一類*-富足半群的弱半直積結(jié)構(gòu)

邱傳林, 李勇華

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

邱傳林, 李勇華*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

引入了一類°-富足半群,該類半群真包含了GC-lpp半群,利用左正則帶和°-恰當(dāng)半群給出這類半群的弱半直積的結(jié)構(gòu).

°-富足半群; 弱半直積; 富足半群

1 概念和基本性質(zhì)

設(shè)S是一個半群,E(S)表示S上的全體冪等元的集合,記ρ是S上的等價關(guān)系,若每一個ρ-類都含有S的冪等元,則稱S是ρ-富足的.

推廣正則半群的一種方法是考慮推廣格林關(guān)系,這種思想首先由PASTIJN[1]提出,他將通常的格林關(guān)系推廣到格林*-關(guān)系:

一個半群S稱為*-富足的(～-富足的)半群當(dāng)且僅當(dāng)S既是*-富足的富足的)又是*-富足的富足的),在文獻(xiàn)[3]中,*-富足半群稱為富足半群,在文獻(xiàn)[2]中,～-富足半群稱為半富足半群.半群S上的等價關(guān)系()和*(*)都是右(左)相容的,但對來說,一般不成立[4]. 在1977年,FOUNTAIN[5]研究了*-富足半群(在文獻(xiàn)[5]中稱為rpp半群).在文獻(xiàn)[3]中FOUNTAIN中引入了左類型A半群的概念,一個左類型A半群S是一個*-富足半群且滿足下面條件：(1)S的冪等元集形成一個半格；(2)對所有的xS和eE(S),存在fE(S)使得f與xe是*-相關(guān)的且xe=fx.在文獻(xiàn)[6]中,GUO等人引入了左GC-lpp半群S：(1)S是*-富足半群；(2)S的冪等元集形成左正則帶；(3)對所有的xS和eE(S),存在fE(S)使得f與xe是*-相關(guān)的且xe=fx.并且用2種方法刻畫了這類半群的結(jié)構(gòu).

注釋①定義了半群S上的關(guān)系:

={(a,b)S×S:(?xS)xa=a?xb=b}.

例1①假設(shè)a,b,c和d是無限單演半群,令S=a∪b∪c∪d∪{e},其中ea∪b∪c∪d,其乘法Cayley表如下

設(shè)S是°-富足半群,且滿足條件：(1)E(S)是左正則帶；(2)S滿足條件(AL).我們稱這樣的半群為 左GC--lpp半群.本文主要給出滿足條件(CL)的左GC--lpp半群的弱半直積結(jié)構(gòu).

本文采用文獻(xiàn)[7]中的記號和術(shù)語. 下面給出一些常用的結(jié)論.

(1)ae；

證明若ae,則e·e=e推出ea=a.所以條件(1)推出條件(2).

命題1 設(shè)S是°-富足半群,φ:S→T是半群同態(tài),則下面的條件等價：

(1)φ是°-同態(tài)；

(2)對S的每個元素a,總存在與a是°-相關(guān)的冪等元e使得φa°(T)φe.

我們說半群S上的同余ρ是-同余當(dāng)且僅當(dāng)自然同態(tài)ρ:S→S/ρ是-同態(tài).由引理1和命題1有

推論1 設(shè)ρ是-富足半群S上的同余,則下面條件等價：

(1)ρ是一個-同余；

(2)對S的每一個元素a,存在與a是-相關(guān)的冪等元e使得對任意的xS,(xa,a)ρ推出(xe,e)ρ.

f=ef=efe=ee=e.

按定義可以驗證S是左GC--lpp半群,而S沒有冪等元和a是*-相關(guān)的,所以S不是*-富足半群,從而不是左GC-lpp半群.

命題2 設(shè)S是-富足半群,且其冪等元形成左正則帶，則下列條件等價：

(1)S滿足條件(AL).

證明(1)?(2)：因為ae=(ae)+a,所以有Sae?Sa∩Se；顯然,Sa∩Se?Sae.故Sa∩Se=Sae.

