度量空間上的位勢(shì)空間容量與Hausdorff測(cè)度

陳 波,陶繼成

(1.暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系,廣東廣州510632;2.中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,浙江杭州310018)

度量空間理論一直受到研究者的重視,眾所周知,對(duì)度量空間的研究與分形的研究是緊密相關(guān)的,尤其對(duì)不確定度有重要研究[1,2].所謂度量空間就是一個(gè)非空集X相伴于一個(gè)度量或者擬度量d(x,y)滿足條件:

1)d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y,且d(x,y)≥0;

2)d(x,y)=d(y,x);

3)d(x,y)≤c(d(x,z)+d(z,y)),其中c=1,稱d(x,y)為一度量,否則稱為擬度量,c＞0且x,y,z∈X.

一般我們有(X,d)上的一Borel正則測(cè)度使得每個(gè)在X中的度量球的測(cè)度有限而且為正.有時(shí)稱(X,d,μ)為度量測(cè)度空間,簡(jiǎn)稱為度量空間,同時(shí)我們一般設(shè)測(cè)度μ滿足雙倍測(cè)度條件,即存在常數(shù)c＞0使得

其中B(x,r)為圓心為x、半徑為r的球.稱有雙倍測(cè)度的度量空間為齊型空間.

我們知道關(guān)于齊型空間有個(gè)很重要的結(jié)果,R.A.Maci′as與C.Segovia在文獻(xiàn)[3]中證明了d(x,y)等價(jià)于另外一個(gè)擬度量 δ(x,y),其中δ(x,y)具有Lipschitz連續(xù)性質(zhì).在歐氏空間中,滿足Lipschitz性質(zhì)的函數(shù)是幾乎處處可導(dǎo)的,那么似乎在度量空間中也有類似性質(zhì).的確,在文獻(xiàn)[4-6]等中,J.Heinonen與J.Cheeger等人共同建立起了度量空間中的Sobolev空間,并討論了其相關(guān)性質(zhì).他們的討論基本都是建立在度量空間中的某類Poincare不等式的基礎(chǔ)上,然后建立了相應(yīng)的Sobolev空間.在度量空間中,討論空間的Hausdorff維數(shù)是一基本問題,容量的概念也是常用的,常用的是Hausdorff測(cè)度.與歐氏空間上的分析是有很大區(qū)別的,從某種角度而言,度量空間上的分析更與分形分析接近.本文建立度量空間上的位勢(shì)空間,并討論容量以及其與空間的Hausdorff測(cè)度及維數(shù)之間的聯(lián)系,推廣了J.Heinonen等人的結(jié)果(尤其是文獻(xiàn)[3]中的第九章中的內(nèi)容Page 68～78),度量空間上的分析及分形理論在不確定性、微分方程等方面中有重要的應(yīng)用,較深入的工作有文獻(xiàn)[6,7].

為了更好地突出論文主題思想,不妨設(shè)d(x,y)具有Lipschitz連續(xù)性質(zhì).本文結(jié)構(gòu)如下:在第二部分給出度量空間上的位勢(shì)空間;在第三部分給出度量空間上的位勢(shì)空間的容量及其性質(zhì);在最后一部分討論度量空間中容量與Hausdorff測(cè)度之間的聯(lián)系.

1 位勢(shì)空間的建立與性質(zhì)

文獻(xiàn)[8]中,P.Hajlasz和P.Koskela建立了Sobolev空間.這里可以用類似方法產(chǎn)生位勢(shì)空間的定義.給定滿足雙倍條件的度量空間(X,d,μ),這里對(duì)于如果0＜α≤1且u∈Lp(X),存在0≤g∈Lp(X)

那么對(duì)于p≥1,定義位勢(shì)空間Lp,α(X)空間的范數(shù)為

另外滿足不等式(1)的函數(shù) g稱為函數(shù)u的Lipschitz上界.定義(X,d,μ)上的極大函數(shù)

證明以下定理

定理1 給定滿足雙倍條件的度量空間(X,d,μ),如果1＜p＜∞,那么下列條件等價(jià):

1)u ∈ Lp,α(X);

2)u∈Lp(X),存在c＞0,σ≥1,0≤g∈Lp(X),且 p＞κ≥1使得

其中uB表示函數(shù)u在半徑為r、中心為x的球B上的平均.

定理1的證明 首先說明1?2,這可以從位勢(shì)空間的定義及Holder不等式直接推出.所以我們只需要證明2?1,我們只需證明對(duì)于κ＜p使得

從極大函數(shù)的有界性質(zhì),可以得到1)只需要證明對(duì)于給定球體B=B(x,r0)(r0=d(x,y))

因?yàn)槿绻玫绞?5),那么也可以類似得到

另外由測(cè)度的雙倍性,也可以得到

所以,根據(jù)上面的證明可以得到式(4)(5)的證明是標(biāo)準(zhǔn)的,因?yàn)樵邶R型空間中,依然有對(duì)于u∈Lp,在幾乎處處意義下,

所以

也就證明了式(5),定理證畢.

