“平均變化率”教學設計

●(艾青中學 浙江金華 321000)

1 內容和內容解析

內容：平均變化率的概念及其求法.

內容解析：本節(jié)課是高中數(shù)學(選修2-2)第一章《導數(shù)及其應用》的第一節(jié)變化率與導數(shù)中的變化率問題.本節(jié)內容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟.

本節(jié)課是起始課，對導數(shù)概念的形成起著奠基作用.平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數(shù)概念的基礎.在這個過程中，要注意特殊到一般、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的滲透.

新課標對“導數(shù)及其應用”內容的處理有較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關知識，也有別于以往教材將導數(shù)僅僅作為一種特殊的極限、一種“規(guī)則”來學習的處理方式，而是按照“平均變化率—瞬時變化率—導數(shù)的概念—導數(shù)的幾何意義”這樣的順序來安排，用“逼近”的方法定義導數(shù).這種概念建立的方式形象、直觀、生動,又易于理解，突出了導數(shù)概念的本質.

教學重點：函數(shù)平均變化率的概念.

2 目標和目標解析

目標：理解平均變化率的概念，掌握求平均變化率的一般步驟.

目標解析：(1)經(jīng)歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想，體現(xiàn)了數(shù)學知識來源于生活，又服務于生活;

(2)在信息技術環(huán)境下，可以使實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數(shù)形結合思想;

(3)通過應用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規(guī)律.

3 教學問題診斷分析

(1)學生學情分析

現(xiàn)有知識儲備:①直線的斜率；②物體運動的速度.

現(xiàn)有能力特征:具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力.

現(xiàn)有情感態(tài)度:對導數(shù)這一新鮮的概念具有強烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度.

(2)對于平均變化率概念的理解，學生的認知困難主要在于：用準確的數(shù)學符號語言刻畫圖像變化的快慢速度，這種由形到數(shù)的翻譯、從直觀到抽象的轉變對學生來說是比較困難的，因此在教學中可以從學生熟悉的身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運動速度等這些背景簡單的實際問題出發(fā)，利用圖像的陡升引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)值變化快慢的不同，并將這種不同用數(shù)學語言表達出來，從而使學生逐步概括出函數(shù)平均變化率的定義.

教學難點：函數(shù)平均變化率的概念.

4 教學支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學目標，準備計算機、投影儀、多媒體課件等增加課堂知識的交互性；用學生感興趣的名人身高，兒時的吹氣球游戲等寓教于樂，提高學生的興趣和課堂效率；用奧運健兒成功的事例，讓情感引領學生的學習熱情.

5 教學過程

5.1 簡單介紹、總體把握

(1)介紹微積分的創(chuàng)始人——牛頓和萊布尼茨.

設計意圖：通過播放牛頓和萊布尼茨的圖片(幻燈片展示)，向學生介紹微積分的產(chǎn)生是數(shù)學發(fā)展史上一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數(shù)學史上的里程碑.而牛頓和萊布尼茨在不斷地探索與研究中，各自獨立地創(chuàng)立了微積分，并對微積分的發(fā)展做了突出的貢獻.使學生初步了解相關的數(shù)學文化，感知科學家們不懈求真的科學態(tài)度與精神.

(2)微積分與4類科學問題.

一是已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度;反之，已知物體的加速度作為時間的函數(shù)，求速度與路程.

二是求曲線的切線.

三是求函數(shù)的最大值與最小值.

四是求長度、面積、體積和重心等.

設計意圖：利用章引言中提示的微積分的相關數(shù)學史，引導學生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，認識導數(shù)和定積分在研究和處理實際問題中的作用，從而激發(fā)學生學習本章內容的興趣.筆者建議學完本章內容后，再次引導學生閱讀章引言，以加深學生對導數(shù)的思想、方法和作用的體會.

5.2 創(chuàng)設情境，生成概念

5.2.1 實例分析、初探概念

情境1某運動員的身高曲線圖

設計意圖：把生活中某運動員的身高曲線圖引入課題(如圖1)，以激發(fā)學生的學習興趣，為生成函數(shù)平均變化率提供實際背景.

師生活動：引導學生從圖1中觀察得到某運動員的身高隨年齡的變化情況.在13～16年齡段中，身高增長最快.進一步探究得，需用“身高的增長量與年齡的增加量”的比值來刻畫這一問題，而這個比值就是身高的年平均增長率,即平均變化率.

圖1

圖2

情境2氣溫“陡升”

現(xiàn)有某市2009年3月18日至4月20日中某天的日最高氣溫記載,如圖2所示.

設計意圖：再次讓學生從“形”中感受生活中的變化率問題——氣溫陡升，為生成函數(shù)平均變化率提供了又一個實際背景.

師生活動：引導學生從圖2中觀察得到溫度的變化情況，進一步探究得到，需用“氣溫的增加量與時間的增加量”的比值來刻畫氣溫變化的快慢，而這個比值就是氣溫的平均變化率.