(2)?(3)：這是顯然的.

ae=(ae)+ae=(ae)+ba=(ae)+(ae)+ba=

(ae)+(ae)+b(ae)+a=(ae)+a,

滿足要求.□

在這一節(jié)中,若沒有說明,總是假定半群S是左GC--lpp半群.我們從下面的引理開始.

b+a+a=b+a=b+eb=b+b=b,

這可以得到bνa,類似上面的證明,我們可以得到E(a+)≥E(b+)；所以E(a+)=E(b+).□

命題3ν是S上的最小-同余使得S/ν是滿足條件(AL)的-恰當(dāng)半群.

b+(ac)+ac=(b+a)c=bc.

因為E((ac)+)≤E(e),所以E(b+(ac)+)=E((ac)+),從而acνbc.所以ν是右相容的.

接著,和上面同樣的記號,注意到ca=ceb,有

ca=ceb=(ce)+cb=(ce)+c(b+a)=

(ce)+(cb+)+(ca)

和(ca)+=(ce)+(cb+)+(ca)+,這意味著E((ca)+)≤E((cb+)+).接著,

cb=cb+a=(cb+)+ca=(cb+)+(ca)+ca

最后,假設(shè)ρ是S上的-同余，使得S/ρ是滿足條件(AL)的-恰當(dāng)半群. 設(shè)c,dS且有(c,d)ν,則存在gE(d+)使得c=gd. 因為關(guān)系νE(S))是半格, 所以νE(S).由gν=d+ν,我們得到gρ=d+ρ,所以推出

cρ=gρdρ=d+ρdρ=dρ.

引理4∩ν=ιS,其中ιS是S上的恒等關(guān)系.

引理5S上的同余關(guān)系ν是冪等純的,從而E(S/ν)同構(gòu)于E(S)/(E(S))且S/ν是-恰當(dāng)半群.

引理6S/ν滿足條件(AL).

aνeν= (ae)ν=((ae)+a)ν=(ae)+νaν=

(aeν)+aν=(aνeν)+aν,

所以引理成立.□

引理7 設(shè)S是一個左GC--lpp半群,eE(S),aS. 若eE(a+),則(ea)+=e.

3 弱半直積結(jié)構(gòu)

設(shè)T是一個滿足條件(CL)和(AL)的-恰當(dāng)半群且其冪等元集為半格Y,令L=(Y;Lα)為左正則帶L在左零帶Lα(αY)里的半格分解.記End(L)為半群L到L的自同態(tài)集,假設(shè)φ是從T到End(L)的映射且滿足下面2個條件：

(x,u)·(y,v)=(x(φuy),uv).

因為T滿足(CL),所以有uvuv+和(uv)+=(uv+)+,從而φuyL(uv)+.更多的,因為

(uv)+=(u+(uv))+=u+(uv)+,

引理8 (WS,·)是一個半群.

直接驗證可得引理8.

上面給出的半群(WS,·)稱為L和T的關(guān)于φ的弱半直積.

命題4 下面的結(jié)論在(WS,·)中成立.

(2)E(WS)是一個左正則帶.

(3) (x,u)(y,v)當(dāng)且僅當(dāng)x=y.

(4)WS是一個滿足(CL)的左GC--lpp半群.

(5) (x,u)ν(y,v)當(dāng)且僅當(dāng)u=v.

(x,α)·(y,β)·(x,α)=
(x(φαy),αβ)·(x,α)=
(x(φαy)(φαβx),αβα)=
(x(φαy),αβ)=(x,α)·(y,β).

這說明E(WS)是一個左正則帶.

(3)我們首先證明(x,u)(x,u+).設(shè)(k,v)WS，使得(k,v)·(x,u)=(x,u),則k(φvx)=x和vu=u,后面的等式推出vu+=u+. 從而可以推出

(k,v)·(x,u+)=(k(φvx),vu+)=(x,u+).

由上面的結(jié)果,結(jié)合下面的事實

(x,u+)·(x,u)=(x(φu+x),u+u)=
(xx(φu+x),u)=(x,u),

我們立即得到(x,u)(x,u+).

同樣,由上面的證明,可以更進(jìn)一步地推出

(x,u)(y,v) ?(x,u+)(y,v+)

?(x,u+)=(y,v+)·(x,u+)，(y,v+)=(x,u+)·(y,v+)

?x=y(φv+x),y=x(φu+y),

u+=v+u+,v+=u+v+

?x=y，u+=v+

?x=y.

