壓電陶瓷的非線性特性校正研究

繆 建,朱若谷,郭 斌,黃 宇

(中國計量學(xué)院計量測試工程學(xué)院,浙江杭州310018)

雖然基于多光束干涉原理的F-P干涉術(shù)已經(jīng)有一百多年的歷史[1,2],但是把它作為長度計量中的標準器具到構(gòu)成激光器的諧振腔來研究還是比較新穎的,不管是理論研究還是實驗研究都是經(jīng)久不衰的研究熱點.目前,除了可以用它作為高分辨率光譜儀的色散元件以外,還可以用于激光穩(wěn)頻、光波長、腔內(nèi)介質(zhì)參數(shù)、微小位移等物諧振腔結(jié)構(gòu).

結(jié)合在研究光纖F-P微小位移測量中遇到的情況,對壓電陶瓷掃描調(diào)相F-P干涉儀作非線性影響的討論,顯然,給出的結(jié)果可應(yīng)用于相關(guān)幾何量測量傳感器的誤正.

1 原 理

一般情況下可以用一個二次項表示壓電陶瓷的非線性電致伸縮,即位移量:

下面分別對應(yīng)三種調(diào)制電壓,即:階躍電壓、鋸齒波電壓和正弦波電壓,討論壓電陶瓷的非線性對相調(diào)F-P干涉術(shù)的影響.

1.1 階躍電壓調(diào)制

為分析簡便起見,作相應(yīng)近似,即在光強極大值附近作信號調(diào)制,而且精細系數(shù)F與位相Φ滿足F·Sin2φ遠小于1以及階躍電壓通過N步從0升到V0,那么投射光強可以表示為[3,4]:

其中:i=0,1,2,…,N,進一步對式(3)分塊求和,設(shè)分塊數(shù)為M,則有:

并作簡化處理,設(shè)ti=i/N,則有:

則式(4)可以化為:

1.2 鋸齒波電壓調(diào)制

這時的調(diào)制電壓可表示為:

取與階躍電壓調(diào)制相同的近似條件,這時僅需要把式(7)中的求和形式改成求積分形式就可以了 ,即

1.3 正弦波電壓調(diào)制

這時調(diào)制電壓表示為

式(10)中:Vm—正弦波調(diào)制電壓的幅值;ωm和φm—角頻率和初相位.同時為了簡便起見設(shè)ψ等于ωmt加上φm[7,8].

壓電陶瓷的電致伸縮特性表示為

作與前相同的歸化處理.則透射光強公式中的位相角 Φ可表示為

式(13)中 :ν1=2πc,ν2=πd.

設(shè) cos(δ φt)=cos(ν1sinψ-ν2cos2ψ),則當 n為偶數(shù)時 ,cos(δ φt)為下式,取正號.

當n為奇數(shù)時,式(14)取負號,∑′表示首項系數(shù)為1.

設(shè) sin(δ φt)為 sin(ν1sinψ-ν2cos2ψ),則 sin(δ φt)可表示為:

同樣當n為偶數(shù)時,選取正號,n為奇數(shù)時,選取負號.由式(14)與式(15)可以估算出主要低次諧波和零頻率成分的表示,其中略去高于5階貝賽爾函數(shù)因子項.

1)零頻率成分

2)一次諧波成份幅值

3)二次諧波成份幅值

上述方法比較繁瑣,下面介紹一種比較簡潔的方法.重寫透射光強表達式(13)為:

作變量替換,設(shè):

則上述的投射光強公式可化為:

這時的分段積分光強〈Ii〉j可表示為:

當上式應(yīng)用數(shù)值積分求解時,設(shè)時間從0變到T,把積分時間T細分N段,在N段中又均分M塊,各塊的積分上下限可由下式表示:

式(24)中 :j=0,1,2,…,M.

最后得出,為了檢驗或修正非線性影響,對應(yīng)階躍或鋸齒波掃描,可以根據(jù)以下公式(25)和(26)計算初位相.

對應(yīng)正弦調(diào)制,其初位相計算式為:

其中 x=4πa/λ,a為調(diào)制電壓產(chǎn)生的振幅.

2 實驗及結(jié)果

首先通過實驗室測定常用的PZT壓電陶瓷非線性系數(shù),然后利用上面給出的結(jié)果進行數(shù)值計算.下面簡單地介紹測定壓電陶瓷非線性系數(shù)的方法.一般有兩種方法,即方法一:掃描調(diào)相干涉法.在通常的邁克爾遜干涉儀參考鏡后粘結(jié)壓電陶瓷,然后調(diào)節(jié)加在壓電陶瓷上的偏置電壓,可以測出干涉光強與電壓V的關(guān)系,用I(V)表示,進一步由邁克爾遜干涉儀的輸出光強公式

式(27)中:a為光強的直流成分I1+I2,b為光強中的交流成分的幅值2 I1I2.I1與I2分別為兩臂光強.通過階躍電壓掃描給出最大光強Imax與最小光強Imin,就可以得出a與b:

從而由下式給出位相變化δi和位移變化di,即:

式中:i等于1,2,3,…N為階躍電壓步進數(shù),λ為光波長,n為介質(zhì)折射率.

最后由N對數(shù)組(di,vi)用曲線擬合或二元回歸算法可以得到位移電壓之間的擬合公式:

方法二為直接測量法.雖然這種方法簡單,但是精度不高.它受電感測微儀的分辨率限制,其位移變化估讀到0.01 μ m,用電感測微儀(或其它測微裝置)直接測量給出(di,vi)數(shù)組.最后用相同的數(shù)據(jù)處理方法得出式(32),故稱直接測量法.

對無錫國營第七二一廠生產(chǎn)的壓電陶瓷(PZT-5)的實測結(jié)果為:

式(29)中:d的單位為μ m,V的單位為V.

經(jīng)歸化處理后C為0.99,d為0.133,兩者均為無量綱數(shù).

為節(jié)省篇幅,表1和表2分別給出初相位為零和π/4附近的理論給定值和分塊積分光強計算值(對應(yīng)于采用階躍電壓掃描法).

表1 零位相比較Table 1 Comparison of zero phase

表2 π/4位相附件比較Table 1 Comparison of π/4 phase

由上述表列數(shù)據(jù)明顯地表示在π/4處位相測量誤差小于零值附近,通過類似比較也可以發(fā)現(xiàn)在π/2位相附件誤差也明顯地大于 π/4位相鄰域.

計算程序中使用的位相計算公式為(26).

3 結(jié) 語

對壓電陶瓷的非線性影響作了理論分析,把Chiayu Ai等人的結(jié)果推廣到正弦相調(diào)干涉術(shù),并實際測量了壓電陶瓷的非線性系數(shù),介紹了兩種測量方法并在實測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上進行數(shù)值計算,最后給出的結(jié)論為除了Chiayu Ai等人提出的分前后兩組相互移相90°(對應(yīng)四塊積分法)測量抵消誤差以外,在小調(diào)制信號時還應(yīng)注意工作點在π/4初位相附近,并避開零值與±π/2位相鄰域.特別在非線性系數(shù) d較大的時候更應(yīng)該如此,至于如何正確校正的討論由于受到篇幅所限將另文討論.

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