn)A,B是2個(gè)定點(diǎn)，且都在點(diǎn)C(1，n)的右側(cè)，使AC+BC的值最小的難點(diǎn)是沒(méi)直接給出點(diǎn)C所在的直線.但注意到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，知點(diǎn)C必在直線x=1上，從而可轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題．

例4湖北省恩施自治州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世．著名的恩施大峽谷(A)和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山(B)位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50 km，A,B到直線X的距離分別為10 km和40 km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A,B兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了2種方案，圖6是方案1的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為點(diǎn)P)，點(diǎn)P到A,B的距離之和S1=PA+PB，圖7是方案2的示意圖(點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A′，連結(jié)BA′交直線X于點(diǎn)P)，點(diǎn)P到A,B的距離之和S2=PA+PB．

(1)求S1,S2，并比較它們的大??；

(2)請(qǐng)你說(shuō)明S2=PA+PB的值為最??；

(3)擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30 km，請(qǐng)你在X和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P,Q，使P,A,B,Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小,并求出這個(gè)最小值．

(2009年湖北省恩施自治州數(shù)學(xué)中考試題)

圖6

圖7

簡(jiǎn)解(1)如圖6,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40.因?yàn)锳P=10,所以AC=30.在Rt△ABC中，AB=50，AC=30，得BC=40，于是

從而

如圖7，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AA′,垂足為C，則A′C=50.由BC=40，得

又由軸對(duì)稱知PA=PA′，因此

故

S1>S2.

(2)如圖7，在公路上任找一點(diǎn)M,連結(jié)MA,MB,MA′.由軸對(duì)稱知MA=MA′,因此

MB+MA=MB+MA′≥A′B,

故S2=BA′為最小.

圖8

圖9

(3)如圖9,過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)A′B′,交x軸于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求.過(guò)點(diǎn)A′,B′分別作x軸,y軸的平行線交于點(diǎn)G,則

評(píng)注數(shù)學(xué)源于生活.此題從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)探究最值問(wèn)題，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．

例5如圖10，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y=ax2上．

(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(2)平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的2個(gè)定點(diǎn)．

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式.

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2009年浙江省舟山市數(shù)學(xué)中考試題)

圖10

圖11

1°若將拋物線向右平移，則顯然有

A′D+CB′>AD+CB，

即不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短．

評(píng)注此題是一道中考?jí)狠S題，在拋物線平移中考查利用軸對(duì)稱性處理線段和的最值問(wèn)題，很好地引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不是把數(shù)學(xué)看成靜止的，這正考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

很多中考題的編制是課本習(xí)題的拓展和延伸，與一些經(jīng)典的基本圖形存在著一定的關(guān)系.教師若能認(rèn)真研究課本習(xí)題，抓住基本圖形的不變關(guān)系拓展延伸，進(jìn)行變式應(yīng)用，讓學(xué)生“不經(jīng)意”地解決問(wèn)題，則學(xué)生從中獲得的不僅是數(shù)學(xué)解題能力的提升，更是數(shù)學(xué)思維水平的提升．