5.2.2 探究過程、感悟概念

情境3氣球平均膨脹率

在吹氣球的過程中可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢.如何從數(shù)學的角度描述這種現(xiàn)象呢？

設計意圖：“對生活現(xiàn)象作數(shù)學解釋”不僅可以激發(fā)學生深入探究的興趣，而且可以讓學生感受到數(shù)學是有用的.問題中涉及到氣球內空氣容量，即氣球體積V，氣球半徑r這2個變量.“隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，從數(shù)學角度進行描述就是“隨著氣球體積的增大，半徑的增加量與體積的增加量的比值越來越小”，而這個比值就是氣球的平均變化率.

師生活動：一個學生利用打氣筒給氣球打氣，連續(xù)打2次，每次打10下(盡量做到每次打入的空氣體積相同)，讓另一個學生用直尺測量2次的氣球直徑，直觀感受氣球的平均變化率.由球的體積公式推導出半徑關于體積的函數(shù)解析式，然后通過計算，用數(shù)據(jù)來回答問題，解釋上述現(xiàn)象.

思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

設計意圖：把情境3中的具體數(shù)據(jù)運算抽象到一般的字母表示,為生成函數(shù)平均變化率概念作鋪墊.

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.

情境4高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態(tài)，那么：(1)在0≤t≤0.5這段時間里,運動員的平均速度是多少？(2)在1≤t≤1.5這段時間里，運動員的平均速度為多少？

設計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種運動，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣設計可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數(shù)學知識學習的干擾.通過計算為生成函數(shù)平均變化率概念提供了又一實際背景.

師生活動：教師播放郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運會上的跳水比賽錄像，讓學生重溫奧運會的輝煌成就，從而進一步激發(fā)愛國熱情，并在情境中感受速度變化.學生通過計算回答問題，對第(2)小題的答案說明其物理意義.

5.2.3 歸納概括、恰當表征

歸納定義：根據(jù)之前的4個情景，歸納概括出平均變化率的概念：

函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率的定義：

令Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則

設計意圖：結合具體問題的實際意義,抽象得到變化率的定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，完成了思維的飛躍.

探究1平均變化率的幾何意義是什么？

設計意圖：概念是文字表述，只是數(shù)量角度的描述，通過之前的例子，從圖形角度體會平均變化率的幾何意義.數(shù)形結合掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重、難點，體驗數(shù)學的簡約美.

師生活動：教師再次展示“氣溫陡升”的圖片，引導學生仔細觀察圖像，直觀感知、體會平均變化率的幾何意義.

5.3 應用舉例，強化概念

5.3.1 聯(lián)系實際、感受平均變化率

設計意圖：感受數(shù)學來源于生活，又服務于生活.

師生活動：鼓勵學生思考并舉例說明生活中平均變化率的例子,教師結合學生所舉的實例進行恰當?shù)胤治龊鸵龑В沂颈举|.

5.3.2 變式訓練、鞏固概型

探究2分別求以下函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的平均變化率.

(1)f(x)=2;

(2)f(x)=-2x+1;

(3)f(x)=x2.

變式1求函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率．

變式2求函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,1.1],[1,1.01],[1,1.001]上的平均變化率.

設計意圖：結合前面所學的3類基本初等函數(shù)感受平均變化率,加深學生對平均變化率內涵及幾何意義的理解.變式1中平均變化率為“0”這一現(xiàn)象引起學生的好奇，進一步為聯(lián)系“高臺跳水”中平均速度為0，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態(tài).為了能更精確地刻畫出物體運動，有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度，為下一節(jié)瞬時變化率的講解作鋪墊.

師生活動：每生一題，認真板演.教師巡視并規(guī)范過程.

5.4 歸納總結、內化知識

設計意圖：讓學生自己小結，不只是總結知識更重要的是總結數(shù)學思想方法.這是一個知識重組的過程，是一個多維整合的過程，也是一個高層次的自我認識過程，可以幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣.

師生活動：學生小結，必要時其他學生補充、完善，教師適時點評.

6 作業(yè)布置、升華提煉

設計意圖：作業(yè)是學生信息的反饋，在作業(yè)中可以發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足，同時注重個體差異、因材施教.作業(yè)1是知識的鞏固與升華；作業(yè)2起到承上啟下的作用，并鍛煉學生自主探究的能力.

(1)作業(yè)本：變化率問題第1頁第2題.

①運動員在這段時間里是靜止的嗎?

②你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

本教學設計的總體思路：荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾從數(shù)學教育的特點出發(fā)，提出了以下4個數(shù)學教學的原則：“數(shù)學現(xiàn)實”原則，“數(shù)學化”原則，“再創(chuàng)造”原則，“嚴謹性”原則.筆者認為，對于本節(jié)課學習的概念“平均變化率”，學生的“數(shù)學現(xiàn)實”是他們非常熟悉的4個情境——身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運動速度以及對相關圖形的直觀認識；在教師的引導下，通過學生自己的運算和思考，即“再創(chuàng)造”的過程，將形的問題用數(shù)量予以精確刻畫；對4個問題的共同屬性抽象概括而得出“平均變化率”的定義，即“數(shù)學化”的過程，再對定義進行變式，并從數(shù)和形2個角度加深對“平均變化率”的理解，最后實現(xiàn)對“平均變化率”概念的意義建構.