這證明了(3).

(x,u)·(y,α)= (x(φu+y),uα)=

(x(φu+y)x,(uα)+u)=

(x(φu+y),(uα)+)·(x,u)=

(x(φu+y),uα)+·(x,u)=

((x,u)·(y,α))+·(x,u).

這說明了WS滿足條件(AL).

?u=v.

證畢.□

引理9 映射θ:T→S/ν,xxν是一個同構(gòu)映射.

θ(x*y)=(xy)ν=xνyν=θ(x)θ(y),

所以θ是一個同構(gòu)映射.□

ψu(yù):E→E,x(ux)+,

則ψu(yù)明顯是E到自身的映射.

引理10ψu(yù)是E的自同態(tài).

ψu(yù)(xy)=(uxy)+=((ux)+uy)+=
(ux)+(uy)+=ψu(yù)(x)ψu(yù)(y).

這證明了ψu(yù)是E到自身的自同態(tài).□

引理11 映射

ψ:T→End(E),uψu(yù)

滿足條件(WS1)和(WS2).

ψu(yù)ψv(x)=ψu(yù)(vx)+=

(u(vx)+)+=(uvx)+=

(e(u*v)x)+=e((u*v)x)+=

所以ψu(yù)ψv=eψu(yù)*v,故條件(WS2)成立.□

命題5S同構(gòu)于WS(E,T;ψ).

證明我們僅僅需要證明映射

θ:S→WS(E,T;ψ),s(s+,u) (uT∩sν)

s+(ψu(yù)(t+))=s+(ut+)+=(s+ut+)+=

(st+)+=(st)+

和

θ(s)θ(t)=(s+,u)(t+,v)=(s+(ψu(yù)(t+)),u*v)=

((st)+,u*v)=θ(st).

綜上所述,θ是一個從S到WS上的同構(gòu)映射. □

從命題5和命題4,我們得到關(guān)于滿足條件(CL)的左GC--lpp半群的構(gòu)造定理.

定理1 每一個左正則帶和滿足條件(CL)和(AL)的-恰當(dāng)半群構(gòu)成的弱半直積都是一個滿足條件(CL)的左GC--lpp半群.反之,任意一個滿足條件(CL)的左GC--lpp半群都能用這種方式構(gòu)造.

注釋：

[1] PASTIJN F. A represention of a semigroup by a semi-group of matrices over a group with zero[J]. Semigroup Forum, 1975, 10: 238-249.

[2] EL-QALLALI A. Structure theory for abundant and related semigroups[D]. Heslington: University of York, 1980.

[3] FOUNTAIN J B. Adequate semigroups[J]. Proc Edinburgh Math Soc, 1979, 22(3): 113-125.

[4] FOUNTAIN J B, GOMES G M S,GOULD V. A Munn type representation for a class of E-semiadequate semi-groups[J]. J Algebra, 1999, 218: 693-714.

[5] FOUNTAIN J B. A class of right pp monoids[J]. Quart J Math Oxford, 1977, 28(2): 285-300.

[6] GUO X, GUO Y,SHUM K P. Left abundant semigroups[J]. Communications in Algebra, 2004,32(6): 2061-2085.

[7] HOWIE J M. An introduction to semigroup theory[M]. San Diego: Academic Press, 1976.

Keywords：°-abundant semigroup; weak semidirect product; abundant semigroup

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

WEAKSEMIDIRECTPRODUCTSTRUCTUREOFACLASSOF°-ABUNDANTSEMIGROUPS

QIU Chuanlin, LI Yonghua

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631)

A class of°-abundant semigroups is introduced which contains properly the GC-lpp semigroups, and then a weak semidirect product structure of this class of semigroups is established by using left regular bands and°-adequate semigroups.

2009-04-08

邱傳林(1982—),男,廣東汕頭人,華南師范大學(xué)2006級(2009屆)碩士研究生,現(xiàn)任職于廣州市第二中學(xué)，Email:qiuchuanlin@126.com; 李勇華(1955—),男,江西南昌人,博士,華南師范大學(xué)教授, 主要研究方向: 基礎(chǔ)代數(shù), Email: liyh@scnu.edu.cn.

*通訊作者

1000-5463(2010)02-0004-05

O152.7

A