2 度量空間上的容量

設(shè)(X,d,μ)上的 Riesz位勢(shì)算子,即分?jǐn)?shù)次積分為我們用Riesz位勢(shì)算子來定義度量空間上的容量.

定義1 設(shè)K是X上的子集,那么定義在X上的Riesz-p容量可以定義為

其中f是度量空間上的非負(fù)函數(shù),M是K的一個(gè)鄰域.

在討論的過程中,一般設(shè)X是正則的,也就意味著X中的任意閉球都是緊的;另外我們一般假設(shè) μ(X)=∞.證明下列結(jié)果.

命題1 設(shè)f∈Lp(X)(1＜p＜∞)為X上的非負(fù)函數(shù),那么如果 μ(B(x,d(x,y)))關(guān)于x和d滿足Lipschitz性質(zhì),即存在β＞0使得|μ(B(x,d(x,y)))-μ(B(z,d(z,y)))|≤

其中x,y,z∈X.即可得到存在某常數(shù)β′＞0且0＜α＜β′使得 Iα(f)∈ Lp,α(X).

命題1的證明 首先說明由于d(x,y)也具有Lipschitz連續(xù)性質(zhì),那么易得存在β′＞0使得

要證明 Iα(f)∈ Lp,α(X),只需驗(yàn)證 Iα(f)滿足式(3),只需證明存在常數(shù)c,κ＞1使得,這里不妨設(shè)f≥0,

其中r是球B 的半徑.讓 f=fχ2B+f χ(2B)c=f1+f2,c=(Iα(f2))B,那么

另外

那么

也就證明了命題.

注1 如果 μ(B(x,d(x,y)))=d(x,y)s(s＞1),那么式(8)由于d(x,y)具有Lipschitz連續(xù)性質(zhì)也就成立,但這里仍然不能證明一般齊型空間上的測(cè)度是否滿足式(8).另外知道傳統(tǒng)方式來定義度量空間上的容量是:

定義2 設(shè)K是X上的子集,那么定義在X上的Riesz-p容量可以定義為

其中u∈Lp,α(X)是度量空間上的非負(fù)函數(shù),而g為函數(shù)u的Lipschitz上界,M是K的一個(gè)鄰域.

注意到正因?yàn)槊}1,我們給出的定義1是合理的,但這里遺憾的是還不能說明如果u∈Lp,α(X),u是否是g的分?jǐn)?shù)次積分,這也導(dǎo)致現(xiàn)在不能判斷定義1與定義2是否等價(jià).

根據(jù)命題1,所以可以另一類分?jǐn)?shù)次函數(shù)空間.

另外定義K集上的一集類

其中M是K的一個(gè)鄰域.

還可以得到下面關(guān)于Riesz-p容量的性質(zhì).

命題2 設(shè)1＜p＜∞,X上的Riesz-p容量是外測(cè)度.

那么測(cè)度的可數(shù)可加性即得.因?yàn)閷?duì)應(yīng)每個(gè)Ei,存在函數(shù) ui=Iα(gi)∈ Α(Ei),且

證明完畢.

3 度量空間上的Hausdorff測(cè)度

度量空間上的 Haussdorff測(cè)度與其維數(shù)定義如下:

那么E的Haussdorff測(cè)度定義如下

E上的Haussdorff維數(shù)定義為

一般稱測(cè)度μ是m-正則的,如果存在ν＞0,c≥1使得

其中x∈X.我們知道μ的維數(shù)就是ν,在此條件下,如果ν＞α,那么命題1自然成立.那么在此條件下有以下定理:

定理2 設(shè)1＜p＜ν且0＜α＜β′,E是度量空間X上的緊集,且測(cè)度μ滿足式(10)且雙倍條件為

在證明定理2之前,需要以下引理

引理1 設(shè)條件如上定理所設(shè),E是緊集,0＜ν-s＜pα,u∈ Α(E),那么對(duì)于 x∈ E有

其中diam(E)表示E的直徑,不等式在幾乎處處意義下成立,另外

引理1的證明 對(duì)于u∈Α(E),不妨設(shè)E?B(x,R),這里 2R ～diam(E),那么對(duì)于 u∈Α(E),有

因?yàn)?μ(B)≤ γ μ(2B),所以也就得到

那么

證明完畢.

有了上面的引理,定理2的證明也就容易了,

定理2的證明 我們已經(jīng)知道Ηs(E)=0當(dāng)且僅當(dāng)Ηδs(E)=0(0＜δ≤∞),所以只需要證明當(dāng)s＞ν-pα,Η∞s(E)=0,那么定理得證.而要證明之,只需要證明對(duì)于t＞0有

這是因?yàn)橐?以及下面的結(jié)果

上面的結(jié)果可以由Hausdorff測(cè)度的定義以及Vitalli覆蓋引理得到,讀者可以參考文獻(xiàn)[9]中引理2.29的證明.有了式(11),定理2也就得到了,證明完畢.

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